Sea X una variable aleatoria con función de distribución
F(x) = 1 - 1 / 2^[x] para todo x >=1 , F(x) = 0 si x < 1.
Calcular su esperanza y su varianza.

[x] = parte entera de x

Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g29ag4$d7$1***registered.motzarella.org...
> Sea X una variable aleatoria con función de distribución
> F(x) = 1 - 1 / 2^[x] para todo x >=1 , F(x) = 0 si x < 1.
> Calcular su esperanza y su varianza.
>
> [x] = parte entera de x
>
> Saludos,
>
Para la esperanza a mi me sale

<x> = 1 + Pi^2/6 = 2,64493

Prueba

<x> = Integrate[ x F'[x],{x,1,oo}]
= Limit(L->oo) [x F[x] (x=L) - x F[x](x=1) - Integrate[F[x],{x,1,L}] ]
= Limit(L->oo)[L-1/L-Integrate[1-1/[x]^2,{x,1,L}]]
= Limit(L->oo)[L - 1/L - (L-1) + Integrate[1/[x]^2,{x,1,L}] ]
= 1 + Integrate[1/1^2,{x,1,2}] + Integrate[1/2^2,{x,2,3}] + ...
= 1 + 1/1^2 + 1/2^2 + ... = 1 + Pi^2/6 QED

La varianza tal vez mañana ...

Saludos,
Wolfgang

Luis escribió:
> Sea X una variable aleatoria con función de distribución
> F(x) = 1 - 1 / 2^[x] para todo x >=1 , F(x) = 0 si x < 1.
> Calcular su esperanza y su varianza.
>
> [x] = parte entera de x
>

derivando obtenemos la distribución de probabilidad

f(x) = F'(x) = sum_(n=1)^oo (1/2^n) delta(x-n)

Por lo que no es más que una distribución geométrica con

p(n) = 1/2^n n >=1

Su función generatriz

G(z) = sum_(n=1)^oo(z^n/2^n) = z/(2-z) = 2/(2-z) - 1

La esperanza es

E(x) = G'(1) = 2/(2-1)^2 = 2

y la varianza

V(x) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = 4 + 2 - 4 = 2

Nota: Luis, deberÃ***as dosificarte y no poner tantos problemas seguidos.
De ese modo los podrÃ***amos disfrutar más.

--

Antonio

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:g29ag4$d7$1***registered.motzarella.org...
>> Sea X una variable aleatoria con función de distribución
>> F(x) = 1 - 1 / 2^[x] para todo x >=1 , F(x) = 0 si x < 1.
>> Calcular su esperanza y su varianza.
>>
>> [x] = parte entera de x
>>
>> Saludos,
>>
> Para la esperanza a mi me sale
>
> <x> = 1 + Pi^2/6 = 2,64493
>
> Prueba
>
> <x> = Integrate[ x F'[x],{x,1,oo}]
> = Limit(L->oo) [x F[x] (x=L) - x F[x](x=1) - Integrate[F[x],{x,1,L}] ]
> = Limit(L->oo)[L-1/L-Integrate[1-1/[x]^2,{x,1,L}]]
> = Limit(L->oo)[L - 1/L - (L-1) + Integrate[1/[x]^2,{x,1,L}] ]
> = 1 + Integrate[1/1^2,{x,1,2}] + Integrate[1/2^2,{x,2,3}] + ...
> = 1 + 1/1^2 + 1/2^2 + ... = 1 + Pi^2/6 QED
>

No es [x]^2, sino 2^[x].

