1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
P( X = r ) = P( X = r + 1 ).

a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?

b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.


2) El número de asistentes a cierto tipo de reunión sigue una
distribución de Poisson de parámetro "lambda" y, en cada una,
cada asistente tiene una probabilidad "p" de desear presentar
cierta moción, independientemente de los demás individuos.
En cada reunión, los asistentes se van pronunciando por orden
acerca de si presentan o no tal moción y, en cuanto alguien se
pronuncia afirmativamente, se inicia el debate de modo que los
demás no llegan a pronunciarse sobre tal cuestión.

a) Calcular la distribución del número de individuos que desearían
presentar la moción durante una reunión, supuesto que hay "n"
asistentes exactamente.

b) Calcular la distribución del número de individuos que llegan a
pronunciarse sobre tal cuestión, supuesto que hay "n" asistentes
exactamente.

c) Calcular la probabilidad de que hubiese exactamente "n"
asistentes cuando sólo se sabe que al menos llegaron a
pronunciarse "k" individuos sobre tal cuestión.

3) El precio de venta de un libro es 20 euros, pero la editorial
concede descuentos a determinadas compras. Si alguien compra
"r" ejemplares ( 2 <= r <= 10 ), la editorial le cobra 20- 2r
euros por ejemplar y por 11 ó más ejemplares comprados a la
vez, el precio por ejemplar es de 18 euros.
Suponiendo que el número "r" de libros comprados a la vez
por un individuo se distribuye según una distribución de Poisson
de media 4,6, se pide :

a) Calcular el descuento esperado por libro que se le concede
a un individuo.
b) Determinar el descuento esperado como un porcentaje del
precio de venta del libro.
c) Calcular la varianza del descuento.

La tirada del libro consta de 4000 copias, de las cuales, 100 se
distribuyen libremente con fines publicitarios.

d) Calcular la cantidad de dinero esperado que recauda la
editorial si vende todos los ejemplares.


Saludos,

P.D. Dedicado a Wolfgang, que espero que piense que se trata
de un estudio bonito de la distribución de Poisson.

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>
> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>
> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>
>
> 2) El número de asistentes a cierto tipo de reunión sigue una
> distribución de Poisson de parámetro "lambda" y, en cada una,
> cada asistente tiene una probabilidad "p" de desear presentar
> cierta moción, independientemente de los demás individuos.
> En cada reunión, los asistentes se van pronunciando por orden
> acerca de si presentan o no tal moción y, en cuanto alguien se
> pronuncia afirmativamente, se inicia el debate de modo que los
> demás no llegan a pronunciarse sobre tal cuestión.
>
> a) Calcular la distribución del número de individuos que desearían
> presentar la moción durante una reunión, supuesto que hay "n"
> asistentes exactamente.
>
> b) Calcular la distribución del número de individuos que llegan a
> pronunciarse sobre tal cuestión, supuesto que hay "n"
> asistentes
> exactamente.
>
> c) Calcular la probabilidad de que hubiese exactamente "n"
> asistentes cuando sólo se sabe que al menos llegaron a
> pronunciarse "k" individuos sobre tal cuestión.
>
> 3) El precio de venta de un libro es 20 euros, pero la editorial
> concede descuentos a determinadas compras. Si alguien compra
> "r" ejemplares ( 2 <= r <= 10 ), la editorial le cobra 20- 2r
> euros por ejemplar y por 11 ó más ejemplares comprados a la
> vez, el precio por ejemplar es de 18 euros.
> Suponiendo que el número "r" de libros comprados a la vez
> por un individuo se distribuye según una distribución de Poisson
> de media 4,6, se pide :
>
> a) Calcular el descuento esperado por libro que se le concede
> a un individuo.
> b) Determinar el descuento esperado como un porcentaje del
> precio de venta del libro.
> c) Calcular la varianza del descuento.
>
> La tirada del libro consta de 4000 copias, de las cuales, 100 se
> distribuyen libremente con fines publicitarios.
>
> d) Calcular la cantidad de dinero esperado que recauda la
> editorial si vende todos los ejemplares.
>
>
> Saludos,
>
> P.D. Dedicado a Wolfgang, que espero que piense que se trata
> de un estudio bonito de la distribución de Poisson.
>
Hola Luis,
de verdad, este parece ser un estudio bonito de la distribución de
Poisson.
Mañana seré de viaje y no tendré tiempo, pero estaré por aquí pronto.
Saludos,
Wolfgang

