1) Sea X una variable aleatoria continua con función
de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
Si definimos Y del siguiente modo :

Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1

se pide encontrar la función de densidad de Y

2) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme
en (0,1). Determinar la distribución de la variable aleatoria
Y = -2 log(X)

3) Supongamos que "n" componentes están funcionando
de forma independiente y conectados en paralelo.
Si el tiempo de duración T(i) de cada componente se
distribuye exponencialmente con parámetro "lambda",
encontrar una expresión para el tiempo medio de fallo
del sistema.

Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g2m6e0$fct$1***registered.motzarella.org...
> 1) Sea X una variable aleatoria continua con función
> de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
> Si definimos Y del siguiente modo :
>
> Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1
>
> se pide encontrar la función de densidad de Y
>
> 2) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme
> en (0,1). Determinar la distribución de la variable aleatoria
> Y = -2 log(X)
>
> 3) Supongamos que "n" componentes están funcionando
> de forma independiente y conectados en paralelo.
> Si el tiempo de duración T(i) de cada componente se
> distribuye exponencialmente con parámetro "lambda",
> encontrar una expresión para el tiempo medio de fallo
> del sistema.
>
> Saludos,
>
>

Hola,

2) f(y) dy = 1/2 Exp[-y/2] dy

Prueba:
Tenemos que y=-2Log(x) -> x = Exp(-y/2)
Ahora 1.dx = |dx/dy| dy = 1/2 Exp(-y/2) dy
QED.

3) Porque los componentes están funcionando en paralelo el tiempo de
fallo es el maximo de todos los tiempops t1, ..., tn.
La distribución de cada uno es (escribiendo a en vez de lambda)

g[t] dt = a Exp[-a t] dt

Por tanto hemos que calcular la expresión

<Tn> = <max(t1, ..., tn)>
= Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn) ,{t1,0,oo},...,{tn,0,oo}]
= n! Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn)
,{t1,0,oo},{t2,0,t1},{t3,0,t2},...,{tn,0,t(n-1)}]

Para paqueños valores n he hallado

<T> (1,2,3,4,5) = (3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20)

pero no he encontrado la fórmula general.
Saludos,
Wolfgang

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g2m6e0$fct$1***registered.motzarella.org...
> 1) Sea X una variable aleatoria continua con función
> de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
> Si definimos Y del siguiente modo :
>
> Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1
>
> se pide encontrar la función de densidad de Y
>
> 2) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme
> en (0,1). Determinar la distribución de la variable aleatoria
> Y = -2 log(X)
>
> 3) Supongamos que "n" componentes están funcionando
> de forma independiente y conectados en paralelo.
> Si el tiempo de duración T(i) de cada componente se
> distribuye exponencialmente con parámetro "lambda",
> encontrar una expresión para el tiempo medio de fallo
> del sistema.
>
> Saludos,
>
>

Hola,

2) f(y) dy = 1/2 Exp[-y/2] dy

Prueba:
Tenemos que y=-2Log(x) -> x = Exp(-y/2)
Ahora 1.dx = |dx/dy| dy = 1/2 Exp(-y/2) dy
QED.

3) Porque los componentes están funcionando en paralelo el tiempo de
fallo es el maximo de todos los tiempops t1, ..., tn.
La distribución de cada uno es (escribiendo a en vez de lambda)

g[t] dt = a Exp[-a t] dt

Por tanto hemos que calcular la expresión

<Tn> = <max(t1, ..., tn)>
= Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn) ,{t1,0,oo},...,{tn,0,oo}]
= n! Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn)
,{t1,0,oo},{t2,0,t1},{t3,0,t2},...,{tn,0,t(n-1)}]

Para paqueños valores n he hallado

<T> (1,2,3,4,5) = (3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20)

pero no he encontrado la fórmula general.
Saludos,
Wolfgang

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g2m6e0$fct$1***registered.motzarella.org...
> 1) Sea X una variable aleatoria continua con función
> de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
> Si definimos Y del siguiente modo :
>
> Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1
>
> se pide encontrar la función de densidad de Y
>
> 2) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme
> en (0,1). Determinar la distribución de la variable aleatoria
> Y = -2 log(X)
>
> 3) Supongamos que "n" componentes están funcionando
> de forma independiente y conectados en paralelo.
> Si el tiempo de duración T(i) de cada componente se
> distribuye exponencialmente con parámetro "lambda",
> encontrar una expresión para el tiempo medio de fallo
> del sistema.
>
> Saludos,
>
>
Algo raro, pero es la suma de las funciones inversas en los intervales
correspondientes

g[y] dy = (Exp[-y] + 1/y^2 Exp[-1/y]) dy (0<= y <=1)