> La varianza tal vez mañana ...
>
> Saludos,
> Wolfgang


--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6aqu57F38tc12U2***mid.individual.net...
> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>
>> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:g29ag4$d7$1***registered.motzarella.org...
>>> Sea X una variable aleatoria con función de distribución
>>> F(x) = 1 - 1 / 2^[x] para todo x >=1 , F(x) = 0 si x < 1.
>>> Calcular su esperanza y su varianza.
>>>
>>> [x] = parte entera de x
>>>
>>> Saludos,
>>>
>> Para la esperanza a mi me sale
>>
>> <x> = 1 + Pi^2/6 = 2,64493
>>
>> Prueba
>>
>> <x> = Integrate[ x F'[x],{x,1,oo}]
>> = Limit(L->oo) [x F[x] (x=L) - x F[x](x=1) -
>> Integrate[F[x],{x,1,L}] ]
>> = Limit(L->oo)[L-1/L-Integrate[1-1/[x]^2,{x,1,L}]]
>> = Limit(L->oo)[L - 1/L - (L-1) + Integrate[1/[x]^2,{x,1,L}] ]
>> = 1 + Integrate[1/1^2,{x,1,2}] + Integrate[1/2^2,{x,2,3}] + ...
>> = 1 + 1/1^2 + 1/2^2 + ... = 1 + Pi^2/6 QED
>>
>
> No es [x]^2, sino 2^[x].
>
>> La varianza tal vez mañana ...
>>
>> Saludos,
>> Wolfgang
>
>
> --
>
> Antonio
Gracias, Antonio.

Entonces utilizando el mismo método, a mi me sale

<x> = Limit(L->oo)(L-L/2^L-1/2 -L+1 + Integrate[1/2^[x],{x,1,L}] )
= 1/2 + Integrate[1/2^1,{x,1,2}] + Integrate[1/2^2,{x,2,3}] + ...= 1/2
+ 1/2+(1/2)^2 + ... = 1/2+1 = 3/2

<x^2> = Integrate[x^2 F'(x),{x,1,oo}]
= Limit(L->oo) [L^2 F(L) -F(1) - Integrate[2x F(x),{x,1,L}] ]
= Limit(L->oo) [L^2 -L/2^L-1/2 - L^2 +1 + Integrate[2x
/2^[x],{x,1,L}] ]
= 1/2 + 2 Integrate[x/2^1,{x,1,2}] + 2 Integrate[x/2^2,{x,2,3}] + ...
= 1/2 + [ (2^2-1^2)/2^1 + (3^2-2^2)/2^2 + ...]
= 1/2 + Sum[ (k+1)^2-k^2)/2^k,{k,1,oo}]
= 1/2 + Sum[ 2k / 2^k,{k,1,oo}] + Sum[ 1/2^k,{k,1,oo}]
= 1/2 + 4 + 2 = 7,5

Por tanto

sigma^2 = <x^2> - <x>^2 = 7,5 - 9/4 = 5.25

P.D. Con mi falso función F=(1-1/[x]^2) la varianza no existe.

Saludos,
Wolfgang

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:6aqu57F38tc12U2***mid.individual.net...
>> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>>
>>> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>>> news:g29ag4$d7$1***registered.motzarella.org...
>>>> Sea X una variable aleatoria con función de distribución
>>>> F(x) = 1 - 1 / 2^[x] para todo x >=1 , F(x) = 0 si x < 1.
>>>> Calcular su esperanza y su varianza.
>>>>
>>>> [x] = parte entera de x
>>>>
>>>> Saludos,
>>>>
>>> Para la esperanza a mi me sale
>>>
>>> <x> = 1 + Pi^2/6 = 2,64493
>>>
>>> Prueba
>>>
>>> <x> = Integrate[ x F'[x],{x,1,oo}]
>>> = Limit(L->oo) [x F[x] (x=L) - x F[x](x=1) - Integrate[F[x],{x,1,L}] ]
>>> = Limit(L->oo)[L-1/L-Integrate[1-1/[x]^2,{x,1,L}]]
>>> = Limit(L->oo)[L - 1/L - (L-1) + Integrate[1/[x]^2,{x,1,L}] ]
>>> = 1 + Integrate[1/1^2,{x,1,2}] + Integrate[1/2^2,{x,2,3}] + ...
>>> = 1 + 1/1^2 + 1/2^2 + ... = 1 + Pi^2/6 QED
>>>
>>
>> No es [x]^2, sino 2^[x].
>>
>>> La varianza tal vez mañana ...
>>>
>>> Saludos,
>>> Wolfgang
>>
>>
>> --
>>
>> Antonio
> Gracias, Antonio.
>
> Entonces utilizando el mismo método, a mi me sale
>
> <x> = Limit(L->oo)(L-L/2^L-1/2 -L+1 + Integrate[1/2^[x],{x,1,L}] )
> = 1/2 + Integrate[1/2^1,{x,1,2}] + Integrate[1/2^2,{x,2,3}] + ...= 1/2 +
> 1/2+(1/2)^2 + ... = 1/2+1 = 3/2
>

