Sean un pentágono regular, un hexágono regular y un
decágono regular inscritos en una circunferencia de
radio "r".
Calcular la relación que existe entre sus lados.

Saludos,

Luis escribió:
> Sean un pentágono regular, un hexágono regular y un
> decágono regular inscritos en una circunferencia de
> radio "r".
> Calcular la relación que existe entre sus lados.
>

Esto es trigonometrÃ***a elemental, ¿no?

Un pelÃ***n más interesante es el lÃ***mite de ArquÃ***medes: Hallar el perimetro
de un 3*2^n-gono inscrito en una circunferencia de radio r, expresándolo
como una recurrencia (esto es, relacionando los polÃ***gonos sucesivos, sin
usar senos o cosenos), y demostrar que el lÃ***mite es 2pi r.

--

Antonio

Luis escribió:
> Sean un pentágono regular, un hexágono regular y un
> decágono regular inscritos en una circunferencia de
> radio "r".
> Calcular la relación que existe entre sus lados.
>

Ah, ya entiendo, quieres que te los relacionemos entre sÃ***, sin usar nada
más (supongo).

Entonces

L(6) = r

L(10) = rq(2r^2 - 2 r rq(r^2 - L(5)^2/4)) =

= rq(2L(6)^2 - 2L(6) rq(L(6)^2 - L(5)^2/4))

Eliminado las raÃ***ces

L(10)^2 - 2L(6)^2 = 2L(6) rq(L(6)^2 - L(5)^2/4)

(L(10)^2 - 2L(6)^2)^2 = 4L(6)^2 (L(6)^2 - L(5)^2/4)

y queda finalmente

L(10)^4 - 4L(10)^2L(6)^2 + L(6)^2 L(5)^2 = 0



--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6av1caF393m3nU1***mid.individual.net...
> Luis escribió:
>> Sean un pentágono regular, un hexágono regular y un
>> decágono regular inscritos en una circunferencia de
>> radio "r".
>> Calcular la relación que existe entre sus lados.
>>
>
> Ah, ya entiendo, quieres que te los relacionemos entre sí, sin usar nada
> más (supongo).
>
> Entonces
>
> L(6) = r
>
> L(10) = rq(2r^2 - 2 r rq(r^2 - L(5)^2/4)) =
>
> = rq(2L(6)^2 - 2L(6) rq(L(6)^2 - L(5)^2/4))
>
> Eliminado las raíces
>
> L(10)^2 - 2L(6)^2 = 2L(6) rq(L(6)^2 - L(5)^2/4)
>
> (L(10)^2 - 2L(6)^2)^2 = 4L(6)^2 (L(6)^2 - L(5)^2/4)
>
> y queda finalmente
>
> L(10)^4 - 4L(10)^2L(6)^2 + L(6)^2 L(5)^2 = 0
>
>

Realmente, mi intención era demostrar otra cosa que
me dijo ayer un amigo.
Si "p" es el lado del pentágono, "h" el lado del hexágono
y "d" es el lado del decágono ( regulares ), entonces se
cumple que d^2 + h^2 = p^2

Luis escribió:
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:6av1caF393m3nU1***mid.individual.net...
>> Luis escribió:
>>> Sean un pentágono regular, un hexágono regular y un
>>> decágono regular inscritos en una circunferencia de
>>> radio "r".
>>> Calcular la relación que existe entre sus lados.
>>>
>> Ah, ya entiendo, quieres que te los relacionemos entre sÃ***, sin usar nada
>> más (supongo).
>>
>> Entonces
>>
>> L(6) = r
>>
>> L(10) = rq(2r^2 - 2 r rq(r^2 - L(5)^2/4)) =
>>
>> = rq(2L(6)^2 - 2L(6) rq(L(6)^2 - L(5)^2/4))
>>
>> Eliminado las raÃ***ces
>>
>> L(10)^2 - 2L(6)^2 = 2L(6) rq(L(6)^2 - L(5)^2/4)
>>
>> (L(10)^2 - 2L(6)^2)^2 = 4L(6)^2 (L(6)^2 - L(5)^2/4)
>>
>> y queda finalmente
>>
>> L(10)^4 - 4L(10)^2L(6)^2 + L(6)^2 L(5)^2 = 0
>>
>>
>
> Realmente, mi intención era demostrar otra cosa que
> me dijo ayer un amigo.
> Si "p" es el lado del pentágono, "h" el lado del hexágono
> y "d" es el lado del decágono ( regulares ), entonces se
> cumple que d^2 + h^2 = p^2
>

Lo cual también es cierto. Basta tener en cuenta que

L(n) = 2R sen(pi/n)

y que

sen(pi/10) = (-1+ rq(5))/4

sen(pi/5) = rq((5-rq(5))/8)

sen(pi/6) = 1/2

De hecho, combinando tu ecuación con la que yo he puesto

d^4 - 4d^2h^2 + h^2p^2 = 0

obtenemos el resultado aun más simple

d^2 + dh -h^2 = 0

--

Antonio

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g2cmab$oet$1***registered.motzarella.org...
> Sean un pentágono regular, un hexágono regular y un
> decágono regular inscritos en una circunferencia de
> radio "r".
> Calcular la relación que existe entre sus lados.
>
> Saludos,
>
>
Aún una relación para los lados a(n) y a(m)

a(n)/a(m) = (m/n) Prod ( (1-1/(k^2 n^2))/(1-1/(k^2 m^2)), (k,1,oo) )

Demuestre que la fracción de los lados difiere de la de n y m.

Saludos,
Wolfgang

On 7 jun, 02:55, "Luis" <la...***hotmail.com> wrote:
> Sean un pentágono regular, un hexágono regular y un
> decágono regular inscritos en una circunferencia de
> radio "r".
> Calcular la relación que existe entre sus lados.
>
> Saludos,

Si es que realmente Luis,tal y como enuncias la propiedad haces que
las ramas no dejen ver el bosque.De forma más conceptual y pedagógica
lo que se puede afirmar es que el lado p de un pentagono regular y el
lado d de un decágono regular inscritos en una circunferencia de radio
r cumplen la relación d^2 + r^2 = p^2.
Por supuesto,como un héxágono regular cumple que el radio es igual al
lado pues se puede afirmar lo que dices también (pero vamos,de forma
circusntancial que dirían los abogados).

Una demostración de este hecho podría ser:

Considerando los triángulos isósceles delimitados en un caso por el
lado del pentágono y en el otro por el del decágono y en ambos casos
los otros lados de longitud r se tendría que aplicando el teorema del
coseno:

p^2 = 2r^2 - 2r^2cos72º
d^2 = 2r^2 - 2r^2cos36º

restando

p^2 - d^2 = 2r^2(cos36º - cos72º)

Ahora bien,ya hemos visto por aquí un montón de veces la igualdad
cos36º - cos72º = 1/2,auténtico clásico de la geometría del
pentángono.

Pues ya está,sustituyendo p^2 = d^2 + r^2