Se tienen dos bolas A y B en el diámetro de una mesa de billar circular. ¿A
que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que al rebotar una vez
golpee a B? Se supone que sin efecto (las bolas son puntuales, no giran
sobre si mismas)

Si no están en un diámetro es algo más complicado ...

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Se tienen dos bolas A y B en el diámetro de una mesa de billar
> circular. ¿A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que
> al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las bolas
> son puntuales, no giran sobre si mismas)
>
> Si no están en un diámetro es algo más complicado ...

Una precisión: Las dos bolas están separadas por otra C, situada en el
centro de la mesa. ¿Siempre hay solución en este caso?

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
> Ignacio Larrosa Ca�estro wrote:
> > Se tienen dos bolas A y B en el di�metro de una mesa de billar
> > circular. �A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que
> > al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las bolas
> > son puntuales, no giran sobre si mismas)
> >
> > Si no est�n en un di�metro es algo m�s complicado ...
>
> Una precisi�n: Las dos bolas est�n separadas por otra C, situada en el
> centro de la mesa. �Siempre hay soluci�n en este caso?
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Yo creo que hay que lanzarla al punto medio del arco AB para que el
angulo de incidencia y de reflexion sean iguales y de valor comun 45º
no?

Saludos.

Javier Esquinas wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
>> Ignacio Larrosa Ca?estro wrote:
>>> Se tienen dos bolas A y B en el di?metro de una mesa de billar
>>> circular. ?A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para
>>> que al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las
>>> bolas son puntuales, no giran sobre si mismas)
>>>
>>> Si no est?n en un di?metro es algo m?s complicado ...
>>
>> Una precisi?n: Las dos bolas est?n separadas por otra C, situada en
>> el centro de la mesa. ?Siempre hay soluci?n en este caso?
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca?estro
>> A Coru?a (Espa?a)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
> Yo creo que hay que lanzarla al punto medio del arco AB para que el
> angulo de incidencia y de reflexion sean iguales y de valor comun 45º
> no?
>

A y B están en el diámetro, separadas por C en el centro, pero no
necesariamente en los extremos del diámetro.



Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas escribió:
>
> Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
>> Ignacio Larrosa Ca�estro wrote:
>>> Se tienen dos bolas A y B en el di�metro de una mesa de billar
>>> circular. �A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que
>>> al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las bolas
>>> son puntuales, no giran sobre si mismas)
>>>
>>> Si no est�n en un di�metro es algo m�s complicado ...
>> Una precisi�n: Las dos bolas est�n separadas por otra C, situada en el
>> centro de la mesa. �Siempre hay soluci�n en este caso?
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca�estro
>> A Coru�a (Espa�a)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
> Yo creo que hay que lanzarla al punto medio del arco AB para que el
> angulo de incidencia y de reflexion sean iguales y de valor comun 45º
> no?
>

Pero los puntos A y B no están en los extremos del diámetro.

Con variable compleja se puede plantear de forma sencilla:

Sea z el punto de reflexión (suponiendo una circunferencia unidad). En
este caso, la condición de que el ángulo de incidencia y del reflexión
sean iguales es

arg(z/(z-B)) = arg((z-A)/z)

o, lo que es lo mismo

Im(ln(z/(z-B)) = Im(ln((z-A)/z))

de donde

ln(z/(z-B)) - ln(z*/(z*-B*)) = ln((z-A)/z) - ln((z*-A*)/z*)

Hallando la exponencial

z(z*-B*)/(z*(z-B)) = (z-A)z*/((z*-A*)z)

Aplicando que zz* = 1

(1-zB*)(1-zA*) - (1-z*B)(1-z*A) = 0

z^2A*B* - z(A*+B*) + z*(A+B) - z*^2AB = 0

Teniendo en cuenta que z* = 1/z, resulta una ecuación de cuarto grado
que el Mathematica es capaz de resolver, pero que es extremadamente
complicada.