La discrepancia entre tu solución y la mÃ***a, viene de la definición
"débil" y la definición "fuerte" de la delta de Dirac. F(x) solo es
derivable formalmente, pues es discontinua. Si la integral desde 1 a L
la hacemos desde 1- hasta L, incluimos el 1, y sale 2, que es lo que yo
he dicho, pero si integras desde 1+ hasta L no lo cuentas y sale 3/2.



--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6aqu2uF38tc12U1***mid.individual.net...
> Luis escribió:
>> Sea X una variable aleatoria con función de distribución
>> F(x) = 1 - 1 / 2^[x] para todo x >=1 , F(x) = 0 si x < 1.
>> Calcular su esperanza y su varianza.
>>
>> [x] = parte entera de x
>>
>
> derivando obtenemos la distribución de probabilidad
>
> f(x) = F'(x) = sum_(n=1)^oo (1/2^n) delta(x-n)
>
> Por lo que no es más que una distribución geométrica con
>
> p(n) = 1/2^n n >=1
>
> Su función generatriz
>
> G(z) = sum_(n=1)^oo(z^n/2^n) = z/(2-z) = 2/(2-z) - 1
>
> La esperanza es
>
> E(x) = G'(1) = 2/(2-1)^2 = 2
>
> y la varianza
>
> V(x) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = 4 + 2 - 4 = 2
>
> Nota: Luis, deberías dosificarte y no poner tantos problemas seguidos. De
> ese modo los podríamos disfrutar más.
>


Tienes razón. Ando últimamente un poco intranquilo. Es la falta de sueño.
Y también que esto estaba un pelín muertecillo. Como no sabemos nada
de León-Sotelo desde hace algunos días, pues me he liado la manta a la
cabeza. Espero que hayan gustado. La probabilidad es difícil, pero bonita.

