Este se parece al de Luis, pero no tiene trampa ni cartón

Sea la densidad de probabilidad

p(x) = 0 x < 0

p(x) = 1/2^([x]+1) x>=0

Hallar la media y la varianza de esta distribución.

--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6at2cuF3878i7U1***mid.individual.net...
> Este se parece al de Luis, pero no tiene trampa ni cartón
>
> Sea la densidad de probabilidad
>
> p(x) = 0 x < 0
>
> p(x) = 1/2^([x]+1) x>=0
>
> Hallar la media y la varianza de esta distribución.
>
> --

Uff...no me fío yo mucho de eso, con lo sutil que es
el amigo Antonio.

Se trata de una función de densidad que es integrable
en el sentido de Riemann, pues es una función acotada
con un número finito de discontinuidades en cada
intervalo de la forma [k,k+1) , k = 0,1,2,3,.....

Luego,

E(X) = Int( x/2^([x]+1) dx , x =0..oo) =

= Lim ( Sum_(k=0..N-1) ( (1/2^(k+1))*Int( x dx , x = k..k+1) ) ) =

= Lim ( Sum_(k=0..N-1) ( (2k+1) / 2^(k+2) ) =

= Lim ( 3/2 - (N+3/2)*(1/2)^N ) = 3/2


E(X^2) = Int( x^2 / 2^([x]+1) dx , x =0..oo) =

= Lim ( Sum_(k=0..N-1) ( (1/2^(k+1))*Int( x^2 dx , x = k..k+1) ) ) =

= Lim ( (1/3)*Sum_(k=0..N-1) ( (3k^2+3k+1) / 2^(k+1) ) =

= Lim ( 13/3 - (N^2+3N+13/3)*(1/2)^N ) = 13/3

Luego,

V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 13/3 - (3/2)^2 = 25/12

Saludos,

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6at2cuF3878i7U1***mid.individual.net...
> Este se parece al de Luis, pero no tiene trampa ni cartón
>
> Sea la densidad de probabilidad
>
> p(x) = 0 x < 0
>
> p(x) = 1/2^([x]+1) x>=0
>
> Hallar la media y la varianza de esta distribución.
>
> --

Uff...no me fío yo mucho de eso, con lo sutil que es
el amigo Antonio.

Se trata de una función de densidad que es integrable
en el sentido de Riemann, pues es una función acotada
con un número finito de discontinuidades en cada
intervalo de la forma [k,k+1) , k = 0,1,2,3,.....

Luego,

E(X) = Int( x/2^([x]+1) dx , x =0..oo) =

= Lim ( Sum_(k=0..N-1) ( (1/2^(k+1))*Int( x dx , x = k..k+1) ) ) =

= Lim ( Sum_(k=0..N-1) ( (2k+1) / 2^(k+2) ) =

= Lim ( 3/2 - (N+3/2)*(1/2)^N ) = 3/2


E(X^2) = Int( x^2 / 2^([x]+1) dx , x =0..oo) =

= Lim ( Sum_(k=0..N-1) ( (1/2^(k+1))*Int( x^2 dx , x = k..k+1) ) ) =

= Lim ( (1/3)*Sum_(k=0..N-1) ( (3k^2+3k+1) / 2^(k+1) ) =

= Lim ( 13/3 - (N^2+3N+13/3)*(1/2)^N ) = 13/3

Luego,

V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 13/3 - (3/2)^2 = 25/12

Saludos,