1) En una especie animal, la probabilidad de que un hijo
tenga sangre defectuosa es de 0.6.
Si el número de hijos en cada familia es una distribución
de Poisson de parámetro 4, se pide :

a) La probabilidad de que una familia no tenga hijos
sanos.

b) El número esperado de hijos sanos.


2) Un comerciante tiene 6 televisores que alquila por
semanas. Se sabe que la demanda semanal de
alquiler, X, sigue una distribución de Poisson
de parámetro 3,56. Se pide :

a) La probabilidad de que al menos dos aparatos
queden sin alquilar.

b) La probabilidad de que la demanda sea
superior a la oferta.

c) La probabilidad de que no más de tres
aparatos queden sin alquilar.

d) La probabilidad de que en dos de cuatro semanas
quede exactamente un televisor sin alquilar.

e) Calcular el porcentaje de demanda esperada que
el comerciante no puede satisfacer y el porcentaje
esperado de televisores que quedan sin alquilar.

Si un televisor se rompe, comprobar que con los 5
restantes se cumple :

f) que la probabilidad de no satisfacer la demanda
total en una semana es 0,1504.

g) que el porcentaje de demanda esperada no
satisfecha es del 7,47 %.

h) que el porcentaje de la cantidad de televisores
que exceden a la demanda esperada es el 34,12 %

Saludos,

Hola,

Sea p(k) = a^k/k! e^(-a)

mis soluciones siguen en el texto abajo (he llenado unos hojas ...)

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g29b54$3kj$1***registered.motzarella.org...
> 1) En una especie animal, la probabilidad de que un hijo
> tenga sangre defectuosa es de 0.6.
> Si el número de hijos en cada familia es una distribución
> de Poisson de parámetro 4, se pide :
>
> a) La probabilidad de que una familia no tenga hijos
> sanos.

Sea p = 0,6 y a = 4.

w = prob(0 hijos) + prob(1 hijo)x0,6 + prob(2 hijos)x(0,6)^2
= Sum( a^k p^k/k!, (k,0,oo) ) = e^-(a(1-p)) = 20,19%

>
> b) El número esperado de hijos sanos.
>

h = número de los hijos esperado x probabilidad de que un hijo sea sano
= a(1-p) = 4x0,4 = 1,6

Mi prueba es un poquito largo.

>
> 2) Un comerciante tiene 6 televisores que alquila por
> semanas. Se sabe que la demanda semanal de
> alquiler, X, sigue una distribución de Poisson
> de parámetro 3,56. Se pide :
>
> a) La probabilidad de que al menos dos aparatos
> queden sin alquilar.
w = Sum(p(k),(k,0,4)) = 71,41%
>
> b) La probabilidad de que la demanda sea
> superior a la oferta.
w = Sum(p(k),(k,7,oo)) = 1 - Sum(p(k),(k,0,6)) = 7,00%
>
> c) La probabilidad de que no más de tres
> aparatos queden sin alquilar.
w = 1 - (a) = 28,59%
>
> d) La probabilidad de que en dos de cuatro semanas
> quede exactamente un televisor sin alquilar.
w= C(4,2) p(5)^2 = 11,02%
>
> e) Calcular el porcentaje de demanda esperada que
> el comerciante no puede satisfacer y el porcentaje
> esperado de televisores que quedan sin alquilar.

1) Demanda esperada que no se puede satisfacer: dn = Sum(k
p(k+6),(k,1,oo))
Demanda esperada = a
-> porcentaje = dn/a = 3,24%
2) Televisores sin alquilar esperados t = 6 p(0) + 5 p(1) + ... + 1
p(5) = 2,55
-> porcentaje = t/a = 71,78%
>
> Si un televisor se rompe, comprobar que con los 5
> restantes se cumple :
>
> f) que la probabilidad de no satisfacer la demanda
> total en una semana es 0,1504.
w = Sum(p(k),(k,6,oo)) = 15,04%
>
> g) que el porcentaje de demanda esperada no
> satisfecha es del 7,47 %.
ok
>
> h) que el porcentaje de la cantidad de televisores
> que exceden a la demanda esperada es el 34,12 %
ok
>
> Saludos,
Nota: La distribución de las televisores alquiladas por una semana es
un buen ejemplo de una distribución de Erlang

P(X=k) = p(k)/Sum(p(i),(i,0,6)) k=0,1,...,6

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
news:6b35fjF37gum1U1***mid.uni-berlin.de...
> Hola,
>
> Sea p(k) = a^k/k! e^(-a)
>
> mis soluciones siguen en el texto abajo (he llenado unos hojas ...)
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:g29b54$3kj$1***registered.motzarella.org...
>> 1) En una especie animal, la probabilidad de que un hijo
>> tenga sangre defectuosa es de 0.6.
>> Si el número de hijos en cada familia es una distribución
>> de Poisson de parámetro 4, se pide :
>>
>> a) La probabilidad de que una familia no tenga hijos
>> sanos.
>
> Sea p = 0,6 y a = 4.
>
> w = prob(0 hijos) + prob(1 hijo)x0,6 + prob(2 hijos)x(0,6)^2
> = Sum( a^k p^k/k!, (k,0,oo) ) = e^-(a(1-p)) = 20,19%

Mi única duda aquí es si es lógico asignar probabilidad 1 al suceso
"una familia no tiene hijos sanos si no tiene hijos". Es decir, si hay
que considerar el primer sumando de tu serie o no.