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>
> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>
> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>
>
> 2) El número de asistentes a cierto tipo de reunión sigue una
> distribución de Poisson de parámetro "lambda" y, en cada una,
> cada asistente tiene una probabilidad "p" de desear presentar
> cierta moción, independientemente de los demás individuos.
> En cada reunión, los asistentes se van pronunciando por orden
> acerca de si presentan o no tal moción y, en cuanto alguien se
> pronuncia afirmativamente, se inicia el debate de modo que los
> demás no llegan a pronunciarse sobre tal cuestión.
>
> a) Calcular la distribución del número de individuos que desearían
> presentar la moción durante una reunión, supuesto que hay "n"
> asistentes exactamente.
>
> b) Calcular la distribución del número de individuos que llegan a
> pronunciarse sobre tal cuestión, supuesto que hay "n"
> asistentes
> exactamente.
>
> c) Calcular la probabilidad de que hubiese exactamente "n"
> asistentes cuando sólo se sabe que al menos llegaron a
> pronunciarse "k" individuos sobre tal cuestión.
>
> 3) El precio de venta de un libro es 20 euros, pero la editorial
> concede descuentos a determinadas compras. Si alguien compra
> "r" ejemplares ( 2 <= r <= 10 ), la editorial le cobra 20- 2r
> euros por ejemplar y por 11 ó más ejemplares comprados a la
> vez, el precio por ejemplar es de 18 euros.
> Suponiendo que el número "r" de libros comprados a la vez
> por un individuo se distribuye según una distribución de Poisson
> de media 4,6, se pide :
>
> a) Calcular el descuento esperado por libro que se le concede
> a un individuo.
> b) Determinar el descuento esperado como un porcentaje del
> precio de venta del libro.
> c) Calcular la varianza del descuento.
>
> La tirada del libro consta de 4000 copias, de las cuales, 100 se
> distribuyen libremente con fines publicitarios.
>
> d) Calcular la cantidad de dinero esperado que recauda la
> editorial si vende todos los ejemplares.
>
>
> Saludos,
>
> P.D. Dedicado a Wolfgang, que espero que piense que se trata
> de un estudio bonito de la distribución de Poisson.
>
Hola Luis,
de verdad, este parece ser un estudio bonito de la distribución de
Poisson.
Mañana seré de viaje y no tendré tiempo, pero estaré por aquí pronto.
Saludos,
Wolfgang

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>
> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>
> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>
>
> 2) El número de asistentes a cierto tipo de reunión sigue una
> distribución de Poisson de parámetro "lambda" y, en cada una,
> cada asistente tiene una probabilidad "p" de desear presentar
> cierta moción, independientemente de los demás individuos.
> En cada reunión, los asistentes se van pronunciando por orden
> acerca de si presentan o no tal moción y, en cuanto alguien se
> pronuncia afirmativamente, se inicia el debate de modo que los
> demás no llegan a pronunciarse sobre tal cuestión.
>
> a) Calcular la distribución del número de individuos que desearían
> presentar la moción durante una reunión, supuesto que hay "n"
> asistentes exactamente.
>
> b) Calcular la distribución del número de individuos que llegan a
> pronunciarse sobre tal cuestión, supuesto que hay "n"
> asistentes
> exactamente.
>
> c) Calcular la probabilidad de que hubiese exactamente "n"
> asistentes cuando sólo se sabe que al menos llegaron a
> pronunciarse "k" individuos sobre tal cuestión.
>
> 3) El precio de venta de un libro es 20 euros, pero la editorial
> concede descuentos a determinadas compras. Si alguien compra
> "r" ejemplares ( 2 <= r <= 10 ), la editorial le cobra 20- 2r
> euros por ejemplar y por 11 ó más ejemplares comprados a la
> vez, el precio por ejemplar es de 18 euros.
> Suponiendo que el número "r" de libros comprados a la vez
> por un individuo se distribuye según una distribución de Poisson
> de media 4,6, se pide :
>
> a) Calcular el descuento esperado por libro que se le concede
> a un individuo.
> b) Determinar el descuento esperado como un porcentaje del
> precio de venta del libro.
> c) Calcular la varianza del descuento.
>
> La tirada del libro consta de 4000 copias, de las cuales, 100 se
> distribuyen libremente con fines publicitarios.
>
> d) Calcular la cantidad de dinero esperado que recauda la
> editorial si vende todos los ejemplares.
>
>
> Saludos,
>
> P.D. Dedicado a Wolfgang, que espero que piense que se trata
> de un estudio bonito de la distribución de Poisson.
>
1) Escribimos la distribución de Poisson como (lambda -> a)

