Hola a todos,

Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo se puede integrar una ecuación
expresada en paramétricas? Por ejemplo, una circunferencia de radio 1:

[cos(t), sin(t)] entre t=0 y t=pi/2. (Debe dar pi/4)

En este caso es fácil porque se puede obtener una ecuación
explícita: se trata de integrar (x^2 - 1)^(1/2) entre x=0 y x=1, con
resultado de la integral pi/4.

Pero, ¿Y si no pudiéramos obtener esta expresión, cómo haríamos
la integral sólo con las ecuaciones paramétricas?¿Es posible?

Muchas gracias!

"Markobar" <Mark2o5bar***gmail.com> escribió en el mensaje
news:ffdf8952-a139-44bb-8250-47ce3de29f7a***f36g2000hsa.googlegroups.com...


Hola a todos,

Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo se puede integrar una ecuación
expresada en paramétricas? Por ejemplo, una circunferencia de radio 1:

[cos(t), sin(t)] entre t=0 y t=pi/2. (Debe dar pi/4)

En este caso es fácil porque se puede obtener una ecuación
explícita: se trata de integrar (x^2 - 1)^(1/2) entre x=0 y x=1, con
resultado de la integral pi/4.

Pero, ¿Y si no pudiéramos obtener esta expresión, cómo haríamos
la integral sólo con las ecuaciones paramétricas?¿Es posible?

Muchas gracias!

Intenta hacer las cosas siempre de la forma más natural posible,
sin esclavizarte con métodos ( que, por otra parte, no digo que no
sean dignos de tener en cuenta ). Pero es bonito que pruebes con
las cosas sencillas que sabes.

Sabes calcular integrales en las que el integrando es de la forma
y = f(x) , variando x entre dos números reales a y b.

Bueno, pues en este caso x(t) = cos(t) e y(t) = sen(t)

¿ Cómo sería ahora Int( y dx , x = a..b ) ?

Pues, nada, sin miedo. Conoces y como función de t :

y = y(t) = sen(t)

Por otro lado x = x(t) = cos(t), por lo que
dx / dt = -sen(t) , es decir, dx = -sen(t) dt.

Finalmente, te dicen que el parámetro "t" va desde 0 hasta pi/2.

Es decir, la "x" varía entre a = cos(0) = 1 y b = cos(pi/2) = 0

Ya lo tienes :

Int( y dx , x = 1..0 ) = Int( - sen^2(t) dt, t = 0..pi/2 ) = -pi/4

que coincide con Int( rq(1-x^2) , x = 1..0 )

Saludos,

"Markobar" <Mark2o5bar***gmail.com> escribió en el mensaje
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Hola a todos,

Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo se puede integrar una ecuación
expresada en paramétricas? Por ejemplo, una circunferencia de radio 1:

[cos(t), sin(t)] entre t=0 y t=pi/2. (Debe dar pi/4)

En este caso es fácil porque se puede obtener una ecuación
explícita: se trata de integrar (x^2 - 1)^(1/2) entre x=0 y x=1, con
resultado de la integral pi/4.

Pero, ¿Y si no pudiéramos obtener esta expresión, cómo haríamos
la integral sólo con las ecuaciones paramétricas?¿Es posible?

Muchas gracias!

Intenta hacer las cosas siempre de la forma más natural posible,
sin esclavizarte con métodos ( que, por otra parte, no digo que no
sean dignos de tener en cuenta ). Pero es bonito que pruebes con
las cosas sencillas que sabes.

Sabes calcular integrales en las que el integrando es de la forma
y = f(x) , variando x entre dos números reales a y b.

Bueno, pues en este caso x(t) = cos(t) e y(t) = sen(t)

¿ Cómo sería ahora Int( y dx , x = a..b ) ?

Pues, nada, sin miedo. Conoces y como función de t :

y = y(t) = sen(t)

Por otro lado x = x(t) = cos(t), por lo que
dx / dt = -sen(t) , es decir, dx = -sen(t) dt.