Si una familia no tiene hijos, ni los tiene sanos, ni los tiene enfermos.
¿ Entonces qué hacemos ?

>> b) El número esperado de hijos sanos.
>>
>
> h = número de los hijos esperado x probabilidad de que un hijo sea sano
> = a(1-p) = 4x0,4 = 1,6
>
> Mi prueba es un poquito largo.
>
>>
>> 2) Un comerciante tiene 6 televisores que alquila por
>> semanas. Se sabe que la demanda semanal de
>> alquiler, X, sigue una distribución de Poisson
>> de parámetro 3,56. Se pide :
>>
>> a) La probabilidad de que al menos dos aparatos
>> queden sin alquilar.
> w = Sum(p(k),(k,0,4)) = 71,41%
>>
>> b) La probabilidad de que la demanda sea
>> superior a la oferta.
> w = Sum(p(k),(k,7,oo)) = 1 - Sum(p(k),(k,0,6)) = 7,00%
>>
>> c) La probabilidad de que no más de tres
>> aparatos queden sin alquilar.
> w = 1 - (a) = 28,59%
>>
>> d) La probabilidad de que en dos de cuatro semanas
>> quede exactamente un televisor sin alquilar.
> w= C(4,2) p(5)^2 = 11,02%
>>
>> e) Calcular el porcentaje de demanda esperada que
>> el comerciante no puede satisfacer y el porcentaje
>> esperado de televisores que quedan sin alquilar.
>
> 1) Demanda esperada que no se puede satisfacer: dn = Sum(k
> p(k+6),(k,1,oo))
> Demanda esperada = a
> -> porcentaje = dn/a = 3,24%
> 2) Televisores sin alquilar esperados t = 6 p(0) + 5 p(1) + ... + 1 p(5) =
> 2,55
> -> porcentaje = t/a = 71,78%
>>
>> Si un televisor se rompe, comprobar que con los 5
>> restantes se cumple :
>>
>> f) que la probabilidad de no satisfacer la demanda
>> total en una semana es 0,1504.
> w = Sum(p(k),(k,6,oo)) = 15,04%
>>
>> g) que el porcentaje de demanda esperada no
>> satisfecha es del 7,47 %.
> ok
>>
>> h) que el porcentaje de la cantidad de televisores
>> que exceden a la demanda esperada es el 34,12 %
> ok
>>
>> Saludos,
> Nota: La distribución de las televisores alquiladas por una semana es un
> buen ejemplo de una distribución de Erlang
>
> P(X=k) = p(k)/Sum(p(i),(i,0,6)) k=0,1,...,6
>
> Saludos,
> Wolfgang
>

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:g2jv4g$ecv$1***registered.motzarella.org...
>
> "Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
> news:6b35fjF37gum1U1***mid.uni-berlin.de...
>> Hola,
>>
>> Sea p(k) = a^k/k! e^(-a)
>>
>> mis soluciones siguen en el texto abajo (he llenado unos hojas ...)
>>
>> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:g29b54$3kj$1***registered.motzarella.org...
>>> 1) En una especie animal, la probabilidad de que un hijo
>>> tenga sangre defectuosa es de 0.6.
>>> Si el número de hijos en cada familia es una distribución
>>> de Poisson de parámetro 4, se pide :
>>>
>>> a) La probabilidad de que una familia no tenga hijos
>>> sanos.
>>
>> Sea p = 0,6 y a = 4.
>>
>> w = prob(0 hijos) + prob(1 hijo)x0,6 + prob(2 hijos)x(0,6)^2
>> = Sum( a^k p^k/k!, (k,0,oo) ) = e^-(a(1-p)) = 20,19%
>
> Mi única duda aquí es si es lógico asignar probabilidad 1 al suceso
> "una familia no tiene hijos sanos si no tiene hijos". Es decir, si hay
> que considerar el primer sumando de tu serie o no.
>
> Si una familia no tiene hijos, ni los tiene sanos, ni los tiene enfermos.
> ¿ Entonces qué hacemos ?
>
>>> b) El número esperado de hijos sanos.
>>>
>>
>> h = número de los hijos esperado x probabilidad de que un hijo sea sano
>> = a(1-p) = 4x0,4 = 1,6
>>
>> Mi prueba es un poquito largo.