Ahora bien, si A y B están en un diámetro, podemos tomar éste como eje
real y queda

(z^2 - 1/z^2)AB - (z - 1/z)(A+B) = 0

como

z^2 - 1/z^2 = (z-1/z)(z+1/z)

y por las condiciones de Ignacio debemos descartar las soluciones z=1 y
z= -1 (que obligan a pasar por el centro de la mesa) queda

(z + 1/z) AB - (A+B) = 0

z^2 -(1/A + 1/B)z + 1 = 0

con soluciones

z = (1/2)((1/A+1/B) +- rq((1/A+1/B)^2-4)

Para que haya solución sobre la circunferencia, estas soluciones no
deben ser reales, sino complejas conjugadas. Por ello, debe ser

-2 < 1/A + 1/B < 2

Como -1 < A < 1 y -1<B < 1, esto implica que A y B deben estar en lados
opuestos respecto del centro. Además, si representamos el par (A,B) en
el cuadrado (-1,1)x(-1,1) la región permitida es la comprendida entre
dos hipérbolas

-2 < 1/A + 1/B < 2

-2 < (A+B)/AB < 2

-2AB > A+B > 2AB

-2AB - A - B > 0 > 2AB - A - B

-2(A+1/2)(B+1/2)+1/2 > 0 > 2(A-1/2)(B-1/2) -1/2

cumpliéndose las desigualdades

(A+1/2)(B+1/2) < 1/4

(A-1/2)(B-1/2) < 1/4


--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
> Javier Esquinas wrote:
> > Ignacio Larrosa Ca�estro ha escrito:
> >> Ignacio Larrosa Ca?estro wrote:
> >>> Se tienen dos bolas A y B en el di?metro de una mesa de billar
> >>> circular. ?A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para
> >>> que al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las
> >>> bolas son puntuales, no giran sobre si mismas)
> >>>
> >>> Si no est?n en un di?metro es algo m?s complicado ...
> >>
> >> Una precisi?n: Las dos bolas est?n separadas por otra C, situada en
> >> el centro de la mesa. ?Siempre hay soluci?n en este caso?
> >>
> >> --
> >> Saludos,
> >>
> >> Ignacio Larrosa Ca?estro
> >> A Coru?a (Espa?a)
> >> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
> >
> > Yo creo que hay que lanzarla al punto medio del arco AB para que el
> > angulo de incidencia y de reflexion sean iguales y de valor comun 45�
> > no?
> >
>
> A y B est�n en el di�metro, separadas por C en el centro, pero no
> necesariamente en los extremos del di�metro.
>
>
>
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com


Es cierto,se me habia ido la cabeza al caso extremo.

Saludos.

Antonio González wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
>>> Ignacio Larrosa Ca?estro wrote:
>>>> Se tienen dos bolas A y B en el di?metro de una mesa de billar
>>>> circular. ?A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para
>>>> que al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las
>>>> bolas son puntuales, no giran sobre si mismas)
>>>>
>>>> Si no est?n en un di?metro es algo m?s complicado ...
>>> Una precisi?n: Las dos bolas est?n separadas por otra C, situada en
>>> el centro de la mesa. ?Siempre hay soluci?n en este caso?
>>>
>>> --
>>> Saludos,
>>>
>>> Ignacio Larrosa Ca?estro
>>> A Coru?a (Espa?a)
>>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>>
>> Yo creo que hay que lanzarla al punto medio del arco AB para que el
>> angulo de incidencia y de reflexion sean iguales y de valor comun 45º
>> no?
>>
>
> Pero los puntos A y B no están en los extremos del diámetro.
>
> Con variable compleja se puede plantear de forma sencilla:
>
> Sea z el punto de reflexión (suponiendo una circunferencia unidad). En
> este caso, la condición de que el ángulo de incidencia y del reflexión
> sean iguales es
>
> arg(z/(z-B)) = arg((z-A)/z)
>
> o, lo que es lo mismo
>
> Im(ln(z/(z-B)) = Im(ln((z-A)/z))
>
> de donde
>
> ln(z/(z-B)) - ln(z*/(z*-B*)) = ln((z-A)/z) - ln((z*-A*)/z*)
>
> Hallando la exponencial
>
> z(z*-B*)/(z*(z-B)) = (z-A)z*/((z*-A*)z)
>
> Aplicando que zz* = 1
>
> (1-zB*)(1-zA*) - (1-z*B)(1-z*A) = 0
>
> z^2A*B* - z(A*+B*) + z*(A+B) - z*^2AB = 0
>
> Teniendo en cuenta que z* = 1/z, resulta una ecuación de cuarto grado
> que el Mathematica es capaz de resolver, pero que es extremadamente
> complicada.
>
> Ahora bien, si A y B están en un diámetro, podemos tomar éste como eje
> real y queda
>
> (z^2 - 1/z^2)AB - (z - 1/z)(A+B) = 0
>
> como
>
> z^2 - 1/z^2 = (z-1/z)(z+1/z)
>
> y por las condiciones de Ignacio debemos descartar las soluciones z=1
> y z= -1 (que obligan a pasar por el centro de la mesa) queda
>
> (z + 1/z) AB - (A+B) = 0
>
> z^2 -(1/A + 1/B)z + 1 = 0
>
> con soluciones
>
> z = (1/2)((1/A+1/B) +- rq((1/A+1/B)^2-4)
>
> Para que haya solución sobre la circunferencia, estas soluciones no
> deben ser reales, sino complejas conjugadas. Por ello, debe ser
>
> -2 < 1/A + 1/B < 2
>
> Como -1 < A < 1 y -1<B < 1, esto implica que A y B deben estar en
> lados opuestos respecto del centro. Además, si representamos el par
> (A,B) en el cuadrado (-1,1)x(-1,1) la región permitida es la
> comprendida entre dos hipérbolas
>
> -2 < 1/A + 1/B < 2
>
> -2 < (A+B)/AB < 2
>
> -2AB > A+B > 2AB
>
> -2AB - A - B > 0 > 2AB - A - B
>
> -2(A+1/2)(B+1/2)+1/2 > 0 > 2(A-1/2)(B-1/2) -1/2
>
> cumpliéndose las desigualdades
>
> (A+1/2)(B+1/2) < 1/4
>
> (A-1/2)(B-1/2) < 1/4