Medio = 1-2/e + Gamma[0,1] ~= 0.483625
Varianza = <y^2>-<y>^2 = 1 - 4/E^2 - 3*Gamma[0, 1] + (4*Gamma[0,
1])/E - Gamma[0, 1]^2 ~= 0.0752051

donde Gamma[a,z] = Integrate[Exp[-t] t^(a-1), {t,z,oo}] la función
Gamma incompleta.

Saludos,
Wolfgang

"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g2m6e0$fct$1***registered.motzarella.org...
> 1) Sea X una variable aleatoria continua con función
> de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
> Si definimos Y del siguiente modo :
>
> Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1
>
> se pide encontrar la función de densidad de Y
>
> 2) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme
> en (0,1). Determinar la distribución de la variable aleatoria
> Y = -2 log(X)
>
> 3) Supongamos que "n" componentes están funcionando
> de forma independiente y conectados en paralelo.
> Si el tiempo de duración T(i) de cada componente se
> distribuye exponencialmente con parámetro "lambda",
> encontrar una expresión para el tiempo medio de fallo
> del sistema.
>
> Saludos,
>
>
Algo raro, pero es la suma de las funciones inversas en los intervales
correspondientes

g[y] dy = (Exp[-y] + 1/y^2 Exp[-1/y]) dy (0<= y <=1)

Medio = 1-2/e + Gamma[0,1] ~= 0.483625
Varianza = <y^2>-<y>^2 = 1 - 4/E^2 - 3*Gamma[0, 1] + (4*Gamma[0,
1])/E - Gamma[0, 1]^2 ~= 0.0752051

donde Gamma[a,z] = Integrate[Exp[-t] t^(a-1), {t,z,oo}] la función
Gamma incompleta.

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
news:6b850pF3al16mU1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:g2m6e0$fct$1***registered.motzarella.org...
>> 1) Sea X una variable aleatoria continua con función
>> de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
>> Si definimos Y del siguiente modo :
>>
>> Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1
>>
>> se pide encontrar la función de densidad de Y
>>
>> 2) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme
>> en (0,1). Determinar la distribución de la variable aleatoria
>> Y = -2 log(X)
>>
>> 3) Supongamos que "n" componentes están funcionando
>> de forma independiente y conectados en paralelo.
>> Si el tiempo de duración T(i) de cada componente se
>> distribuye exponencialmente con parámetro "lambda",
>> encontrar una expresión para el tiempo medio de fallo
>> del sistema.
>>
>> Saludos,
>>
>>
>
> Hola,
>
> 2) f(y) dy = 1/2 Exp[-y/2] dy
>
> Prueba:
> Tenemos que y=-2Log(x) -> x = Exp(-y/2)
> Ahora 1.dx = |dx/dy| dy = 1/2 Exp(-y/2) dy
> QED.
>
> 3) Porque los componentes están funcionando en paralelo el tiempo de
> fallo es el maximo de todos los tiempops t1, ..., tn.
> La distribución de cada uno es (escribiendo a en vez de lambda)
>
> g[t] dt = a Exp[-a t] dt
>
> Por tanto hemos que calcular la expresión
>
> <Tn> = <max(t1, ..., tn)>
> = Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn) ,{t1,0,oo},...,{tn,0,oo}]
> = n! Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn)
> ,{t1,0,oo},{t2,0,t1},{t3,0,t2},...,{tn,0,t(n-1)}]
>
> Para paqueños valores n he hallado
>
> <T> (1,2,3,4,5) = (3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20)
>
> pero no he encontrado la fórmula general.
> Saludos,
> Wolfgang
Con respecto de 3)

Como ya había sospechado (porque el problema parece lo de los
resistores paralelos) son los números harmonicos, o sea

<T(k)> = Sum[1/i,{i,1,k}]

y la distribución del tiempo de fallo T es

h[T] dT = a*k*Exp[(-a*k*T)]*(Exp[a*T] - 1)^(k - 1) dT

Por cierto es bonito y mucho mas fácil calcular es caso de componentes
en serie, que dejo al lector atente ...