Sí, es un poquito larga pero es bonita.

Sea X el número de hijos sanos y sea N el número de hijos en la familia.

P( X = k | N = i ) = C(i,k)*(0.4^k)*(0.6)^(i-k)

P( N = i ) = e^(-4) * 4^i / i!

Luego, por el Teorema de la probabilidad total :

P( X = k ) = Sum ( P( X = k | N = i )*P( N = i ) , i = 0..oo ) =

= e^(-1,6) * (1.6^k) / k!

Y, E(X) = Sum( k*P( X = k ) , k = 0..oo ) = 1.6

El hecho de que 1,6 = 4*0.4 no es casual. Lo cierto es
que X sigue una distribución de Poisson de parámetro 4*0.4,
de ahí que su media sea 1.6.

Saludos,

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
news:6b35fjF37gum1U1***mid.uni-berlin.de...
> Hola,
>
> Sea p(k) = a^k/k! e^(-a)
>
> mis soluciones siguen en el texto abajo (he llenado unos hojas ...)
>
>> 2) Un comerciante tiene 6 televisores que alquila por
>> semanas. Se sabe que la demanda semanal de
>> alquiler, X, sigue una distribución de Poisson
>> de parámetro 3,56. Se pide :
>>
>> a) La probabilidad de que al menos dos aparatos
>> queden sin alquilar.
> w = Sum(p(k),(k,0,4)) = 71,41%

Coincido contigo.

>> b) La probabilidad de que la demanda sea
>> superior a la oferta.
> w = Sum(p(k),(k,7,oo)) = 1 - Sum(p(k),(k,0,6)) = 7,00%

Coincido contigo.

>> c) La probabilidad de que no más de tres
>> aparatos queden sin alquilar.
> w = 1 - (a) = 28,59%

No coincido contigo.

Si N = número de televisores que quedan sin alquilar,
es N = 6 - X. Luego, P(N<=3) = P(3<=X<=6) = 0.620094...


>> d) La probabilidad de que en dos de cuatro semanas
>> quede exactamente un televisor sin alquilar.
> w= C(4,2) p(5)^2 = 11,02%

Coincido contigo.

>> e) Calcular el porcentaje de demanda esperada que
>> el comerciante no puede satisfacer y el porcentaje
>> esperado de televisores que quedan sin alquilar.
>
> 1) Demanda esperada que no se puede satisfacer: dn = Sum(k
> p(k+6),(k,1,oo))
> Demanda esperada = a
> -> porcentaje = dn/a = 3,24%

Este apartado creo que lo tienes bien. Pero me gustaría que
me explicases por qué no es correcto calcular :

dn = Sum ( (k+6)*p(k+6), k = 1..oo )

Es decir, por qué hay que multiplicar por k y no por k+6.
La demanda que no se puede satisfacer comienza con la
petición de 7 televisores o más. Por eso mi duda.


> 2) Televisores sin alquilar esperados t = 6 p(0) + 5 p(1) + ... + 1 p(5) =
> 2,55
> -> porcentaje = t/a = 71,78%

No coincido contigo. Si el número de televisores que no se
alquilan es, en media, igual a 2.55 ( en esto sí estamos de acuerdo )
tal número representa un 2.55 / 6 = 42,5% de los televisores.
No sé por qué divides entre el número esperado de televisores
que se piden por semana.


>> Si un televisor se rompe, comprobar que con los 5
>> restantes se cumple :
>>
>> f) que la probabilidad de no satisfacer la demanda
>> total en una semana es 0,1504.
> w = Sum(p(k),(k,6,oo)) = 15,04%

Coincido contigo.

>> g) que el porcentaje de demanda esperada no
>> satisfecha es del 7,47 %.

Como en el apartado e)-1), ¿ por qué hemos de calcular
la media multiplicando por k y no por k+5.
Ahora, la demanda no se satisface si nos piden más de 5
televisores.

>> h) que el porcentaje de la cantidad de televisores
>> que exceden a la demanda esperada es el 34,12 %

Este apartado no me sale. ¿ Cómo lo has resuelto tú ?


>> Saludos,
> Nota: La distribución de las televisores alquiladas por una semana es un
> buen ejemplo de una distribución de Erlang
>
> P(X=k) = p(k)/Sum(p(i),(i,0,6)) k=0,1,...,6
>

Tenía entendido que la distribución de Erlang es una distribución
absolutamente continua, un caso particular de la distribución gamma.
A ver si lo que has escrito se llama de otra forma......


Saludos,

Hola,

ver mis notas en el texto.

