Mucho gusto soy nuevo en este grupo, me gustaría que me ayudaran a
realizar un problema de calculo.

lim X--> +infinito x[sqrt(x**2+1)-x]

nota: " ** " se refiere a elevar a una potencia.
la respuesta es 1/2.

Gracias

hguerra wrote:
> Mucho gusto soy nuevo en este grupo, me gustaría que me ayudaran a
> realizar un problema de calculo.
>
> lim X--> +infinito x[sqrt(x**2+1)-x]
>
> nota: " ** " se refiere a elevar a una potencia.
> la respuesta es 1/2.
>

Es

L = Lim(x*(rq(x^2 + 1) - x), x, +inf)

multiplicando y dividiendo por la expresión "conjugada" del numerador,
sustituyendo diferencia por suma,

= Lim(x*(rq(x^2 + 1) - x)(rq(x^2 + 1) + x)/(rq(x^2 + 1) + x), x, +inf)

= Lim(x*((x^2 + 1) - x^2)/(rq(x^2 + 1) + x), x, +inf)

= Lim(x/(rq(x^2 + 1) + x), x, +inf)

Dividiendo ahora numerador y denominador por x,

= Lim(1/(rq(1 + 1/x^2) + 1), x, +inf)

= 1/(rq(1) + 1) = 1/2

Por tanto, la respuesta es efectivamente L = 1/2


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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

"hguerra" <hguerravz***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:edeef79e-2b5b-45cf-bf29-8e990ed94c93***p25g2000hsf.googlegroups.com...
Mucho gusto soy nuevo en este grupo, me gustaría que me ayudaran a
realizar un problema de calculo.

lim X--> +infinito x[sqrt(x**2+1)-x]

nota: " ** " se refiere a elevar a una potencia.
la respuesta es 1/2.


O también así :

lim ( x*(rq(x^2+1) - x ) = lim ( ( rq(x^2+1) - x ) / (1/x) ) =

= lim ( ( rq(x^2+1) / x -1 ) / (1/x)^2 ) =

= lim ( ( rq( 1 + (1/x)^2 ) - 1 ) / (1/x)^2 )

Haciendo el cambio y = 1/x, el límite se transforma en

lim ( ( rq( 1 + y^2 ) - 1 ) / y^2 , y --> 0 )

Aplicando L´Hopital, el límite anterior es igual a

lim ( 1 / 2rq(1+y^2) , y --> 0 ) = 1/2

Saludos,

hguerra escribió:
> Mucho gusto soy nuevo en este grupo, me gustarÃ***a que me ayudaran a
> realizar un problema de calculo.
>
> lim X--> +infinito x[sqrt(x**2+1)-x]
>

Por dar aun otra forma:

Hagamos el cambio de variable x = cotg(t), se trata de hallar

L = lim_(t->0) cotg(t)(1/sen(t) - cotg(t))

ya que 1+ cotg^2(t) = 1/sen^2(t); esto es igual a

L = lim_(t->0) cos(t)(1-cos(t))/sen^2(t)

Usando las fórmulas del ángulo mitad

L = lim_(t->0) cos(t) 2sen^2(t/2)/(4sen^2(t/2)cos^2(t/2)) =

= lim_(t->0) cos(t)/(2cos^2(t/2)) = 1/(2*1) = 1/2


(¿ y con funciones hiperbólicas sale aun más corto!)



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Antonio

Muchas gracias por sus respuestas. al parecer mi error ocurrió cuando
racionalice. Gracias :-)