Saludos,

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6ar2neF388881U1***mid.individual.net...
> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>
>> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:6aqu57F38tc12U2***mid.individual.net...
>>> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>>>
>>>> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>>>> news:g29ag4$d7$1***registered.motzarella.org...
>>>>> Sea X una variable aleatoria con función de distribución
>>>>> F(x) = 1 - 1 / 2^[x] para todo x >=1 , F(x) = 0 si x < 1.
>>>>> Calcular su esperanza y su varianza.
>>>>>
>>>>> [x] = parte entera de x
>>>>>
>>>>> Saludos,
>>>>>
>>>> Para la esperanza a mi me sale
>>>>
>>>> <x> = 1 + Pi^2/6 = 2,64493
>>>>
>>>> Prueba
>>>>
>>>> <x> = Integrate[ x F'[x],{x,1,oo}]
>>>> = Limit(L->oo) [x F[x] (x=L) - x F[x](x=1) -
>>>> Integrate[F[x],{x,1,L}] ]
>>>> = Limit(L->oo)[L-1/L-Integrate[1-1/[x]^2,{x,1,L}]]
>>>> = Limit(L->oo)[L - 1/L - (L-1) + Integrate[1/[x]^2,{x,1,L}] ]
>>>> = 1 + Integrate[1/1^2,{x,1,2}] + Integrate[1/2^2,{x,2,3}] + ...
>>>> = 1 + 1/1^2 + 1/2^2 + ... = 1 + Pi^2/6 QED
>>>>
>>>
>>> No es [x]^2, sino 2^[x].
>>>
>>>> La varianza tal vez mañana ...
>>>>
>>>> Saludos,
>>>> Wolfgang
>>>
>>>
>>> --
>>>
>>> Antonio
>> Gracias, Antonio.
>>
>> Entonces utilizando el mismo método, a mi me sale
>>
>> <x> = Limit(L->oo)(L-L/2^L-1/2 -L+1 + Integrate[1/2^[x],{x,1,L}] )
>> = 1/2 + Integrate[1/2^1,{x,1,2}] + Integrate[1/2^2,{x,2,3}] + ...=
>> 1/2 + 1/2+(1/2)^2 + ... = 1/2+1 = 3/2
>>
>
> La discrepancia entre tu solución y la mÃ***a, viene de la definición
> "débil" y la definición "fuerte" de la delta de Dirac. F(x) solo es
> derivable formalmente, pues es discontinua. Si la integral desde 1 a
> L la hacemos desde 1- hasta L, incluimos el 1, y sale 2, que es lo
> que yo he dicho, pero si integras desde 1+ hasta L no lo cuentas y
> sale 3/2.
>
>
>
> --
>
> Antonio

Vale, ¿ pero no significarÃ***a eso que el problema no es bien definido
("ill defined")?

Wolfgang

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:6ar2neF388881U1***mid.individual.net...
>> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>>
>>> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>>> news:6aqu57F38tc12U2***mid.individual.net...
>>>> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>>>>
>>>>> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>>>>> news:g29ag4$d7$1***registered.motzarella.org...
>>>>>> Sea X una variable aleatoria con función de distribución
>>>>>> F(x) = 1 - 1 / 2^[x] para todo x >=1 , F(x) = 0 si x < 1.
>>>>>> Calcular su esperanza y su varianza.
>>>>>>
>>>>>> [x] = parte entera de x
>>>>>>
>>>>>> Saludos,
>>>>>>
>>>>> Para la esperanza a mi me sale
>>>>>
>>>>> <x> = 1 + Pi^2/6 = 2,64493
>>>>>
>>>>> Prueba
>>>>>
>>>>> <x> = Integrate[ x F'[x],{x,1,oo}]
>>>>> = Limit(L->oo) [x F[x] (x=L) - x F[x](x=1) - Integrate[F[x],{x,1,L}] ]
>>>>> = Limit(L->oo)[L-1/L-Integrate[1-1/[x]^2,{x,1,L}]]
>>>>> = Limit(L->oo)[L - 1/L - (L-1) + Integrate[1/[x]^2,{x,1,L}] ]
>>>>> = 1 + Integrate[1/1^2,{x,1,2}] + Integrate[1/2^2,{x,2,3}] + ...
>>>>> = 1 + 1/1^2 + 1/2^2 + ... = 1 + Pi^2/6 QED
>>>>>
>>>>
>>>> No es [x]^2, sino 2^[x].
>>>>
>>>>> La varianza tal vez mañana ...
>>>>>
>>>>> Saludos,
>>>>> Wolfgang
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>>
>>>> Antonio
>>> Gracias, Antonio.
>>>
>>> Entonces utilizando el mismo método, a mi me sale
>>>
>>> <x> = Limit(L->oo)(L-L/2^L-1/2 -L+1 + Integrate[1/2^[x],{x,1,L}] )
>>> = 1/2 + Integrate[1/2^1,{x,1,2}] + Integrate[1/2^2,{x,2,3}] + ...=
>>> 1/2 + 1/2+(1/2)^2 + ... = 1/2+1 = 3/2
>>>
>>
>> La discrepancia entre tu solución y la mía, viene de la definición
>> "débil" y la definición "fuerte" de la delta de Dirac. F(x) solo es
>> derivable formalmente, pues es discontinua. Si la integral desde 1 a L
>> la hacemos desde 1- hasta L, incluimos el 1, y sale 2, que es lo que
>> yo he dicho, pero si integras desde 1+ hasta L no lo cuentas y sale 3/2.
>>
>>
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Vale, ¿ pero no significaría eso que el problema no es bien definido
> ("ill defined")?
>