Geométricamente es sencillo: basta invertir A y B en A' y B', y la
intersección de la mediatriz del segmento A'B' con la circunferencia, si la
hay, nos dan los puntos de reflexión.

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Antonio González wrote:
>> Javier Esquinas escribió:
>>>
>>> Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
>>>> Ignacio Larrosa Ca?estro wrote:
>>>>> Se tienen dos bolas A y B en el di?metro de una mesa de billar
>>>>> circular. ?A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para
>>>>> que al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las
>>>>> bolas son puntuales, no giran sobre si mismas)
>>>>>
>>>>> Si no est?n en un di?metro es algo m?s complicado ...
>>>> Una precisi?n: Las dos bolas est?n separadas por otra C, situada en
>>>> el centro de la mesa. ?Siempre hay soluci?n en este caso?
>>>>
>>>> --
>>>> Saludos,
>>>>
>>>> Ignacio Larrosa Ca?estro
>>>> A Coru?a (Espa?a)
>>>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>>>
>>> Yo creo que hay que lanzarla al punto medio del arco AB para que el
>>> angulo de incidencia y de reflexion sean iguales y de valor comun
>>> 45º no?
>>>
>>
>> Pero los puntos A y B no están en los extremos del diámetro.
>>
>> Con variable compleja se puede plantear de forma sencilla:
>>
>> Sea z el punto de reflexión (suponiendo una circunferencia unidad).
>> En este caso, la condición de que el ángulo de incidencia y del
>> reflexión sean iguales es
>>
>> arg(z/(z-B)) = arg((z-A)/z)
>>
>> o, lo que es lo mismo
>>
>> Im(ln(z/(z-B)) = Im(ln((z-A)/z))
>>
>> de donde
>>
>> ln(z/(z-B)) - ln(z*/(z*-B*)) = ln((z-A)/z) - ln((z*-A*)/z*)
>>
>> Hallando la exponencial
>>
>> z(z*-B*)/(z*(z-B)) = (z-A)z*/((z*-A*)z)
>>
>> Aplicando que zz* = 1
>>
>> (1-zB*)(1-zA*) - (1-z*B)(1-z*A) = 0
>>
>> z^2A*B* - z(A*+B*) + z*(A+B) - z*^2AB = 0
>>
>> Teniendo en cuenta que z* = 1/z, resulta una ecuación de cuarto grado
>> que el Mathematica es capaz de resolver, pero que es extremadamente
>> complicada.
>>
>> Ahora bien, si A y B están en un diámetro, podemos tomar éste como
>> eje real y queda
>>
>> (z^2 - 1/z^2)AB - (z - 1/z)(A+B) = 0
>>
>> como
>>
>> z^2 - 1/z^2 = (z-1/z)(z+1/z)
>>
>> y por las condiciones de Ignacio debemos descartar las soluciones z=1
>> y z= -1 (que obligan a pasar por el centro de la mesa) queda
>>
>> (z + 1/z) AB - (A+B) = 0
>>
>> z^2 -(1/A + 1/B)z + 1 = 0
>>
>> con soluciones
>>
>> z = (1/2)((1/A+1/B) +- rq((1/A+1/B)^2-4)
>>
>> Para que haya solución sobre la circunferencia, estas soluciones no
>> deben ser reales, sino complejas conjugadas. Por ello, debe ser
>>
>> -2 < 1/A + 1/B < 2
>>
>> Como -1 < A < 1 y -1<B < 1, esto implica que A y B deben estar en
>> lados opuestos respecto del centro. Además, si representamos el par
>> (A,B) en el cuadrado (-1,1)x(-1,1) la región permitida es la
>> comprendida entre dos hipérbolas
>>
>> -2 < 1/A + 1/B < 2
>>
>> -2 < (A+B)/AB < 2
>>
>> -2AB > A+B > 2AB
>>
>> -2AB - A - B > 0 > 2AB - A - B
>>
>> -2(A+1/2)(B+1/2)+1/2 > 0 > 2(A-1/2)(B-1/2) -1/2
>>
>> cumpliéndose las desigualdades
>>
>> (A+1/2)(B+1/2) < 1/4
>>
>> (A-1/2)(B-1/2) < 1/4
>
> Geométricamente es sencillo: basta invertir A y B en A' y B', y la
> intersección de la mediatriz del segmento A'B' con la circunferencia,
> si la hay, nos dan los puntos de reflexión.