(1) P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)

a) desde P(r) = P (r+1) -> a^r/r! = a^(r+1)/(r+1)! -> a = r+1
b) Teorema: las modas de la distribución de Poisson para a = entero son
a y a+1.
Prueba:
Tenemos que pruebar los dos relaciones

(*) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k<r
(**) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k>r+1

(*) significa que (r+1)^j<(r+1+j)!/(r+1)! j=1, 2, ... que es evidente.
....
(no tengo tiempo)

Saludos,
Wolfgang

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>
> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>
> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>
>
> 2) El número de asistentes a cierto tipo de reunión sigue una
> distribución de Poisson de parámetro "lambda" y, en cada una,
> cada asistente tiene una probabilidad "p" de desear presentar
> cierta moción, independientemente de los demás individuos.
> En cada reunión, los asistentes se van pronunciando por orden
> acerca de si presentan o no tal moción y, en cuanto alguien se
> pronuncia afirmativamente, se inicia el debate de modo que los
> demás no llegan a pronunciarse sobre tal cuestión.
>
> a) Calcular la distribución del número de individuos que desearían
> presentar la moción durante una reunión, supuesto que hay "n"
> asistentes exactamente.
>
> b) Calcular la distribución del número de individuos que llegan a
> pronunciarse sobre tal cuestión, supuesto que hay "n"
> asistentes
> exactamente.
>
> c) Calcular la probabilidad de que hubiese exactamente "n"
> asistentes cuando sólo se sabe que al menos llegaron a
> pronunciarse "k" individuos sobre tal cuestión.
>
> 3) El precio de venta de un libro es 20 euros, pero la editorial
> concede descuentos a determinadas compras. Si alguien compra
> "r" ejemplares ( 2 <= r <= 10 ), la editorial le cobra 20- 2r
> euros por ejemplar y por 11 ó más ejemplares comprados a la
> vez, el precio por ejemplar es de 18 euros.
> Suponiendo que el número "r" de libros comprados a la vez
> por un individuo se distribuye según una distribución de Poisson
> de media 4,6, se pide :
>
> a) Calcular el descuento esperado por libro que se le concede
> a un individuo.
> b) Determinar el descuento esperado como un porcentaje del
> precio de venta del libro.
> c) Calcular la varianza del descuento.
>
> La tirada del libro consta de 4000 copias, de las cuales, 100 se
> distribuyen libremente con fines publicitarios.
>
> d) Calcular la cantidad de dinero esperado que recauda la
> editorial si vende todos los ejemplares.
>
>
> Saludos,
>
> P.D. Dedicado a Wolfgang, que espero que piense que se trata
> de un estudio bonito de la distribución de Poisson.
>
1) Escribimos la distribución de Poisson como (lambda -> a)

(1) P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)

a) desde P(r) = P (r+1) -> a^r/r! = a^(r+1)/(r+1)! -> a = r+1
b) Teorema: las modas de la distribución de Poisson para a = entero son
a y a+1.
Prueba:
Tenemos que pruebar los dos relaciones

