Muchas veces restringir un problema a cierto tipo de condiciones
complica de forma innecesaria su resolucion.
El siguiente problema es un buen ejemplo.
Alla por el año 1958 American Mathematical Monthly proponia el
siguiente problema etiquetado como E1266:

Resolver en numeros naturales el sistema simultaneo de ecuaciones:

a^3 - b^3 - c^3 = 3a·b·c
a^2 = 2(b + c)

La solucion publicada dice algo como esto:

"Since 3abc is positive, a^3 must be greater than either b^3 or c^3 ,
giving b<a and c<a.
Adding gives b+c<2a, and therefore 2(b+c)<4a. From the
second equation, then, we have
a^2 <4a, and a<4.
But the second equation also shows that a is an even number.
Thus a must be 2, and the lesser b and c must each be 1. "

Para mi gusto un poco rebuscada.Demostrar que podemos ser mas
ambiciosos y resolver el sistema anterior en IR.

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> Muchas veces restringir un problema a cierto tipo de condiciones
> complica de forma innecesaria su resolucion.
> El siguiente problema es un buen ejemplo.
> Alla por el año 1958 American Mathematical Monthly proponia el
> siguiente problema etiquetado como E1266:
>
> Resolver en numeros naturales el sistema simultaneo de ecuaciones:
>
> a^3 - b^3 - c^3 = 3a·b·c
> a^2 = 2(b + c)
>

Tenemos que

(2(b+c))^3 = 8(b^3 + c^3) + 12bc(2(b+c))

por tanto

a^6 = 8a^3-24abc + 12bca^2

de donde

bc = (a^6-8a^3)/(12a^2-24a) = a^3(a-2)(a^2+2a+4)/(12a(a-2)) =

= a^2(a^2+2a+4)/12

*salvo que a=2*

Teniendo la suma b + c y el producto bc es inmediato hallar b y c

b + c = a^2/2

(b - c)^2 = (b+c)^2-4bc = a^4/4 - a^2(a^2+2a+4)/3 =

= -a^2(a+4)^2/12

b - c = a(a+4)i rq(3)/6

b = a^2/4 + a(a+4)i rq(3)/12

c = a^2/4 - a(a+4)i rq(3)/12

Esta solución no contiene la posibilidad a=2 que eliminamos antes al
simplificar la fracción. Para el caso a=2 el sistema se convierte en

b^3 + c^3 + 6bc = 8

b + c = 2

Elevando al cubo la segunda

b^3 + c^3 + 3bc(b+c) = 8

que es idéntica a la primera, por tanto cualquier solución

a=2,

b arbitrario

c= 2 - b

es válida. Por ejemplo a=2, b = 2, c = 0.



--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Muchas veces restringir un problema a cierto tipo de condiciones
> complica de forma innecesaria su resolucion.
> El siguiente problema es un buen ejemplo.
> Alla por el año 1958 American Mathematical Monthly proponia el
> siguiente problema etiquetado como E1266:
>
> Resolver en numeros naturales el sistema simultaneo de ecuaciones:
>
> a^3 - b^3 - c^3 = 3a·b·c
> a^2 = 2(b + c)
>

Tenemos que

(2(b+c))^3 = 8(b^3 + c^3) + 12bc(2(b+c))

por tanto

a^6 = 8a^3-24abc + 12bca^2

de donde

bc = (a^6-8a^3)/(12a^2-24a) = a^3(a-2)(a^2+2a+4)/(12a(a-2)) =

= a^2(a^2+2a+4)/12

*salvo que a=2*

Teniendo la suma b + c y el producto bc es inmediato hallar b y c

b + c = a^2/2

(b - c)^2 = (b+c)^2-4bc = a^4/4 - a^2(a^2+2a+4)/3 =

= -a^2(a+4)^2/12

b - c = a(a+4)i rq(3)/6

b = a^2/4 + a(a+4)i rq(3)/12

c = a^2/4 - a(a+4)i rq(3)/12

Esta solución no contiene la posibilidad a=2 que eliminamos antes al
simplificar la fracción. Para el caso a=2 el sistema se convierte en

b^3 + c^3 + 6bc = 8

b + c = 2

Elevando al cubo la segunda

b^3 + c^3 + 3bc(b+c) = 8

que es idéntica a la primera, por tanto cualquier solución

a=2,

b arbitrario

c= 2 - b

es válida. Por ejemplo a=2, b = 2, c = 0.