Y la justificación no es complicada, partiendo de que la inversión es una
transformación conforme (que mantiene los ángulos).

Demos el problema por resuelto, sea c la circunferencia del billar y P uno
de los dos puntos solución (el otro es el simétrico respecto al diámetro que
pasa por A y B). Considerando la inversión respcto a c, la recta AP se
transforma en la circunferencia cA que pasa por A', C y P, y la recta BP en
la circunferencia cB que pasa por B', C y P, donde A' y B' son los inversos
de A y B respectivamente.

La recta CP se transforma en si misma. Ambas circunferencias cA y cB pasan
por C y por P y deben formar ángulos iguales en P con la cuerda común CP,
por lo que tienen el mismo radio.

Si las proyecciones de los centros O_A y O_B de estas circunferencias sobre
la recta AB son M_A y M_B, se tiene que M_A es el punto medio de C y A', y
M_B el punto medio de C y B'. Si H es el punto medio de CP, también lo es de
O_A y O_B, y su proyección sobre la recta AB será N, el punto medio de M_A y
M_B.

Aplicando ahora una homotecia de centro C y razón 2, N se transforma en M,
proyección de P sobre la recta AB, mientras que M_A y M_B se transforman en
A' y B', por lo que N resulta ser el punto medio de A' y B'.

Entonces la construcción es sencilla. Se invierten A y B en la
circunferencia c, para obtener A' y B'. Se halla el punto medio M de A' y B'
y se traza la perpendicular por él. Los puntos en que esta perpendicular
corta a C, si existen, son las soluciones del problema.

Llamemos a = |AC| y b = |BC|. Como ambos puntos están separados por C,
considerando a este como origen, la coordenada de A, en la recta AB con
origen en C, será a y la de B será -b, por ejemplo.

Entonces, las coordenadas de A' y B' son 1/a y -1/b, y la de M será m =
(1/a - 1/b)/2. Para que el problema tenga solución, debe ser |m| < r, donde
r es el radio de la circunferencia:

-r < 1/a - 1/b < r

Y donde no es imprescindible que a, b < r (el perímetro de la mesa de billar
podría ser solo en parte circular).

¡Maravillas de la inversión!