Finalmente, te dicen que el parámetro "t" va desde 0 hasta pi/2.

Es decir, la "x" varía entre a = cos(0) = 1 y b = cos(pi/2) = 0

Ya lo tienes :

Int( y dx , x = 1..0 ) = Int( - sen^2(t) dt, t = 0..pi/2 ) = -pi/4

que coincide con Int( rq(1-x^2) , x = 1..0 )

Saludos,

"Markobar" <Mark2o5bar***gmail.com> escribió en el mensaje
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Hola a todos,

Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo se puede integrar una ecuación
expresada en paramétricas? Por ejemplo, una circunferencia de radio 1:

[cos(t), sin(t)] entre t=0 y t=pi/2. (Debe dar pi/4)

En este caso es fácil porque se puede obtener una ecuación
explícita: se trata de integrar (x^2 - 1)^(1/2) entre x=0 y x=1, con
resultado de la integral pi/4.

Pero, ¿Y si no pudiéramos obtener esta expresión, cómo haríamos
la integral sólo con las ecuaciones paramétricas?¿Es posible?

Muchas gracias!

Intenta hacer las cosas siempre de la forma más natural posible,
sin esclavizarte con métodos ( que, por otra parte, no digo que no
sean dignos de tener en cuenta ). Pero es bonito que pruebes con
las cosas sencillas que sabes.

Sabes calcular integrales en las que el integrando es de la forma
y = f(x) , variando x entre dos números reales a y b.

Bueno, pues en este caso x(t) = cos(t) e y(t) = sen(t)

¿ Cómo sería ahora Int( y dx , x = a..b ) ?

Pues, nada, sin miedo. Conoces y como función de t :

y = y(t) = sen(t)

Por otro lado x = x(t) = cos(t), por lo que
dx / dt = -sen(t) , es decir, dx = -sen(t) dt.

Finalmente, te dicen que el parámetro "t" va desde 0 hasta pi/2.

Es decir, la "x" varía entre a = cos(0) = 1 y b = cos(pi/2) = 0

Ya lo tienes :

Int( y dx , x = 1..0 ) = Int( - sen^2(t) dt, t = 0..pi/2 ) = -pi/4

que coincide con Int( rq(1-x^2) , x = 1..0 )

Saludos,

Markobar escribió:
>
> Hola a todos,
>
> Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo se puede integrar una ecuación
> expresada en paramétricas? Por ejemplo, una circunferencia de radio 1:
>
> [cos(t), sin(t)] entre t=0 y t=pi/2. (Debe dar pi/4)
>
> En este caso es fácil porque se puede obtener una ecuación
> explÃ***cita: se trata de integrar (x^2 - 1)^(1/2) entre x=0 y x=1, con
> resultado de la integral pi/4.
>
> Pero, ¿Y si no pudiéramos obtener esta expresión, cómo harÃ***amos
> la integral sólo con las ecuaciones paramétricas?¿Es posible?
>

Imagino que te refieres a que te den una integral del tipo

int_x0^x1 y dx

con x e y expresados en su forma paramétrica. Pues simplemente observas que

dx = (dx/dt) dt = x'(t) dt

por tanto la integral se transforma en

int_(t0)^t1 y(t) x'(t) dt

por ejemplo, si x = cos(t), y = sen(t) queda

x'(t) = -sen(t)

-int_0^(pi/2) sen(t)^2 dt =

= - int_0^(pi/2) (1-cos(2t))/2 dt =

= -pi/4

(es negativa porque el arco de circunferencia se recorre disminuyendo el
valor de x)

Como comprobarás si sigues en esto de las integrales, la clave de hacer
una integral -especialmente si es doble o triple- es *parametrizar*. Las
integrales se resuelven encontrando la parametrización más sencilla de
la curva, superficie o volumen de integración.