--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Muchas veces restringir un problema a cierto tipo de condiciones
> complica de forma innecesaria su resolucion.
> El siguiente problema es un buen ejemplo.
> Alla por el año 1958 American Mathematical Monthly proponia el
> siguiente problema etiquetado como E1266:
>
> Resolver en numeros naturales el sistema simultaneo de ecuaciones:
>
> a^3 - b^3 - c^3 = 3a·b·c
> a^2 = 2(b + c)
>

Tenemos que

(2(b+c))^3 = 8(b^3 + c^3) + 12bc(2(b+c))

por tanto

a^6 = 8a^3-24abc + 12bca^2

de donde

bc = (a^6-8a^3)/(12a^2-24a) = a^3(a-2)(a^2+2a+4)/(12a(a-2)) =

= a^2(a^2+2a+4)/12

*salvo que a=2*

Teniendo la suma b + c y el producto bc es inmediato hallar b y c

b + c = a^2/2

(b - c)^2 = (b+c)^2-4bc = a^4/4 - a^2(a^2+2a+4)/3 =

= -a^2(a+4)^2/12

b - c = a(a+4)i rq(3)/6

b = a^2/4 + a(a+4)i rq(3)/12

c = a^2/4 - a(a+4)i rq(3)/12

Esta solución no contiene la posibilidad a=2 que eliminamos antes al
simplificar la fracción. Para el caso a=2 el sistema se convierte en

b^3 + c^3 + 6bc = 8

b + c = 2

Elevando al cubo la segunda

b^3 + c^3 + 3bc(b+c) = 8

que es idéntica a la primera, por tanto cualquier solución

a=2,

b arbitrario

c= 2 - b

es válida. Por ejemplo a=2, b = 2, c = 0.



--

Antonio

On 3 jun, 12:27, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>
> > Muchas veces restringir un problema a cierto tipo de condiciones
> > complica de forma innecesaria su resolucion.
> > El siguiente problema es un buen ejemplo.
> > Alla por el año 1958 American Mathematical Monthly proponia el
> > siguiente problema etiquetado como E1266:
>
> > Resolver en numeros naturales el sistema simultaneo de ecuaciones:
>
> > a^3 - b^3 - c^3 = 3a·b·c
> > a^2 = 2(b + c)
>
> Tenemos que
>
> *** (2(b+c))^3 = 8(b^3 + c^3) + 12bc(2(b+c))
>
> por tanto
>
> *** ***a^6 = 8a^3-24abc + 12bca^2
>
> de donde
>
> *** ***bc = (a^6-8a^3)/(12a^2-24a) = a^3(a-2)(a^2+2a+4)/(12a(a-2)) =
>
> *** *** *** *** = a^2(a^2+2a+4)/12
>
> *salvo que a=2*
>
> Teniendo la suma b + c y el producto bc es inmediato hallar b y c
>
> *** b + c = a^2/2
>
> (b - c)^2 = (b+c)^2-4bc = a^4/4 - a^2(a^2+2a+4)/3 =
>
> *** = -a^2(a+4)^2/12
>
> *** b - c = a(a+4)i rq(3)/6
>
> *** b = a^2/4 + a(a+4)i rq(3)/12
>
> *** c = a^2/4 - a(a+4)i rq(3)/12
>
> Esta solución no contiene la posibilidad a=2 que eliminamos antes al
> simplificar la fracción. Para el caso a=2 el sistema se convierte en
>
> *** b^3 + c^3 + 6bc = 8
>
> *** b + c = 2
>
> Elevando al cubo la segunda
>
> *** b^3 + c^3 + 3bc(b+c) = 8
>
> que es idéntica a la primera, por tanto cualquier solución
>
> *** ***a=2,
>
> *** ***b arbitrario
>
> *** ***c= 2 - b
>
> es válida. Por ejemplo a=2, b = 2, c = 0.
>
> --
>
> *** ***Antonio

Buahhhhhhhhhhhhhhhhhh,Antonio no me puedo creer que no hayas
reconocido "mi" igualdad.

Saludos.