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
news:6b850pF3al16mU1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:g2m6e0$fct$1***registered.motzarella.org...
>> 1) Sea X una variable aleatoria continua con función
>> de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
>> Si definimos Y del siguiente modo :
>>
>> Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1
>>
>> se pide encontrar la función de densidad de Y
>>
>> 2) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme
>> en (0,1). Determinar la distribución de la variable aleatoria
>> Y = -2 log(X)
>>
>> 3) Supongamos que "n" componentes están funcionando
>> de forma independiente y conectados en paralelo.
>> Si el tiempo de duración T(i) de cada componente se
>> distribuye exponencialmente con parámetro "lambda",
>> encontrar una expresión para el tiempo medio de fallo
>> del sistema.
>>
>> Saludos,
>>
>>
>
> Hola,
>
> 2) f(y) dy = 1/2 Exp[-y/2] dy
>
> Prueba:
> Tenemos que y=-2Log(x) -> x = Exp(-y/2)
> Ahora 1.dx = |dx/dy| dy = 1/2 Exp(-y/2) dy
> QED.
>
> 3) Porque los componentes están funcionando en paralelo el tiempo de
> fallo es el maximo de todos los tiempops t1, ..., tn.
> La distribución de cada uno es (escribiendo a en vez de lambda)
>
> g[t] dt = a Exp[-a t] dt
>
> Por tanto hemos que calcular la expresión
>
> <Tn> = <max(t1, ..., tn)>
> = Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn) ,{t1,0,oo},...,{tn,0,oo}]
> = n! Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn)
> ,{t1,0,oo},{t2,0,t1},{t3,0,t2},...,{tn,0,t(n-1)}]
>
> Para paqueños valores n he hallado
>
> <T> (1,2,3,4,5) = (3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20)
>
> pero no he encontrado la fórmula general.
> Saludos,
> Wolfgang
Con respecto de 3)

Como ya había sospechado (porque el problema parece lo de los
resistores paralelos) son los números harmonicos, o sea

<T(k)> = Sum[1/i,{i,1,k}]

y la distribución del tiempo de fallo T es

h[T] dT = a*k*Exp[(-a*k*T)]*(Exp[a*T] - 1)^(k - 1) dT

Por cierto es bonito y mucho mas fácil calcular es caso de componentes
en serie, que dejo al lector atente ...

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
news:6b8iifF37oip4U1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:6b850pF3al16mU1***mid.uni-berlin.de...
>>
>> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:g2m6e0$fct$1***registered.motzarella.org...
>>> 1) Sea X una variable aleatoria continua con función
>>> de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
>>> Si definimos Y del siguiente modo :
>>>
>>> Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1
>>>
>>> se pide encontrar la función de densidad de Y
>>>
>>> 2) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme
>>> en (0,1). Determinar la distribución de la variable aleatoria
>>> Y = -2 log(X)
>>>
>>> 3) Supongamos que "n" componentes están funcionando
>>> de forma independiente y conectados en paralelo.
>>> Si el tiempo de duración T(i) de cada componente se
>>> distribuye exponencialmente con parámetro "lambda",
>>> encontrar una expresión para el tiempo medio de fallo
>>> del sistema.
>>>
>>> Saludos,
>>>
>>>
>>
>> Hola,
>>
>> 2) f(y) dy = 1/2 Exp[-y/2] dy
>>
>> Prueba:
>> Tenemos que y=-2Log(x) -> x = Exp(-y/2)
>> Ahora 1.dx = |dx/dy| dy = 1/2 Exp(-y/2) dy
>> QED.
>>
>> 3) Porque los componentes están funcionando en paralelo el tiempo de
>> fallo es el maximo de todos los tiempops t1, ..., tn.
>> La distribución de cada uno es (escribiendo a en vez de lambda)
>>
>> g[t] dt = a Exp[-a t] dt
>>
>> Por tanto hemos que calcular la expresión
>>
>> <Tn> = <max(t1, ..., tn)>
>> = Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn) ,{t1,0,oo},...,{tn,0,oo}]
>> = n! Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn)
>> ,{t1,0,oo},{t2,0,t1},{t3,0,t2},...,{tn,0,t(n-1)}]
>>
>> Para paqueños valores n he hallado
>>
>> <T> (1,2,3,4,5) = (3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20)
>>
>> pero no he encontrado la fórmula general.
>> Saludos,
>> Wolfgang
> Con respecto de 3)
>
> Como ya había sospechado (porque el problema parece lo de los
> resistores paralelos) son los números harmonicos, o sea
>
> <T(k)> = Sum[1/i,{i,1,k}]
>
> y la distribución del tiempo de fallo T es
>
> h[T] dT = a*k*Exp[(-a*k*T)]*(Exp[a*T] - 1)^(k - 1) dT
>
> Por cierto es bonito y mucho mas fácil calcular es caso de
> componentes en serie, que dejo al lector atente ...
>
> Saludos,
> Wolfgang