Saludos,
Wolfgang

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g2m4nf$7j8$1***registered.motzarella.org...
>
> "Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
> news:6b35fjF37gum1U1***mid.uni-berlin.de...
>> Hola,
>>
>> Sea p(k) = a^k/k! e^(-a)
>>
>> mis soluciones siguen en el texto abajo (he llenado unos hojas ...)
>>
>>> 2) Un comerciante tiene 6 televisores que alquila por
>>> semanas. Se sabe que la demanda semanal de
>>> alquiler, X, sigue una distribución de Poisson
>>> de parámetro 3,56. Se pide :
>>>
>>> a) La probabilidad de que al menos dos aparatos
>>> queden sin alquilar.
>> w = Sum(p(k),(k,0,4)) = 71,41%
>
> Coincido contigo.
>
>>> b) La probabilidad de que la demanda sea
>>> superior a la oferta.
>> w = Sum(p(k),(k,7,oo)) = 1 - Sum(p(k),(k,0,6)) = 7,00%
>
> Coincido contigo.
>
>>> c) La probabilidad de que no más de tres
>>> aparatos queden sin alquilar.
>> w = 1 - (a) = 28,59%
>
> No coincido contigo.

WH: tienes razón.

>
> Si N = número de televisores que quedan sin alquilar,
> es N = 6 - X. Luego, P(N<=3) = P(3<=X<=6) = 0.620094...
>
>
>>> d) La probabilidad de que en dos de cuatro semanas
>>> quede exactamente un televisor sin alquilar.
>> w= C(4,2) p(5)^2 = 11,02%
>
> Coincido contigo.
>
>>> e) Calcular el porcentaje de demanda esperada que
>>> el comerciante no puede satisfacer y el porcentaje
>>> esperado de televisores que quedan sin alquilar.
>>
>> 1) Demanda esperada que no se puede satisfacer: dn = Sum(k
>> p(k+6),(k,1,oo))
>> Demanda esperada = a
>> -> porcentaje = dn/a = 3,24%
>
> Este apartado creo que lo tienes bien. Pero me gustaría que
> me explicases por qué no es correcto calcular :
>
> dn = Sum ( (k+6)*p(k+6), k = 1..oo )
>
> Es decir, por qué hay que multiplicar por k y no por k+6.
> La demanda que no se puede satisfacer comienza con la
> petición de 7 televisores o más. Por eso mi duda.
>

WH: Sea x = número de los televisores demandados que el comerciante no
puede satisfacer.
Entonces, x = 1 corresponde a una demanda k = 7, x = 2 a k = 8, etc.

Por tanto la demanda esperada que no se puede satisfacer es:
dn = 1 p(7) + 2 p(8) + ... = Sum( x p(6+x), (x,1,oo) )

>
>> 2) Televisores sin alquilar esperados t = 6 p(0) + 5 p(1) + ... + 1
>> p(5) = 2,55
>> -> porcentaje = t/a = 71,78%
>
> No coincido contigo. Si el número de televisores que no se
> alquilan es, en media, igual a 2.55 ( en esto sí estamos de
> acuerdo )
> tal número representa un 2.55 / 6 = 42,5% de los televisores.
> No sé por qué divides entre el número esperado de televisores
> que se piden por semana.
>

WH: tienes razón.

>
>>> Si un televisor se rompe, comprobar que con los 5
>>> restantes se cumple :
>>>
>>> f) que la probabilidad de no satisfacer la demanda
>>> total en una semana es 0,1504.
>> w = Sum(p(k),(k,6,oo)) = 15,04%
>
> Coincido contigo.
>
>>> g) que el porcentaje de demanda esperada no
>>> satisfecha es del 7,47 %.
>
> Como en el apartado e)-1), ¿ por qué hemos de calcular
> la media multiplicando por k y no por k+5.
> Ahora, la demanda no se satisface si nos piden más de 5
> televisores.
>

WH: ver mi respuesta al apartado e1)

>>> h) que el porcentaje de la cantidad de televisores
>>> que exceden a la demanda esperada es el 34,12 %
>
> Este apartado no me sale. ¿ Cómo lo has resuelto tú ?
>

WH:
el número de los televisores que exceden a la demanda, si la demanda es
0, es 5
el número de los televisores que exceden a la demando, si la demanda es
1, es 4
....
el número de los televisores que exceden a la demando, si la demanda es
4, es 1

Por tanto el número esperado es

<nexc> = Sum( (5-k) p(k) , (k,0,4) ) = 1.70582

La porcentaje es <nexc>/5 = 34,1165 %

>
>>> Saludos,
>> Nota: La distribución de las televisores alquiladas por una semana
>> es un buen ejemplo de una distribución de Erlang
>>
>> P(X=k) = p(k)/Sum(p(i),(i,0,6)) k=0,1,...,6
>>
>
> Tenía entendido que la distribución de Erlang es una distribución
> absolutamente continua, un caso particular de la distribución gamma.
> A ver si lo que has escrito se llama de otra forma......
>

WH: tienes razón, me he equivocado.

>
> Saludos,
>
>