(*) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k<r
(**) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k>r+1

(*) significa que (r+1)^j<(r+1+j)!/(r+1)! j=1, 2, ... que es evidente.
....
(no tengo tiempo)

Saludos,
Wolfgang

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>
> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>
> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>
>
> 2) El número de asistentes a cierto tipo de reunión sigue una
> distribución de Poisson de parámetro "lambda" y, en cada una,
> cada asistente tiene una probabilidad "p" de desear presentar
> cierta moción, independientemente de los demás individuos.
> En cada reunión, los asistentes se van pronunciando por orden
> acerca de si presentan o no tal moción y, en cuanto alguien se
> pronuncia afirmativamente, se inicia el debate de modo que los
> demás no llegan a pronunciarse sobre tal cuestión.
>
> a) Calcular la distribución del número de individuos que desearían
> presentar la moción durante una reunión, supuesto que hay "n"
> asistentes exactamente.
>
> b) Calcular la distribución del número de individuos que llegan a
> pronunciarse sobre tal cuestión, supuesto que hay "n"
> asistentes
> exactamente.
>
> c) Calcular la probabilidad de que hubiese exactamente "n"
> asistentes cuando sólo se sabe que al menos llegaron a
> pronunciarse "k" individuos sobre tal cuestión.
>
> 3) El precio de venta de un libro es 20 euros, pero la editorial
> concede descuentos a determinadas compras. Si alguien compra
> "r" ejemplares ( 2 <= r <= 10 ), la editorial le cobra 20- 2r
> euros por ejemplar y por 11 ó más ejemplares comprados a la
> vez, el precio por ejemplar es de 18 euros.
> Suponiendo que el número "r" de libros comprados a la vez
> por un individuo se distribuye según una distribución de Poisson
> de media 4,6, se pide :
>
> a) Calcular el descuento esperado por libro que se le concede
> a un individuo.
> b) Determinar el descuento esperado como un porcentaje del
> precio de venta del libro.
> c) Calcular la varianza del descuento.
>
> La tirada del libro consta de 4000 copias, de las cuales, 100 se
> distribuyen libremente con fines publicitarios.
>
> d) Calcular la cantidad de dinero esperado que recauda la
> editorial si vende todos los ejemplares.
>
>
> Saludos,
>
> P.D. Dedicado a Wolfgang, que espero que piense que se trata
> de un estudio bonito de la distribución de Poisson.
>
>
(1) Continuación de mi mensaje de hoy mañana.
Para la distribución

P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)

la moda k es definido por las inigualidades

P(k-1)< P(k)
P(k+1)< P(k)

que nos llevan a

a-1 < k < a

Si a no es entero ya está, si a es entero ya sabemos que k=a y k=a-1.

(2) Lo siento pero me parece que no entiendo bien el problema.
Veremos que - con mi entendimiento - el problema no tiene que ver con
la distribución de Poisson.
Trato de contestar de todos modos ...

(a) la distribución es binimoal w(n,k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

(b) en este tengo mis problemas:
el anunciado dice que sólo un asistente (o ningún) puede llegar a
pronunciarse.
Por tanto la distribución sería

w(n,X=0) = (1-p)^n
w(n,X=1) = p (1-p)^(n-1)

(c) desde (2) tenemos que <k> = p(1-p)^(n-1) de donde n =
1+Log(<k>/p)/Log(1-p)

(3) El precio de venta de un libro como función del número k de los
libros compradas a la vez es dado como (con una corrección 2 k -> 0,2 k
para el descuento)

c(k) = 20 para k=1; = 20 - k*2/10 para k=2..10; = 18 para k>=11

(a) El precio de venta pro libro esperado es por tanto

ce = Sum ( c(k) p(k) , (k,0,oo) )

= c(1) p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 Sum ( p(k),
(k,11,oo) )

= 20 p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 (1 -
Sum(p(k),(k,0,10))