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>> Antonio González wrote:
>>> Javier Esquinas escribió:
>>>>
>>>> Ignacio Larrosa Cañestro ha escrito:
>>>>> Ignacio Larrosa Ca?estro wrote:
>>>>>> Se tienen dos bolas A y B en el di?metro de una mesa de billar
>>>>>> circular. ?A que punto de la circunferencia hay que lanzar A para
>>>>>> que al rebotar una vez golpee a B? Se supone que sin efecto (las
>>>>>> bolas son puntuales, no giran sobre si mismas)
>>>>>>
>>>>>> Si no est?n en un di?metro es algo m?s complicado ...
>>>>> Una precisi?n: Las dos bolas est?n separadas por otra C, situada
>>>>> en el centro de la mesa. ?Siempre hay soluci?n en este caso?
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Saludos,
>>>>>
>>>>> Ignacio Larrosa Ca?estro
>>>>> A Coru?a (Espa?a)
>>>>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>>>>
>>>> Yo creo que hay que lanzarla al punto medio del arco AB para que el
>>>> angulo de incidencia y de reflexion sean iguales y de valor comun
>>>> 45º no?
>>>>
>>>
>>> Pero los puntos A y B no están en los extremos del diámetro.
>>>
>>> Con variable compleja se puede plantear de forma sencilla:
>>>
>>> Sea z el punto de reflexión (suponiendo una circunferencia unidad).
>>> En este caso, la condición de que el ángulo de incidencia y del
>>> reflexión sean iguales es
>>>
>>> arg(z/(z-B)) = arg((z-A)/z)
>>>
>>> o, lo que es lo mismo
>>>
>>> Im(ln(z/(z-B)) = Im(ln((z-A)/z))
>>>
>>> de donde
>>>
>>> ln(z/(z-B)) - ln(z*/(z*-B*)) = ln((z-A)/z) - ln((z*-A*)/z*)
>>>
>>> Hallando la exponencial
>>>
>>> z(z*-B*)/(z*(z-B)) = (z-A)z*/((z*-A*)z)
>>>
>>> Aplicando que zz* = 1
>>>
>>> (1-zB*)(1-zA*) - (1-z*B)(1-z*A) = 0
>>>
>>> z^2A*B* - z(A*+B*) + z*(A+B) - z*^2AB = 0
>>>
>>> Teniendo en cuenta que z* = 1/z, resulta una ecuación de cuarto
>>> grado que el Mathematica es capaz de resolver, pero que es
>>> extremadamente complicada.
>>>
>>> Ahora bien, si A y B están en un diámetro, podemos tomar éste como
>>> eje real y queda
>>>
>>> (z^2 - 1/z^2)AB - (z - 1/z)(A+B) = 0
>>>
>>> como
>>>
>>> z^2 - 1/z^2 = (z-1/z)(z+1/z)
>>>
>>> y por las condiciones de Ignacio debemos descartar las soluciones
>>> z=1 y z= -1 (que obligan a pasar por el centro de la mesa) queda
>>>
>>> (z + 1/z) AB - (A+B) = 0
>>>
>>> z^2 -(1/A + 1/B)z + 1 = 0
>>>
>>> con soluciones
>>>
>>> z = (1/2)((1/A+1/B) +- rq((1/A+1/B)^2-4)
>>>
>>> Para que haya solución sobre la circunferencia, estas soluciones no
>>> deben ser reales, sino complejas conjugadas. Por ello, debe ser
>>>
>>> -2 < 1/A + 1/B < 2
>>>
>>> Como -1 < A < 1 y -1<B < 1, esto implica que A y B deben estar en
>>> lados opuestos respecto del centro. Además, si representamos el par
>>> (A,B) en el cuadrado (-1,1)x(-1,1) la región permitida es la
>>> comprendida entre dos hipérbolas
>>>
>>> -2 < 1/A + 1/B < 2
>>>
>>> -2 < (A+B)/AB < 2
>>>
>>> -2AB > A+B > 2AB
>>>
>>> -2AB - A - B > 0 > 2AB - A - B
>>>
>>> -2(A+1/2)(B+1/2)+1/2 > 0 > 2(A-1/2)(B-1/2) -1/2
>>>
>>> cumpliéndose las desigualdades
>>>
>>> (A+1/2)(B+1/2) < 1/4
>>>
>>> (A-1/2)(B-1/2) < 1/4
>>
>> Geométricamente es sencillo: basta invertir A y B en A' y B', y la
>> intersección de la mediatriz del segmento A'B' con la circunferencia,
>> si la hay, nos dan los puntos de reflexión.
>
> Y la justificación no es complicada, partiendo de que la inversión es
> una transformación conforme (que mantiene los ángulos).
>
> Demos el problema por resuelto, sea c la circunferencia del billar y
> P uno de los dos puntos solución (el otro es el simétrico respecto al
> diámetro que pasa por A y B). Considerando la inversión respcto a c,
> la recta AP se transforma en la circunferencia cA que pasa por A', C
> y P, y la recta BP en la circunferencia cB que pasa por B', C y P,
> donde A' y B' son los inversos de A y B respectivamente.
>
> La recta CP se transforma en si misma. Ambas circunferencias cA y cB
> pasan por C y por P y deben formar ángulos iguales en P con la cuerda
> común CP, por lo que tienen el mismo radio.
>
> Si las proyecciones de los centros O_A y O_B de estas circunferencias
> sobre la recta AB son M_A y M_B, se tiene que M_A es el punto medio
> de C y A', y M_B el punto medio de C y B'. Si H es el punto medio de
> CP, también lo es de O_A y O_B, y su proyección sobre la recta AB
> será N, el punto medio de M_A y M_B.
>
> Aplicando ahora una homotecia de centro C y razón 2, N se transforma
> en M, proyección de P sobre la recta AB, mientras que M_A y M_B se
> transforman en A' y B', por lo que N resulta ser el punto medio de A'
> y B'.
> Entonces la construcción es sencilla. Se invierten A y B en la
> circunferencia c, para obtener A' y B'. Se halla el punto medio M de
> A' y B' y se traza la perpendicular por él. Los puntos en que esta
> perpendicular corta a C, si existen, son las soluciones del problema.
>
> Llamemos a = |AC| y b = |BC|. Como ambos puntos están separados por C,
> considerando a este como origen, la coordenada de A, en la recta AB
> con origen en C, será a y la de B será -b, por ejemplo.
>
> Entonces, las coordenadas de A' y B' son 1/a y -1/b, y la de M será m
> = (1/a - 1/b)/2. Para que el problema tenga solución, debe ser |m| <
> r, donde r es el radio de la circunferencia:
>
> -r < 1/a - 1/b < r

