"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
news:6ampt0F35q2a2U1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
>> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
>> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>>
>> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>>
>> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>>
> 1) Escribimos la distribución de Poisson como (lambda -> a)
>
> (1) P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>
> a) desde P(r) = P (r+1) -> a^r/r! = a^(r+1)/(r+1)! -> a = r+1
> b) Teorema: las modas de la distribución de Poisson para a = entero son a
> y a+1.
> Prueba:
> Tenemos que pruebar los dos relaciones
>
> (*) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k<r
> (**) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k>r+1
>
> (*) significa que (r+1)^j<(r+1+j)!/(r+1)! j=1, 2, ... que es evidente.
> ...
> (no tengo tiempo)

Ya lo acabo yo.

Hemos de ver que (r+1)^k / k! < (r+1)^r / r! para todo k > r+1

Si k > r+1 , existirá un j>1 tal que k = r+j. Entonces :

k! / r! = (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) y la desigualdad queda :

(r+1)^k < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) (r+1)^r

O sea (r+1)^(k-r-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

O, (r+1)^(j-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

que es cierta, pues el producto de la derecha está formado
por j-1 factores cada uno de ellos mayor que r+1.

Saludos,

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
news:6ampt0F35q2a2U1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
>> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
>> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>>
>> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>>
>> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>>
> 1) Escribimos la distribución de Poisson como (lambda -> a)
>
> (1) P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>
> a) desde P(r) = P (r+1) -> a^r/r! = a^(r+1)/(r+1)! -> a = r+1
> b) Teorema: las modas de la distribución de Poisson para a = entero son a
> y a+1.
> Prueba:
> Tenemos que pruebar los dos relaciones
>
> (*) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k<r
> (**) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k>r+1
>
> (*) significa que (r+1)^j<(r+1+j)!/(r+1)! j=1, 2, ... que es evidente.
> ...
> (no tengo tiempo)

Ya lo acabo yo.

Hemos de ver que (r+1)^k / k! < (r+1)^r / r! para todo k > r+1

Si k > r+1 , existirá un j>1 tal que k = r+j. Entonces :

k! / r! = (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) y la desigualdad queda :

(r+1)^k < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) (r+1)^r

O sea (r+1)^(k-r-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

O, (r+1)^(j-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

que es cierta, pues el producto de la derecha está formado
por j-1 factores cada uno de ellos mayor que r+1.

Saludos,

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
news:6ampt0F35q2a2U1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
>> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
>> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>>
>> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>>
>> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>>
> 1) Escribimos la distribución de Poisson como (lambda -> a)
>
> (1) P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>
> a) desde P(r) = P (r+1) -> a^r/r! = a^(r+1)/(r+1)! -> a = r+1
> b) Teorema: las modas de la distribución de Poisson para a = entero son a
> y a+1.
> Prueba:
> Tenemos que pruebar los dos relaciones
>
> (*) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k<r
> (**) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k>r+1
>
> (*) significa que (r+1)^j<(r+1+j)!/(r+1)! j=1, 2, ... que es evidente.
> ...
> (no tengo tiempo)

Ya lo acabo yo.

Hemos de ver que (r+1)^k / k! < (r+1)^r / r! para todo k > r+1

Si k > r+1 , existirá un j>1 tal que k = r+j. Entonces :

k! / r! = (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) y la desigualdad queda :

(r+1)^k < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) (r+1)^r

O sea (r+1)^(k-r-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

O, (r+1)^(j-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

que es cierta, pues el producto de la derecha está formado
por j-1 factores cada uno de ellos mayor que r+1.

Saludos,

>>
> (1) Continuación de mi mensaje de hoy mañana.
> Para la distribución
>
> P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>
> la moda k es definido por las inigualidades
>
> P(k-1)< P(k)
> P(k+1)< P(k)
>
> que nos llevan a
>
> a-1 < k < a
>
> Si a no es entero ya está, si a es entero ya sabemos que k=a y k=a-1.

No había visto esta respuesta. Sí, así queda más bonito.
Lo único que, del enunciado, se desprende que "r" es un número
entero ( pues pertenece al dominio de la variable aleatoria X ).
Como por el apartado (a) sabemos que "lambda" = r+1 , aplicando
tus desigualdades llegamos a que k < r+1 < k+1.
Como k y r son enteros, sólo puede ser k = r+1 y k+1 = r+1.
Luego, en efecto, X tiene una distribución "bimodal" con modas r y r+1.

> (2) Lo siento pero me parece que no entiendo bien el problema.
> Veremos que - con mi entendimiento - el problema no tiene que ver con la
> distribución de Poisson.
> Trato de contestar de todos modos ...