= 0.854956 + 17.8721 + 0.162402 = 18.8895 -> 18.89 EUR

(b) el descuento esperado relativo es (20-18.89)/20 = (1.11/20) = 5.56
%

(c) ... tal vez mañana ... :-) (hace demasiado calor en Berlín, unos 32
grados en la sombra)

(d) 4000 - 100 = 3900 x 18.89 = 73671 EUR

Saludos,
Wolfgang

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>
> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>
> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>
>
> 2) El número de asistentes a cierto tipo de reunión sigue una
> distribución de Poisson de parámetro "lambda" y, en cada una,
> cada asistente tiene una probabilidad "p" de desear presentar
> cierta moción, independientemente de los demás individuos.
> En cada reunión, los asistentes se van pronunciando por orden
> acerca de si presentan o no tal moción y, en cuanto alguien se
> pronuncia afirmativamente, se inicia el debate de modo que los
> demás no llegan a pronunciarse sobre tal cuestión.
>
> a) Calcular la distribución del número de individuos que desearían
> presentar la moción durante una reunión, supuesto que hay "n"
> asistentes exactamente.
>
> b) Calcular la distribución del número de individuos que llegan a
> pronunciarse sobre tal cuestión, supuesto que hay "n"
> asistentes
> exactamente.
>
> c) Calcular la probabilidad de que hubiese exactamente "n"
> asistentes cuando sólo se sabe que al menos llegaron a
> pronunciarse "k" individuos sobre tal cuestión.
>
> 3) El precio de venta de un libro es 20 euros, pero la editorial
> concede descuentos a determinadas compras. Si alguien compra
> "r" ejemplares ( 2 <= r <= 10 ), la editorial le cobra 20- 2r
> euros por ejemplar y por 11 ó más ejemplares comprados a la
> vez, el precio por ejemplar es de 18 euros.
> Suponiendo que el número "r" de libros comprados a la vez
> por un individuo se distribuye según una distribución de Poisson
> de media 4,6, se pide :
>
> a) Calcular el descuento esperado por libro que se le concede
> a un individuo.
> b) Determinar el descuento esperado como un porcentaje del
> precio de venta del libro.
> c) Calcular la varianza del descuento.
>
> La tirada del libro consta de 4000 copias, de las cuales, 100 se
> distribuyen libremente con fines publicitarios.
>
> d) Calcular la cantidad de dinero esperado que recauda la
> editorial si vende todos los ejemplares.
>
>
> Saludos,
>
> P.D. Dedicado a Wolfgang, que espero que piense que se trata
> de un estudio bonito de la distribución de Poisson.
>
>
(1) Continuación de mi mensaje de hoy mañana.
Para la distribución

P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)

la moda k es definido por las inigualidades

P(k-1)< P(k)
P(k+1)< P(k)

que nos llevan a

a-1 < k < a

Si a no es entero ya está, si a es entero ya sabemos que k=a y k=a-1.

(2) Lo siento pero me parece que no entiendo bien el problema.
Veremos que - con mi entendimiento - el problema no tiene que ver con
la distribución de Poisson.
Trato de contestar de todos modos ...

(a) la distribución es binimoal w(n,k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

(b) en este tengo mis problemas:
el anunciado dice que sólo un asistente (o ningún) puede llegar a
pronunciarse.
Por tanto la distribución sería

w(n,X=0) = (1-p)^n
w(n,X=1) = p (1-p)^(n-1)

(c) desde (2) tenemos que <k> = p(1-p)^(n-1) de donde n =
1+Log(<k>/p)/Log(1-p)

(3) El precio de venta de un libro como función del número k de los
libros compradas a la vez es dado como (con una corrección 2 k -> 0,2 k
para el descuento)

c(k) = 20 para k=1; = 20 - k*2/10 para k=2..10; = 18 para k>=11

(a) El precio de venta pro libro esperado es por tanto

ce = Sum ( c(k) p(k) , (k,0,oo) )