Hay debe decir

-2r < 1/a - 1/b < 2r


> Y donde no es imprescindible que a, b < r (el perímetro de la mesa de
> billar podría ser solo en parte circular).
>
> ¡Maravillas de la inversión!


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Se tienen dos bolas A y B en el diámetro de una mesa de billar circular. ¿A
> que punto de la circunferencia hay que lanzar A para que al rebotar una vez
> golpee a B? Se supone que sin efecto (las bolas son puntuales, no giran
> sobre si mismas)
>
> Si no están en un diámetro es algo más complicado ...
>

No olvidemos tampoco el álgebra vectorial.

Sea A la posición del punto de partida, y N la del punto de contacto con
la circunferencia. La recta en la trayectoria de ida es

r1: A + t U

con U el unitario director. Igualando al punto de contacto tenemos

A + t U = N

t U = N - A

t^2 = 1 - 2N·A + A^2

t = rq(1 -2N·A + A^2)

Una vez que se refleja lo que se invierte es la componente normal del
vector director, por tanto el rayo reflejado será

r2: N + s(U - 2(U·N)N) =

= N + (s/t)(N - A -2((N-A)·N)N) =

= N - (s/t)(N(1 - 2A·N) + A)

Vuelve a pasar por la recta AB cuando este vector es paralelo a A.
Multiplicando vectorialmente por A

0 = (N x A)(1 -(s/t)(1 - 2A·N))

lo que nos da

s = t/(1 - 2A·N)

y sustituyendo en r2

B = N - (N(1-2A·N) + A)/(1 -2A·N) =

= -A/(1-2A·N)

(¡qué simple!). Pasando a la forma escalar

B = -A/(1-2A cos(t))

B -2AB cos(t) = -A

cos(t) = (B+A)/(2AB) = (1/A + 1/B)/2 (!!)

y como -1 < cos(t) < 1 ya tenemos las condiciones para A y B

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Antonio