A la siguiente desigualdad no acabo de verle la gracia:

([x]/(3x + {x})) + ({x}/(3x + [x])) > 4/15

siendo x > 0 y [] y {} sus partes entera y fraccional respectivamente.
De hecho la cota es manifiestamente mejorable por lo que veo.
En fin,a ver que punta le sacais.

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> A la siguiente desigualdad no acabo de verle la gracia:
>
> ([x]/(3x + {x})) + ({x}/(3x + [x])) > 4/15
>
> siendo x > 0 y [] y {} sus partes entera y fraccional respectivamente.
> De hecho la cota es manifiestamente mejorable por lo que veo.
> En fin,a ver que punta le sacais.
>

Supongamos que

0 < x < 1

entonces tenemos que

f(x) = 1/3, que es claramente mayor que 4/15

Si n <= x < n+1 escribimos

x = n + s

y nos queda

f(n+s) = n/(3n+4s) + s/(4n+3s)

= n/(3n+4s) + 1/3 -(4/3)n/(4n+3s)

Esta función es decreciente con s en el intervalo 0 < s < 1

f'(n+s) = -4n(1/(3n+4s)^2 - 1/(4n+3s)^2) =

= -28n(n^2-s^2)/((3n+4s)(4n+3s))^2

Por tanto el valor mínimo en cada intervalo lo alcanzará en el límite
s->1, lo que nos da

fmin(n) = n/(3n+4) + 1/3 - (4/3)n/(4n+3)

y esta función es creciente con n

fmin'(n) = 28n(n^2-1)/((3n+4)(4n+3))^2

y por tanto la cota inferior para f(x) la da el mínimo valor de n que es
n = 1, lo que corresponde a x = 2-

f(2-) = 2/7

Por tanto

([x]/(3x + {x})) + ({x}/(3x + [x])) > 2/7 > 4/15



--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> A la siguiente desigualdad no acabo de verle la gracia:
>
> ([x]/(3x + {x})) + ({x}/(3x + [x])) > 4/15
>
> siendo x > 0 y [] y {} sus partes entera y fraccional respectivamente.
> De hecho la cota es manifiestamente mejorable por lo que veo.
> En fin,a ver que punta le sacais.
>

Supongamos que

0 < x < 1

entonces tenemos que

f(x) = 1/3, que es claramente mayor que 4/15

Si n <= x < n+1 escribimos

x = n + s

y nos queda

f(n+s) = n/(3n+4s) + s/(4n+3s)

= n/(3n+4s) + 1/3 -(4/3)n/(4n+3s)

Esta función es decreciente con s en el intervalo 0 < s < 1

f'(n+s) = -4n(1/(3n+4s)^2 - 1/(4n+3s)^2) =

= -28n(n^2-s^2)/((3n+4s)(4n+3s))^2

Por tanto el valor mínimo en cada intervalo lo alcanzará en el límite
s->1, lo que nos da

fmin(n) = n/(3n+4) + 1/3 - (4/3)n/(4n+3)

y esta función es creciente con n

fmin'(n) = 28n(n^2-1)/((3n+4)(4n+3))^2

y por tanto la cota inferior para f(x) la da el mínimo valor de n que es
n = 1, lo que corresponde a x = 2-

f(2-) = 2/7

Por tanto

([x]/(3x + {x})) + ({x}/(3x + [x])) > 2/7 > 4/15



--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> A la siguiente desigualdad no acabo de verle la gracia:
>
> ([x]/(3x + {x})) + ({x}/(3x + [x])) > 4/15
>
> siendo x > 0 y [] y {} sus partes entera y fraccional respectivamente.
> De hecho la cota es manifiestamente mejorable por lo que veo.
> En fin,a ver que punta le sacais.
>

Supongamos que

0 < x < 1

entonces tenemos que

f(x) = 1/3, que es claramente mayor que 4/15

Si n <= x < n+1 escribimos

x = n + s

y nos queda

f(n+s) = n/(3n+4s) + s/(4n+3s)

= n/(3n+4s) + 1/3 -(4/3)n/(4n+3s)

Esta función es decreciente con s en el intervalo 0 < s < 1

f'(n+s) = -4n(1/(3n+4s)^2 - 1/(4n+3s)^2) =

= -28n(n^2-s^2)/((3n+4s)(4n+3s))^2

Por tanto el valor mínimo en cada intervalo lo alcanzará en el límite
s->1, lo que nos da

fmin(n) = n/(3n+4) + 1/3 - (4/3)n/(4n+3)

y esta función es creciente con n

fmin'(n) = 28n(n^2-1)/((3n+4)(4n+3))^2

y por tanto la cota inferior para f(x) la da el mínimo valor de n que es
n = 1, lo que corresponde a x = 2-

f(2-) = 2/7

Por tanto

([x]/(3x + {x})) + ({x}/(3x + [x])) > 2/7 > 4/15



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Antonio