On 3 jun, 12:27, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>
> > Muchas veces restringir un problema a cierto tipo de condiciones
> > complica de forma innecesaria su resolucion.
> > El siguiente problema es un buen ejemplo.
> > Alla por el año 1958 American Mathematical Monthly proponia el
> > siguiente problema etiquetado como E1266:
>
> > Resolver en numeros naturales el sistema simultaneo de ecuaciones:
>
> > a^3 - b^3 - c^3 = 3a·b·c
> > a^2 = 2(b + c)
>
> Tenemos que
>
> *** (2(b+c))^3 = 8(b^3 + c^3) + 12bc(2(b+c))
>
> por tanto
>
> *** ***a^6 = 8a^3-24abc + 12bca^2
>
> de donde
>
> *** ***bc = (a^6-8a^3)/(12a^2-24a) = a^3(a-2)(a^2+2a+4)/(12a(a-2)) =
>
> *** *** *** *** = a^2(a^2+2a+4)/12
>
> *salvo que a=2*
>
> Teniendo la suma b + c y el producto bc es inmediato hallar b y c
>
> *** b + c = a^2/2
>
> (b - c)^2 = (b+c)^2-4bc = a^4/4 - a^2(a^2+2a+4)/3 =
>
> *** = -a^2(a+4)^2/12
>
> *** b - c = a(a+4)i rq(3)/6
>
> *** b = a^2/4 + a(a+4)i rq(3)/12
>
> *** c = a^2/4 - a(a+4)i rq(3)/12
>
> Esta solución no contiene la posibilidad a=2 que eliminamos antes al
> simplificar la fracción. Para el caso a=2 el sistema se convierte en
>
> *** b^3 + c^3 + 6bc = 8
>
> *** b + c = 2
>
> Elevando al cubo la segunda
>
> *** b^3 + c^3 + 3bc(b+c) = 8
>
> que es idéntica a la primera, por tanto cualquier solución
>
> *** ***a=2,
>
> *** ***b arbitrario
>
> *** ***c= 2 - b
>
> es válida. Por ejemplo a=2, b = 2, c = 0.
>
> --
>
> *** ***Antonio

Buahhhhhhhhhhhhhhhhhh,Antonio no me puedo creer que no hayas
reconocido "mi" igualdad.

Saludos.

On 3 jun, 12:27, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>
> > Muchas veces restringir un problema a cierto tipo de condiciones
> > complica de forma innecesaria su resolucion.
> > El siguiente problema es un buen ejemplo.
> > Alla por el año 1958 American Mathematical Monthly proponia el
> > siguiente problema etiquetado como E1266:
>
> > Resolver en numeros naturales el sistema simultaneo de ecuaciones:
>
> > a^3 - b^3 - c^3 = 3a·b·c
> > a^2 = 2(b + c)
>
> Tenemos que
>
> *** (2(b+c))^3 = 8(b^3 + c^3) + 12bc(2(b+c))
>
> por tanto
>
> *** ***a^6 = 8a^3-24abc + 12bca^2
>
> de donde
>
> *** ***bc = (a^6-8a^3)/(12a^2-24a) = a^3(a-2)(a^2+2a+4)/(12a(a-2)) =
>
> *** *** *** *** = a^2(a^2+2a+4)/12
>
> *salvo que a=2*
>
> Teniendo la suma b + c y el producto bc es inmediato hallar b y c
>
> *** b + c = a^2/2
>
> (b - c)^2 = (b+c)^2-4bc = a^4/4 - a^2(a^2+2a+4)/3 =
>
> *** = -a^2(a+4)^2/12
>
> *** b - c = a(a+4)i rq(3)/6
>
> *** b = a^2/4 + a(a+4)i rq(3)/12
>
> *** c = a^2/4 - a(a+4)i rq(3)/12
>
> Esta solución no contiene la posibilidad a=2 que eliminamos antes al
> simplificar la fracción. Para el caso a=2 el sistema se convierte en
>
> *** b^3 + c^3 + 6bc = 8
>
> *** b + c = 2
>
> Elevando al cubo la segunda
>
> *** b^3 + c^3 + 3bc(b+c) = 8
>
> que es idéntica a la primera, por tanto cualquier solución
>
> *** ***a=2,
>
> *** ***b arbitrario
>
> *** ***c= 2 - b
>
> es válida. Por ejemplo a=2, b = 2, c = 0.
>
> --
>
> *** ***Antonio

Buahhhhhhhhhhhhhhhhhh,Antonio no me puedo creer que no hayas
reconocido "mi" igualdad.

Saludos.

Javier Esquinas escribió:

>
> Buahhhhhhhhhhhhhhhhhh,Antonio no me puedo creer que no hayas
> reconocido "mi" igualdad.
>

¿Te refieres a

(a^3-b^3-c^3-3abc) = (a-b-c) (a^2+ab+b^2+ac-bc+c^2)

Pues sÃ***, pero no he visto que acorte mucho el proceso.

--

Antonio

Javier Esquinas escribió:

>
> Buahhhhhhhhhhhhhhhhhh,Antonio no me puedo creer que no hayas
> reconocido "mi" igualdad.
>

¿Te refieres a

(a^3-b^3-c^3-3abc) = (a-b-c) (a^2+ab+b^2+ac-bc+c^2)

Pues sÃ***, pero no he visto que acorte mucho el proceso.

--

Antonio

Javier Esquinas escribió:

>
> Buahhhhhhhhhhhhhhhhhh,Antonio no me puedo creer que no hayas
> reconocido "mi" igualdad.
>

¿Te refieres a

(a^3-b^3-c^3-3abc) = (a-b-c) (a^2+ab+b^2+ac-bc+c^2)

Pues sÃ***, pero no he visto que acorte mucho el proceso.

--

Antonio