> (a) la distribución es binimoal w(n,k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
>
> (b) en este tengo mis problemas:
> el anunciado dice que sólo un asistente (o ningún) puede llegar a
> pronunciarse.
> Por tanto la distribución sería
>
> w(n,X=0) = (1-p)^n
> w(n,X=1) = p (1-p)^(n-1)
>
> (c) desde (2) tenemos que <k> = p(1-p)^(n-1) de donde n =
> 1+Log(<k>/p)/Log(1-p)

Sí, yo creo que no lo has entendido bien. El enunciado es un poco
lioso, lo reconozco.
Llamo M al número de asistentes a la reunión y llamo N al número
de asistentes que quieren presentar una moción ( una "moción", en
castellano, es una propuesta, una proposición )
Entonces

P(M=k) = (lambda^k)*e^(-lambda) / k! , k = 0,1,2,.....

N es una variable aleatoria que dependerá del número de asistentes
a la reunión. Es decir, según se van produciendo las llegadas, los
individuos proponen o no sus mociones.
Luego

P(N= i | M = k ) = C(k,i) p^i (1-p)^(k-i)

Por el Teorema de la probabilidad total :

P(N=i) = Sum( P(N= i | M = k )*P(M=k) , k = i..n ) =

= ( e^(-lambda)*(p*lambda)^i / i! )*Sum( ( (1-p)*lambda)^(k-i) / (k-i)! , k
= i..n )

que creo que puede simplificarse en términos de la función gamma.

Si n tendiese a infinito, la serie sería igual a e^((1-p)*lambda) y
tendríamos que la distribución de N es de Poisson de parámetro
lambda*p.

Quizás un problema más claro para verlo sería éste :

"En un día cualquiera, el número de pacientes que llega al servicio
de urgencia de un hospital tiene distribución de Poisson de parámetro
"lambda". Cada paciente tiene una probabilidad "p" de requerir
hospitalización, mientras que una proporción 1-p son atendidos y
enviados a su domicilio.
Determinar la distribución del número de enfermos que ingresan en
el hospital"
( En este caso, el número de pacientes que van llegando se considera
ilimitado, y resultaría una Poisson de parámetro lambda*p ).

Mañana intento hacer b) y c). Ya estoy cansado.



> (3) El precio de venta de un libro como función del número k de los libros
> compradas a la vez es dado como (con una corrección 2 k -> 0,2 k para el
> descuento)
>
> c(k) = 20 para k=1; = 20 - k*2/10 para k=2..10; = 18 para k>=11
>
> (a) El precio de venta pro libro esperado es por tanto
>
> ce = Sum ( c(k) p(k) , (k,0,oo) )
>
> = c(1) p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 Sum ( p(k),
> (k,11,oo) )
>
> = 20 p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 (1 -
> Sum(p(k),(k,0,10))
>
> = 0.854956 + 17.8721 + 0.162402 = 18.8895 -> 18.89 EUR
>
> (b) el descuento esperado relativo es (20-18.89)/20 = (1.11/20) = 5.56 %
>
> (c) ... tal vez mañana ... :-) (hace demasiado calor en Berlín, unos 32
> grados en la sombra)
>
> (d) 4000 - 100 = 3900 x 18.89 = 73671 EUR
>

Éste lo miro también mañana. Aunque, por lo que observo, parece
que sí coincidiremos.


Saludos,

>>
> (1) Continuación de mi mensaje de hoy mañana.
> Para la distribución
>
> P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>
> la moda k es definido por las inigualidades
>
> P(k-1)< P(k)
> P(k+1)< P(k)
>
> que nos llevan a
>
> a-1 < k < a
>
> Si a no es entero ya está, si a es entero ya sabemos que k=a y k=a-1.

No había visto esta respuesta. Sí, así queda más bonito.
Lo único que, del enunciado, se desprende que "r" es un número
entero ( pues pertenece al dominio de la variable aleatoria X ).
Como por el apartado (a) sabemos que "lambda" = r+1 , aplicando
tus desigualdades llegamos a que k < r+1 < k+1.
Como k y r son enteros, sólo puede ser k = r+1 y k+1 = r+1.
Luego, en efecto, X tiene una distribución "bimodal" con modas r y r+1.

> (2) Lo siento pero me parece que no entiendo bien el problema.
> Veremos que - con mi entendimiento - el problema no tiene que ver con la
> distribución de Poisson.
> Trato de contestar de todos modos ...