Sí y no. Todos los problemas que requieran la definición "fuerte" de la
delta de Dirac son ambiguos, a menos que se decida de antemano cómo se
comporta en el punto en el que está centrada. El ejemplo más simple es
preguntar cuánto vale la integral

I = int_0^oo delta(x) dx

¿0, 1/2, 1?

En el caso de la distribución F(x) vale 0 para x < 1 y 1/2 para x>=1 uno
diría que la delta está centrada en 1-, no en 1, por lo que

int_1^oo F'(x) dx = int_(1+)^oo F'(x) dx

y tu cuenta da efectivamente 3/2.

Sin embargo, estos problemas se solucionan empleando la definición
"débil" a base de prohibir las integrales con límite de integración
justo en la delta.

En tú caso, ¿por qué integras desde x=1? En principio la distribución se
extiende también a los valores menores que 1, por lo que la cuenta
correcta sería

<x> = Integrate[ x F'[x],{x,0,oo}]

= Limit(L->oo) [x F[x] (x=L) - x F[x](x=0) - Integrate[F[x],{x,0,L}] ]

= Limit(L->oo)(L - L/2^L - 0 - L + Integrate[1/2^[x],{x,0,L}] )

= Integrate[1/2^0,{x,0,1}] + Integrate[1/2^1,{x,1,2}] +

+ Integrate[1/2^2,{x,2,3}] + ...=

= 1 + 1/2 + 1/2+(1/2)^2 + ... = 2

(como límite inferior, en lugar de 0 se puede usar cualquier otra cota,
siempre que sea < 1).

--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6aqu2uF38tc12U1***mid.individual.net...
> Luis escribió:
>> Sea X una variable aleatoria con función de distribución
>> F(x) = 1 - 1 / 2^[x] para todo x >=1 , F(x) = 0 si x < 1.
>> Calcular su esperanza y su varianza.
>>
>> [x] = parte entera de x
>>
>
> derivando obtenemos la distribución de probabilidad
>
> f(x) = F'(x) = sum_(n=1)^oo (1/2^n) delta(x-n)
>
> Por lo que no es más que una distribución geométrica con
>
> p(n) = 1/2^n n >=1
>
> Su función generatriz
>
> G(z) = sum_(n=1)^oo(z^n/2^n) = z/(2-z) = 2/(2-z) - 1
>
> La esperanza es
>
> E(x) = G'(1) = 2/(2-1)^2 = 2
>
> y la varianza
>
> V(x) = G''(1) + G'(1) - G'(1)^2 = 4 + 2 - 4 = 2
>
> Nota: Luis, deberías dosificarte y no poner tantos problemas seguidos. De
> ese modo los podríamos disfrutar más.
>

Pregunto si no puede razonarse así.
La función F es discontinua en los naturales, con saltos de tamaño
F(k) - F(k-) = 1/2^k , k natural

Luego, la probabilidad que asigna F a cada número natural k
es P({k}) = 1/2^k

Como Sum(P({k}),k=1..oo) = 1, toda la probabilidad está acumulada
en los naturales. Luego :

E(X) = Sum( k/2^k, k=1..oo) = 2

V(X) = Sum(k^2/ 2^k , k=1..oo) - E(X)^2 = 6 - 4 = 2.

Por otro lado, Antonio, ¿ por qué podemos derivar directamente F(x),
si es una función discontinua ?

Saludos,