Con lo cual, no es que sea un problema que te den las paramétricas, sino
que es mejor que te las den, ya que la integral con los senos y cosenos
es más sencilla que la de las raÃ***ces cuadradas. Es más, un cambio de
variable no es más que una parametrización diferente de la curva de
integración.

--

Antonio

Markobar escribió:
>
> Hola a todos,
>
> Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo se puede integrar una ecuación
> expresada en paramétricas? Por ejemplo, una circunferencia de radio 1:
>
> [cos(t), sin(t)] entre t=0 y t=pi/2. (Debe dar pi/4)
>
> En este caso es fácil porque se puede obtener una ecuación
> explÃ***cita: se trata de integrar (x^2 - 1)^(1/2) entre x=0 y x=1, con
> resultado de la integral pi/4.
>
> Pero, ¿Y si no pudiéramos obtener esta expresión, cómo harÃ***amos
> la integral sólo con las ecuaciones paramétricas?¿Es posible?
>

Imagino que te refieres a que te den una integral del tipo

int_x0^x1 y dx

con x e y expresados en su forma paramétrica. Pues simplemente observas que

dx = (dx/dt) dt = x'(t) dt

por tanto la integral se transforma en

int_(t0)^t1 y(t) x'(t) dt

por ejemplo, si x = cos(t), y = sen(t) queda

x'(t) = -sen(t)

-int_0^(pi/2) sen(t)^2 dt =

= - int_0^(pi/2) (1-cos(2t))/2 dt =

= -pi/4

(es negativa porque el arco de circunferencia se recorre disminuyendo el
valor de x)

Como comprobarás si sigues en esto de las integrales, la clave de hacer
una integral -especialmente si es doble o triple- es *parametrizar*. Las
integrales se resuelven encontrando la parametrización más sencilla de
la curva, superficie o volumen de integración.

Con lo cual, no es que sea un problema que te den las paramétricas, sino
que es mejor que te las den, ya que la integral con los senos y cosenos
es más sencilla que la de las raÃ***ces cuadradas. Es más, un cambio de
variable no es más que una parametrización diferente de la curva de
integración.

--

Antonio

Markobar escribió:
>
> Hola a todos,
>
> Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo se puede integrar una ecuación
> expresada en paramétricas? Por ejemplo, una circunferencia de radio 1:
>
> [cos(t), sin(t)] entre t=0 y t=pi/2. (Debe dar pi/4)
>
> En este caso es fácil porque se puede obtener una ecuación
> explÃ***cita: se trata de integrar (x^2 - 1)^(1/2) entre x=0 y x=1, con
> resultado de la integral pi/4.
>
> Pero, ¿Y si no pudiéramos obtener esta expresión, cómo harÃ***amos
> la integral sólo con las ecuaciones paramétricas?¿Es posible?
>

Imagino que te refieres a que te den una integral del tipo

int_x0^x1 y dx

con x e y expresados en su forma paramétrica. Pues simplemente observas que

dx = (dx/dt) dt = x'(t) dt

por tanto la integral se transforma en

int_(t0)^t1 y(t) x'(t) dt

por ejemplo, si x = cos(t), y = sen(t) queda

x'(t) = -sen(t)

-int_0^(pi/2) sen(t)^2 dt =

= - int_0^(pi/2) (1-cos(2t))/2 dt =

= -pi/4

(es negativa porque el arco de circunferencia se recorre disminuyendo el
valor de x)

Como comprobarás si sigues en esto de las integrales, la clave de hacer
una integral -especialmente si es doble o triple- es *parametrizar*. Las
integrales se resuelven encontrando la parametrización más sencilla de
la curva, superficie o volumen de integración.

Con lo cual, no es que sea un problema que te den las paramétricas, sino
que es mejor que te las den, ya que la integral con los senos y cosenos
es más sencilla que la de las raÃ***ces cuadradas. Es más, un cambio de
variable no es más que una parametrización diferente de la curva de
integración.

--

Antonio

Muchas gracias por las respuestas!

Muchas gracias por las respuestas!

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