> (a) la distribución es binimoal w(n,k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
>
> (b) en este tengo mis problemas:
> el anunciado dice que sólo un asistente (o ningún) puede llegar a
> pronunciarse.
> Por tanto la distribución sería
>
> w(n,X=0) = (1-p)^n
> w(n,X=1) = p (1-p)^(n-1)
>
> (c) desde (2) tenemos que <k> = p(1-p)^(n-1) de donde n =
> 1+Log(<k>/p)/Log(1-p)

Sí, yo creo que no lo has entendido bien. El enunciado es un poco
lioso, lo reconozco.
Llamo M al número de asistentes a la reunión y llamo N al número
de asistentes que quieren presentar una moción ( una "moción", en
castellano, es una propuesta, una proposición )
Entonces

P(M=k) = (lambda^k)*e^(-lambda) / k! , k = 0,1,2,.....

N es una variable aleatoria que dependerá del número de asistentes
a la reunión. Es decir, según se van produciendo las llegadas, los
individuos proponen o no sus mociones.
Luego

P(N= i | M = k ) = C(k,i) p^i (1-p)^(k-i)

Por el Teorema de la probabilidad total :

P(N=i) = Sum( P(N= i | M = k )*P(M=k) , k = i..n ) =

= ( e^(-lambda)*(p*lambda)^i / i! )*Sum( ( (1-p)*lambda)^(k-i) / (k-i)! , k
= i..n )

que creo que puede simplificarse en términos de la función gamma.

Si n tendiese a infinito, la serie sería igual a e^((1-p)*lambda) y
tendríamos que la distribución de N es de Poisson de parámetro
lambda*p.

Quizás un problema más claro para verlo sería éste :

"En un día cualquiera, el número de pacientes que llega al servicio
de urgencia de un hospital tiene distribución de Poisson de parámetro
"lambda". Cada paciente tiene una probabilidad "p" de requerir
hospitalización, mientras que una proporción 1-p son atendidos y
enviados a su domicilio.
Determinar la distribución del número de enfermos que ingresan en
el hospital"
( En este caso, el número de pacientes que van llegando se considera
ilimitado, y resultaría una Poisson de parámetro lambda*p ).

Mañana intento hacer b) y c). Ya estoy cansado.



> (3) El precio de venta de un libro como función del número k de los libros
> compradas a la vez es dado como (con una corrección 2 k -> 0,2 k para el
> descuento)
>
> c(k) = 20 para k=1; = 20 - k*2/10 para k=2..10; = 18 para k>=11
>
> (a) El precio de venta pro libro esperado es por tanto
>
> ce = Sum ( c(k) p(k) , (k,0,oo) )
>
> = c(1) p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 Sum ( p(k),
> (k,11,oo) )
>
> = 20 p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 (1 -
> Sum(p(k),(k,0,10))
>
> = 0.854956 + 17.8721 + 0.162402 = 18.8895 -> 18.89 EUR
>
> (b) el descuento esperado relativo es (20-18.89)/20 = (1.11/20) = 5.56 %
>
> (c) ... tal vez mañana ... :-) (hace demasiado calor en Berlín, unos 32
> grados en la sombra)
>
> (d) 4000 - 100 = 3900 x 18.89 = 73671 EUR
>

Éste lo miro también mañana. Aunque, por lo que observo, parece
que sí coincidiremos.


Saludos,

>>
> (1) Continuación de mi mensaje de hoy mañana.
> Para la distribución
>
> P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>
> la moda k es definido por las inigualidades
>
> P(k-1)< P(k)
> P(k+1)< P(k)
>
> que nos llevan a
>
> a-1 < k < a
>
> Si a no es entero ya está, si a es entero ya sabemos que k=a y k=a-1.

No había visto esta respuesta. Sí, así queda más bonito.
Lo único que, del enunciado, se desprende que "r" es un número
entero ( pues pertenece al dominio de la variable aleatoria X ).
Como por el apartado (a) sabemos que "lambda" = r+1 , aplicando
tus desigualdades llegamos a que k < r+1 < k+1.
Como k y r son enteros, sólo puede ser k = r+1 y k+1 = r+1.
Luego, en efecto, X tiene una distribución "bimodal" con modas r y r+1.

> (2) Lo siento pero me parece que no entiendo bien el problema.
> Veremos que - con mi entendimiento - el problema no tiene que ver con la
> distribución de Poisson.
> Trato de contestar de todos modos ...