= c(1) p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 Sum ( p(k),
(k,11,oo) )

= 20 p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 (1 -
Sum(p(k),(k,0,10))

= 0.854956 + 17.8721 + 0.162402 = 18.8895 -> 18.89 EUR

(b) el descuento esperado relativo es (20-18.89)/20 = (1.11/20) = 5.56
%

(c) ... tal vez mañana ... :-) (hace demasiado calor en Berlín, unos 32
grados en la sombra)

(d) 4000 - 100 = 3900 x 18.89 = 73671 EUR

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
news:6ampt0F35q2a2U1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
>> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
>> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>>
>> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>>
>> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>>
> 1) Escribimos la distribución de Poisson como (lambda -> a)
>
> (1) P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>
> a) desde P(r) = P (r+1) -> a^r/r! = a^(r+1)/(r+1)! -> a = r+1
> b) Teorema: las modas de la distribución de Poisson para a = entero son a
> y a+1.
> Prueba:
> Tenemos que pruebar los dos relaciones
>
> (*) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k<r
> (**) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k>r+1
>
> (*) significa que (r+1)^j<(r+1+j)!/(r+1)! j=1, 2, ... que es evidente.
> ...
> (no tengo tiempo)

Ya lo acabo yo.

Hemos de ver que (r+1)^k / k! < (r+1)^r / r! para todo k > r+1

Si k > r+1 , existirá un j>1 tal que k = r+j. Entonces :

k! / r! = (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) y la desigualdad queda :

(r+1)^k < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) (r+1)^r

O sea (r+1)^(k-r-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

O, (r+1)^(j-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

que es cierta, pues el producto de la derecha está formado
por j-1 factores cada uno de ellos mayor que r+1.

Saludos,

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
news:6ampt0F35q2a2U1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:g242gl$jvs$1***registered.motzarella.org...
>>1 ) Una distribución de Poisson de parámetro "lambda" verifica,
>> para un cierto valor "r" de la variable aleatoria X , que
>> P( X = r ) = P( X = r + 1 ).
>>
>> a) ¿ Qué condición debe verificar "lambda" ?
>>
>> b) Demostrar que r y r+1 son modas de la distribución de X.
>>
> 1) Escribimos la distribución de Poisson como (lambda -> a)
>
> (1) P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>
> a) desde P(r) = P (r+1) -> a^r/r! = a^(r+1)/(r+1)! -> a = r+1
> b) Teorema: las modas de la distribución de Poisson para a = entero son a
> y a+1.
> Prueba:
> Tenemos que pruebar los dos relaciones
>
> (*) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k<r
> (**) a^k/k! < a^r/r!=a^(r+1)/(r+1)! k>r+1
>
> (*) significa que (r+1)^j<(r+1+j)!/(r+1)! j=1, 2, ... que es evidente.
> ...
> (no tengo tiempo)

Ya lo acabo yo.

Hemos de ver que (r+1)^k / k! < (r+1)^r / r! para todo k > r+1

Si k > r+1 , existirá un j>1 tal que k = r+j. Entonces :

k! / r! = (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) y la desigualdad queda :

(r+1)^k < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)(r+1) (r+1)^r

O sea (r+1)^(k-r-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

O, (r+1)^(j-1) < (r+j)(r+j-1)(r+j-2).....(r+2)

que es cierta, pues el producto de la derecha está formado
por j-1 factores cada uno de ellos mayor que r+1.

Saludos,

>>
> (1) Continuación de mi mensaje de hoy mañana.
> Para la distribución
>
> P(X=r) = a^r/r! Exp(-a)
>
> la moda k es definido por las inigualidades
>
> P(k-1)< P(k)
> P(k+1)< P(k)
>
> que nos llevan a
>
> a-1 < k < a
>
> Si a no es entero ya está, si a es entero ya sabemos que k=a y k=a-1.