> (a) la distribución es binimoal w(n,k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
>
> (b) en este tengo mis problemas:
> el anunciado dice que sólo un asistente (o ningún) puede llegar a
> pronunciarse.
> Por tanto la distribución sería
>
> w(n,X=0) = (1-p)^n
> w(n,X=1) = p (1-p)^(n-1)
>
> (c) desde (2) tenemos que <k> = p(1-p)^(n-1) de donde n =
> 1+Log(<k>/p)/Log(1-p)

Sí, yo creo que no lo has entendido bien. El enunciado es un poco
lioso, lo reconozco.
Llamo M al número de asistentes a la reunión y llamo N al número
de asistentes que quieren presentar una moción ( una "moción", en
castellano, es una propuesta, una proposición )
Entonces

P(M=k) = (lambda^k)*e^(-lambda) / k! , k = 0,1,2,.....

N es una variable aleatoria que dependerá del número de asistentes
a la reunión. Es decir, según se van produciendo las llegadas, los
individuos proponen o no sus mociones.
Luego

P(N= i | M = k ) = C(k,i) p^i (1-p)^(k-i)

Por el Teorema de la probabilidad total :

P(N=i) = Sum( P(N= i | M = k )*P(M=k) , k = i..n ) =

= ( e^(-lambda)*(p*lambda)^i / i! )*Sum( ( (1-p)*lambda)^(k-i) / (k-i)! , k
= i..n )

que creo que puede simplificarse en términos de la función gamma.

Si n tendiese a infinito, la serie sería igual a e^((1-p)*lambda) y
tendríamos que la distribución de N es de Poisson de parámetro
lambda*p.

Quizás un problema más claro para verlo sería éste :

"En un día cualquiera, el número de pacientes que llega al servicio
de urgencia de un hospital tiene distribución de Poisson de parámetro
"lambda". Cada paciente tiene una probabilidad "p" de requerir
hospitalización, mientras que una proporción 1-p son atendidos y
enviados a su domicilio.
Determinar la distribución del número de enfermos que ingresan en
el hospital"
( En este caso, el número de pacientes que van llegando se considera
ilimitado, y resultaría una Poisson de parámetro lambda*p ).

Mañana intento hacer b) y c). Ya estoy cansado.



> (3) El precio de venta de un libro como función del número k de los libros
> compradas a la vez es dado como (con una corrección 2 k -> 0,2 k para el
> descuento)
>
> c(k) = 20 para k=1; = 20 - k*2/10 para k=2..10; = 18 para k>=11
>
> (a) El precio de venta pro libro esperado es por tanto
>
> ce = Sum ( c(k) p(k) , (k,0,oo) )
>
> = c(1) p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 Sum ( p(k),
> (k,11,oo) )
>
> = 20 p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 (1 -
> Sum(p(k),(k,0,10))
>
> = 0.854956 + 17.8721 + 0.162402 = 18.8895 -> 18.89 EUR
>
> (b) el descuento esperado relativo es (20-18.89)/20 = (1.11/20) = 5.56 %
>
> (c) ... tal vez mañana ... :-) (hace demasiado calor en Berlín, unos 32
> grados en la sombra)
>
> (d) 4000 - 100 = 3900 x 18.89 = 73671 EUR
>

Éste lo miro también mañana. Aunque, por lo que observo, parece
que sí coincidiremos.


Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:g27qn3$mm0$1***registered.motzarella.org...
>
>>>
>> (1) Continuación de mi mensaje de hoy mañana.
>> Para la distribución
>>
>> P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>>
>> la moda k es definido por las inigualidades
>>
>> P(k-1)< P(k)
>> P(k+1)< P(k)
>>
>> que nos llevan a
>>
>> a-1 < k < a
>>
>> Si a no es entero ya está, si a es entero ya sabemos que k=a y k=a-1.
>
> No había visto esta respuesta. Sí, así queda más bonito.
> Lo único que, del enunciado, se desprende que "r" es un número
> entero ( pues pertenece al dominio de la variable aleatoria X ).
> Como por el apartado (a) sabemos que "lambda" = r+1 , aplicando
> tus desigualdades llegamos a que k < r+1 < k+1.
> Como k y r son enteros, sólo puede ser k = r+1 y k+1 = r+1.
> Luego, en efecto, X tiene una distribución "bimodal" con modas r y r+1.
>
>> (2) Lo siento pero me parece que no entiendo bien el problema.
>> Veremos que - con mi entendimiento - el problema no tiene que ver con la
>> distribución de Poisson.
>> Trato de contestar de todos modos ...
>
>
>> (a) la distribución es binimoal w(n,k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
>>
>> (b) en este tengo mis problemas:
>> el anunciado dice que sólo un asistente (o ningún) puede llegar a
>> pronunciarse.
>> Por tanto la distribución sería
>>
>> w(n,X=0) = (1-p)^n
>> w(n,X=1) = p (1-p)^(n-1)
>>
>> (c) desde (2) tenemos que <k> = p(1-p)^(n-1) de donde n =
>> 1+Log(<k>/p)/Log(1-p)
>
> Sí, yo creo que no lo has entendido bien. El enunciado es un poco
> lioso, lo reconozco.
> Llamo M al número de asistentes a la reunión y llamo N al número
> de asistentes que quieren presentar una moción ( una "moción", en
> castellano, es una propuesta, una proposición )
> Entonces
>
> P(M=k) = (lambda^k)*e^(-lambda) / k! , k = 0,1,2,.....
>
> N es una variable aleatoria que dependerá del número de asistentes
> a la reunión. Es decir, según se van produciendo las llegadas, los
> individuos proponen o no sus mociones.
> Luego
>
> P(N= i | M = k ) = C(k,i) p^i (1-p)^(k-i)
>
> Por el Teorema de la probabilidad total :
>
> P(N=i) = Sum( P(N= i | M = k )*P(M=k) , k = i..n ) =
>
> = ( e^(-lambda)*(p*lambda)^i / i! )*Sum( ( (1-p)*lambda)^(k-i) / (k-i)! ,
> k = i..n )
>
> que creo que puede simplificarse en términos de la función gamma.
>
> Si n tendiese a infinito, la serie sería igual a e^((1-p)*lambda) y
> tendríamos que la distribución de N es de Poisson de parámetro
> lambda*p.
>
> Quizás un problema más claro para verlo sería éste :
>
> "En un día cualquiera, el número de pacientes que llega al servicio
> de urgencia de un hospital tiene distribución de Poisson de parámetro
> "lambda". Cada paciente tiene una probabilidad "p" de requerir
> hospitalización, mientras que una proporción 1-p son atendidos y
> enviados a su domicilio.
> Determinar la distribución del número de enfermos que ingresan en
> el hospital"
> ( En este caso, el número de pacientes que van llegando se considera
> ilimitado, y resultaría una Poisson de parámetro lambda*p ).
>
> Mañana intento hacer b) y c). Ya estoy cansado.
>

No acabo de verlo del todo claro, pero creo que hay que jugar
con tres distribuciones : Poisson, Binomial y Geométrica.

M es la variable aleatoria del número de asistentes a cada reunión
y sigue una distribución de Poisson de parámetro "lambda".

N es la variable aleatoria del número de asistentes a cada reunión
que **desean** presentar una moción. Cuando se producen "k"
llegadas, la distribución de N es Binomial de parámetros k y p.

X es la variable aleatoria del número de asistentes a cada
reunión que, finalmente, presentan la moción.
Para que una persona que llega en la posición "k" pueda
presentar la moción, las k-1 anteriores no han tenido deseo de
presentarla. Así que tenemos una distribución geométrica de
parámetro 1-p.

Del enunciado se desprende que, en cuanto que una persona
presenta una moción, la siguiente tendrá que presentarse ya
en otra reunión distinta.

¿ Cómo modelizar esto jugando con estas distribuciones ?

Pues no lo sé muy bien, la verdad. No parece un problema fácil.

Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:g27qn3$mm0$1***registered.motzarella.org...
>
>>>
>> (1) Continuación de mi mensaje de hoy mañana.
>> Para la distribución
>>
>> P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>>
>> la moda k es definido por las inigualidades
>>
>> P(k-1)< P(k)
>> P(k+1)< P(k)
>>
>> que nos llevan a
>>
>> a-1 < k < a
>>
>> Si a no es entero ya está, si a es entero ya sabemos que k=a y k=a-1.
>
> No había visto esta respuesta. Sí, así queda más bonito.
> Lo único que, del enunciado, se desprende que "r" es un número
> entero ( pues pertenece al dominio de la variable aleatoria X ).
> Como por el apartado (a) sabemos que "lambda" = r+1 , aplicando
> tus desigualdades llegamos a que k < r+1 < k+1.
> Como k y r son enteros, sólo puede ser k = r+1 y k+1 = r+1.
> Luego, en efecto, X tiene una distribución "bimodal" con modas r y r+1.
>
>> (2) Lo siento pero me parece que no entiendo bien el problema.
>> Veremos que - con mi entendimiento - el problema no tiene que ver con la
>> distribución de Poisson.
>> Trato de contestar de todos modos ...
>
>
>> (a) la distribución es binimoal w(n,k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
>>
>> (b) en este tengo mis problemas:
>> el anunciado dice que sólo un asistente (o ningún) puede llegar a
>> pronunciarse.
>> Por tanto la distribución sería
>>
>> w(n,X=0) = (1-p)^n
>> w(n,X=1) = p (1-p)^(n-1)
>>
>> (c) desde (2) tenemos que <k> = p(1-p)^(n-1) de donde n =
>> 1+Log(<k>/p)/Log(1-p)
>
> Sí, yo creo que no lo has entendido bien. El enunciado es un poco
> lioso, lo reconozco.
> Llamo M al número de asistentes a la reunión y llamo N al número
> de asistentes que quieren presentar una moción ( una "moción", en
> castellano, es una propuesta, una proposición )
> Entonces
>
> P(M=k) = (lambda^k)*e^(-lambda) / k! , k = 0,1,2,.....
>
> N es una variable aleatoria que dependerá del número de asistentes
> a la reunión. Es decir, según se van produciendo las llegadas, los
> individuos proponen o no sus mociones.
> Luego
>
> P(N= i | M = k ) = C(k,i) p^i (1-p)^(k-i)
>
> Por el Teorema de la probabilidad total :
>
> P(N=i) = Sum( P(N= i | M = k )*P(M=k) , k = i..n ) =
>
> = ( e^(-lambda)*(p*lambda)^i / i! )*Sum( ( (1-p)*lambda)^(k-i) / (k-i)! ,
> k = i..n )
>
> que creo que puede simplificarse en términos de la función gamma.
>
> Si n tendiese a infinito, la serie sería igual a e^((1-p)*lambda) y
> tendríamos que la distribución de N es de Poisson de parámetro
> lambda*p.
>
> Quizás un problema más claro para verlo sería éste :
>
> "En un día cualquiera, el número de pacientes que llega al servicio
> de urgencia de un hospital tiene distribución de Poisson de parámetro
> "lambda". Cada paciente tiene una probabilidad "p" de requerir
> hospitalización, mientras que una proporción 1-p son atendidos y
> enviados a su domicilio.
> Determinar la distribución del número de enfermos que ingresan en
> el hospital"
> ( En este caso, el número de pacientes que van llegando se considera
> ilimitado, y resultaría una Poisson de parámetro lambda*p ).
>
> Mañana intento hacer b) y c). Ya estoy cansado.
>

No acabo de verlo del todo claro, pero creo que hay que jugar
con tres distribuciones : Poisson, Binomial y Geométrica.

M es la variable aleatoria del número de asistentes a cada reunión
y sigue una distribución de Poisson de parámetro "lambda".

N es la variable aleatoria del número de asistentes a cada reunión
que **desean** presentar una moción. Cuando se producen "k"
llegadas, la distribución de N es Binomial de parámetros k y p.

X es la variable aleatoria del número de asistentes a cada
reunión que, finalmente, presentan la moción.
Para que una persona que llega en la posición "k" pueda
presentar la moción, las k-1 anteriores no han tenido deseo de
presentarla. Así que tenemos una distribución geométrica de
parámetro 1-p.

Del enunciado se desprende que, en cuanto que una persona
presenta una moción, la siguiente tendrá que presentarse ya
en otra reunión distinta.

¿ Cómo modelizar esto jugando con estas distribuciones ?

Pues no lo sé muy bien, la verdad. No parece un problema fácil.

Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:g27qn3$mm0$1***registered.motzarella.org...
>
>>>
>> (1) Continuación de mi mensaje de hoy mañana.
>> Para la distribución
>>
>> P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>>
>> la moda k es definido por las inigualidades
>>
>> P(k-1)< P(k)
>> P(k+1)< P(k)
>>
>> que nos llevan a
>>
>> a-1 < k < a
>>
>> Si a no es entero ya está, si a es entero ya sabemos que k=a y k=a-1.
>
> No había visto esta respuesta. Sí, así queda más bonito.
> Lo único que, del enunciado, se desprende que "r" es un número
> entero ( pues pertenece al dominio de la variable aleatoria X ).
> Como por el apartado (a) sabemos que "lambda" = r+1 , aplicando
> tus desigualdades llegamos a que k < r+1 < k+1.
> Como k y r son enteros, sólo puede ser k = r+1 y k+1 = r+1.
> Luego, en efecto, X tiene una distribución "bimodal" con modas r y r+1.
>
>> (2) Lo siento pero me parece que no entiendo bien el problema.
>> Veremos que - con mi entendimiento - el problema no tiene que ver con la
>> distribución de Poisson.
>> Trato de contestar de todos modos ...
>
>
>> (a) la distribución es binimoal w(n,k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
>>
>> (b) en este tengo mis problemas:
>> el anunciado dice que sólo un asistente (o ningún) puede llegar a
>> pronunciarse.
>> Por tanto la distribución sería
>>
>> w(n,X=0) = (1-p)^n
>> w(n,X=1) = p (1-p)^(n-1)
>>
>> (c) desde (2) tenemos que <k> = p(1-p)^(n-1) de donde n =
>> 1+Log(<k>/p)/Log(1-p)
>
> Sí, yo creo que no lo has entendido bien. El enunciado es un poco
> lioso, lo reconozco.
> Llamo M al número de asistentes a la reunión y llamo N al número
> de asistentes que quieren presentar una moción ( una "moción", en
> castellano, es una propuesta, una proposición )
> Entonces
>
> P(M=k) = (lambda^k)*e^(-lambda) / k! , k = 0,1,2,.....
>
> N es una variable aleatoria que dependerá del número de asistentes
> a la reunión. Es decir, según se van produciendo las llegadas, los
> individuos proponen o no sus mociones.
> Luego
>
> P(N= i | M = k ) = C(k,i) p^i (1-p)^(k-i)
>
> Por el Teorema de la probabilidad total :
>
> P(N=i) = Sum( P(N= i | M = k )*P(M=k) , k = i..n ) =
>
> = ( e^(-lambda)*(p*lambda)^i / i! )*Sum( ( (1-p)*lambda)^(k-i) / (k-i)! ,
> k = i..n )
>
> que creo que puede simplificarse en términos de la función gamma.
>
> Si n tendiese a infinito, la serie sería igual a e^((1-p)*lambda) y
> tendríamos que la distribución de N es de Poisson de parámetro
> lambda*p.
>
> Quizás un problema más claro para verlo sería éste :
>
> "En un día cualquiera, el número de pacientes que llega al servicio
> de urgencia de un hospital tiene distribución de Poisson de parámetro
> "lambda". Cada paciente tiene una probabilidad "p" de requerir
> hospitalización, mientras que una proporción 1-p son atendidos y
> enviados a su domicilio.
> Determinar la distribución del número de enfermos que ingresan en
> el hospital"
> ( En este caso, el número de pacientes que van llegando se considera
> ilimitado, y resultaría una Poisson de parámetro lambda*p ).
>
> Mañana intento hacer b) y c). Ya estoy cansado.
>

No acabo de verlo del todo claro, pero creo que hay que jugar
con tres distribuciones : Poisson, Binomial y Geométrica.

M es la variable aleatoria del número de asistentes a cada reunión
y sigue una distribución de Poisson de parámetro "lambda".

N es la variable aleatoria del número de asistentes a cada reunión
que **desean** presentar una moción. Cuando se producen "k"
llegadas, la distribución de N es Binomial de parámetros k y p.

X es la variable aleatoria del número de asistentes a cada
reunión que, finalmente, presentan la moción.
Para que una persona que llega en la posición "k" pueda
presentar la moción, las k-1 anteriores no han tenido deseo de
presentarla. Así que tenemos una distribución geométrica de
parámetro 1-p.

Del enunciado se desprende que, en cuanto que una persona
presenta una moción, la siguiente tendrá que presentarse ya
en otra reunión distinta.

¿ Cómo modelizar esto jugando con estas distribuciones ?

Pues no lo sé muy bien, la verdad. No parece un problema fácil.

Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g299hh$rdf$1***registered.motzarella.org...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
> news:g27qn3$mm0$1***registered.motzarella.org...
>>
>>>>
>>> (1) Continuación de mi mensaje de hoy mañana.
>>> Para la distribución
>>>
>>> P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>>>
>>> la moda k es definido por las inigualidades
>>>
>>> P(k-1)< P(k)
>>> P(k+1)< P(k)
>>>
>>> que nos llevan a
>>>
>>> a-1 < k < a
>>>
>>> Si a no es entero ya está, si a es entero ya sabemos que k=a y
>>> k=a-1.
>>
>> No había visto esta respuesta. Sí, así queda más bonito.
>> Lo único que, del enunciado, se desprende que "r" es un número
>> entero ( pues pertenece al dominio de la variable aleatoria X ).
>> Como por el apartado (a) sabemos que "lambda" = r+1 , aplicando
>> tus desigualdades llegamos a que k < r+1 < k+1.
>> Como k y r son enteros, sólo puede ser k = r+1 y k+1 = r+1.
>> Luego, en efecto, X tiene una distribución "bimodal" con modas r y
>> r+1.
>>
>>> (2) Lo siento pero me parece que no entiendo bien el problema.
>>> Veremos que - con mi entendimiento - el problema no tiene que ver
>>> con la distribución de Poisson.
>>> Trato de contestar de todos modos ...
>>
>>
>>> (a) la distribución es binimoal w(n,k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
>>>
>>> (b) en este tengo mis problemas:
>>> el anunciado dice que sólo un asistente (o ningún) puede llegar a
>>> pronunciarse.
>>> Por tanto la distribución sería
>>>
>>> w(n,X=0) = (1-p)^n
>>> w(n,X=1) = p (1-p)^(n-1)
>>>
>>> (c) desde (2) tenemos que <k> = p(1-p)^(n-1) de donde n =
>>> 1+Log(<k>/p)/Log(1-p)
>>
>> Sí, yo creo que no lo has entendido bien. El enunciado es un poco
>> lioso, lo reconozco.
>> Llamo M al número de asistentes a la reunión y llamo N al número
>> de asistentes que quieren presentar una moción ( una "moción", en
>> castellano, es una propuesta, una proposición )
>> Entonces
>>
>> P(M=k) = (lambda^k)*e^(-lambda) / k! , k = 0,1,2,.....
>>
>> N es una variable aleatoria que dependerá del número de asistentes
>> a la reunión. Es decir, según se van produciendo las llegadas, los
>> individuos proponen o no sus mociones.
>> Luego
>>
>> P(N= i | M = k ) = C(k,i) p^i (1-p)^(k-i)
>>
>> Por el Teorema de la probabilidad total :
>>
>> P(N=i) = Sum( P(N= i | M = k )*P(M=k) , k = i..n ) =
>>
>> = ( e^(-lambda)*(p*lambda)^i / i! )*Sum( ( (1-p)*lambda)^(k-i) /
>> (k-i)! , k = i..n )
>>
>> que creo que puede simplificarse en términos de la función gamma.
>>
>> Si n tendiese a infinito, la serie sería igual a e^((1-p)*lambda)
>> y
>> tendríamos que la distribución de N es de Poisson de parámetro
>> lambda*p.
>>
>> Quizás un problema más claro para verlo sería éste :
>>
>> "En un día cualquiera, el número de pacientes que llega al servicio
>> de urgencia de un hospital tiene distribución de Poisson de
>> parámetro
>> "lambda". Cada paciente tiene una probabilidad "p" de requerir
>> hospitalización, mientras que una proporción 1-p son atendidos y
>> enviados a su domicilio.
>> Determinar la distribución del número de enfermos que ingresan en
>> el hospital"
>> ( En este caso, el número de pacientes que van llegando se considera
>> ilimitado, y resultaría una Poisson de parámetro lambda*p ).
>>
>> Mañana intento hacer b) y c). Ya estoy cansado.
>>
>
> No acabo de verlo del todo claro, pero creo que hay que jugar
> con tres distribuciones : Poisson, Binomial y Geométrica.
>
> M es la variable aleatoria del número de asistentes a cada reunión
> y sigue una distribución de Poisson de parámetro "lambda".
>
> N es la variable aleatoria del número de asistentes a cada reunión
> que **desean** presentar una moción. Cuando se producen "k"
> llegadas, la distribución de N es Binomial de parámetros k y p.
>
> X es la variable aleatoria del número de asistentes a cada
> reunión que, finalmente, presentan la moción.
> Para que una persona que llega en la posición "k" pueda
> presentar la moción, las k-1 anteriores no han tenido deseo de
> presentarla. Así que tenemos una distribución geométrica de
> parámetro 1-p.
>
> Del enunciado se desprende que, en cuanto que una persona
> presenta una moción, la siguiente tendrá que presentarse ya
> en otra reunión distinta.
>
> ¿ Cómo modelizar esto jugando con estas distribuciones ?
>
> Pues no lo sé muy bien, la verdad. No parece un problema fácil.
>
> Saludos,
>
>
Muchas gracias por las explicaciones.
Me temo que todavía no he entiendo todo el anunciado. :-(

Pero es interesante caluclar la distribución (aunque no se lo pide) de
los asistentes que desean presentar una moción, o sea una combinación
de las variables tuyas N y M.
Si escribimos para las distribuciones

wN[n_, k_, p_] := Binomial[n, k]*p^k*(1 - p)^(n - k)
wM[n_, a_] := a^n/n!/E^a

tenemos que calcular

P(X=k) = Sum[wN[n, k, p]wM[n,a], {n, 0, Infinity}]

que resulta en una distribución de Poisson con el parametro a*p.
Este resultado se puede comprender como un corriente de acontecimientos
de Poisson reducido por p.

Saludos,
Wolfgang