No había visto esta respuesta. Sí, así queda más bonito.
Lo único que, del enunciado, se desprende que "r" es un número
entero ( pues pertenece al dominio de la variable aleatoria X ).
Como por el apartado (a) sabemos que "lambda" = r+1 , aplicando
tus desigualdades llegamos a que k < r+1 < k+1.
Como k y r son enteros, sólo puede ser k = r+1 y k+1 = r+1.
Luego, en efecto, X tiene una distribución "bimodal" con modas r y r+1.

> (2) Lo siento pero me parece que no entiendo bien el problema.
> Veremos que - con mi entendimiento - el problema no tiene que ver con la
> distribución de Poisson.
> Trato de contestar de todos modos ...


> (a) la distribución es binimoal w(n,k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
>
> (b) en este tengo mis problemas:
> el anunciado dice que sólo un asistente (o ningún) puede llegar a
> pronunciarse.
> Por tanto la distribución sería
>
> w(n,X=0) = (1-p)^n
> w(n,X=1) = p (1-p)^(n-1)
>
> (c) desde (2) tenemos que <k> = p(1-p)^(n-1) de donde n =
> 1+Log(<k>/p)/Log(1-p)

Sí, yo creo que no lo has entendido bien. El enunciado es un poco
lioso, lo reconozco.
Llamo M al número de asistentes a la reunión y llamo N al número
de asistentes que quieren presentar una moción ( una "moción", en
castellano, es una propuesta, una proposición )
Entonces

P(M=k) = (lambda^k)*e^(-lambda) / k! , k = 0,1,2,.....

N es una variable aleatoria que dependerá del número de asistentes
a la reunión. Es decir, según se van produciendo las llegadas, los
individuos proponen o no sus mociones.
Luego

P(N= i | M = k ) = C(k,i) p^i (1-p)^(k-i)

Por el Teorema de la probabilidad total :

P(N=i) = Sum( P(N= i | M = k )*P(M=k) , k = i..n ) =

= ( e^(-lambda)*(p*lambda)^i / i! )*Sum( ( (1-p)*lambda)^(k-i) / (k-i)! , k
= i..n )

que creo que puede simplificarse en términos de la función gamma.

Si n tendiese a infinito, la serie sería igual a e^((1-p)*lambda) y
tendríamos que la distribución de N es de Poisson de parámetro
lambda*p.

Quizás un problema más claro para verlo sería éste :

"En un día cualquiera, el número de pacientes que llega al servicio
de urgencia de un hospital tiene distribución de Poisson de parámetro
"lambda". Cada paciente tiene una probabilidad "p" de requerir
hospitalización, mientras que una proporción 1-p son atendidos y
enviados a su domicilio.
Determinar la distribución del número de enfermos que ingresan en
el hospital"
( En este caso, el número de pacientes que van llegando se considera
ilimitado, y resultaría una Poisson de parámetro lambda*p ).

Mañana intento hacer b) y c). Ya estoy cansado.



> (3) El precio de venta de un libro como función del número k de los libros
> compradas a la vez es dado como (con una corrección 2 k -> 0,2 k para el
> descuento)
>
> c(k) = 20 para k=1; = 20 - k*2/10 para k=2..10; = 18 para k>=11
>
> (a) El precio de venta pro libro esperado es por tanto
>
> ce = Sum ( c(k) p(k) , (k,0,oo) )
>
> = c(1) p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 Sum ( p(k),
> (k,11,oo) )
>
> = 20 p(1) + Sum ( (20-0,2 k) p(k) ,(k,2,10) ) + 18 (1 -
> Sum(p(k),(k,0,10))
>
> = 0.854956 + 17.8721 + 0.162402 = 18.8895 -> 18.89 EUR
>
> (b) el descuento esperado relativo es (20-18.89)/20 = (1.11/20) = 5.56 %
>
> (c) ... tal vez mañana ... :-) (hace demasiado calor en Berlín, unos 32
> grados en la sombra)
>
> (d) 4000 - 100 = 3900 x 18.89 = 73671 EUR
>

Éste lo miro también mañana. Aunque, por lo que observo, parece
que sí coincidiremos.


Saludos,