Simplificación (3)

Si ponemos p = Exp[- a T] nos queda

h(T) dT = (a k) p (1-p)^(k-1) dT

que podemos interpretar así: (k-1) elementos ya están rotos, el último
restante tiene la distribución exponential.

Para el medio tenemos ahora (dT = - 1/( a p) dp, q=1-p)

<T(k)> = k Integrate[q^(k-1) (-Log(1-q)),{q,0,1}] = HarmonicNumber[k]

pero, desarollando Log[1-q], también Sum[1/(n(n+k),{n,1,oo}] que nos da
la relación interesante

Sum[1/i,{i,1,k}] = Sum[1/(n(n+k),{n,1,oo}]

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
news:6b8iifF37oip4U1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:6b850pF3al16mU1***mid.uni-berlin.de...
>>
>> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:g2m6e0$fct$1***registered.motzarella.org...
>>> 1) Sea X una variable aleatoria continua con función
>>> de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
>>> Si definimos Y del siguiente modo :
>>>
>>> Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1
>>>
>>> se pide encontrar la función de densidad de Y
>>>
>>> 2) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme
>>> en (0,1). Determinar la distribución de la variable aleatoria
>>> Y = -2 log(X)
>>>
>>> 3) Supongamos que "n" componentes están funcionando
>>> de forma independiente y conectados en paralelo.
>>> Si el tiempo de duración T(i) de cada componente se
>>> distribuye exponencialmente con parámetro "lambda",
>>> encontrar una expresión para el tiempo medio de fallo
>>> del sistema.
>>>
>>> Saludos,
>>>
>>>
>>
>> Hola,
>>
>> 2) f(y) dy = 1/2 Exp[-y/2] dy
>>
>> Prueba:
>> Tenemos que y=-2Log(x) -> x = Exp(-y/2)
>> Ahora 1.dx = |dx/dy| dy = 1/2 Exp(-y/2) dy
>> QED.
>>
>> 3) Porque los componentes están funcionando en paralelo el tiempo de
>> fallo es el maximo de todos los tiempops t1, ..., tn.
>> La distribución de cada uno es (escribiendo a en vez de lambda)
>>
>> g[t] dt = a Exp[-a t] dt
>>
>> Por tanto hemos que calcular la expresión
>>
>> <Tn> = <max(t1, ..., tn)>
>> = Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn) ,{t1,0,oo},...,{tn,0,oo}]
>> = n! Integrate[ g[t1]...g[tn] max(t1,..,tn)
>> ,{t1,0,oo},{t2,0,t1},{t3,0,t2},...,{tn,0,t(n-1)}]
>>
>> Para paqueños valores n he hallado
>>
>> <T> (1,2,3,4,5) = (3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20)
>>
>> pero no he encontrado la fórmula general.
>> Saludos,
>> Wolfgang
> Con respecto de 3)
>
> Como ya había sospechado (porque el problema parece lo de los
> resistores paralelos) son los números harmonicos, o sea
>
> <T(k)> = Sum[1/i,{i,1,k}]
>
> y la distribución del tiempo de fallo T es
>
> h[T] dT = a*k*Exp[(-a*k*T)]*(Exp[a*T] - 1)^(k - 1) dT
>
> Por cierto es bonito y mucho mas fácil calcular es caso de
> componentes en serie, que dejo al lector atente ...
>
> Saludos,
> Wolfgang

Simplificación (3)

Si ponemos p = Exp[- a T] nos queda

h(T) dT = (a k) p (1-p)^(k-1) dT

que podemos interpretar así: (k-1) elementos ya están rotos, el último
restante tiene la distribución exponential.

Para el medio tenemos ahora (dT = - 1/( a p) dp, q=1-p)

<T(k)> = k Integrate[q^(k-1) (-Log(1-q)),{q,0,1}] = HarmonicNumber[k]

pero, desarollando Log[1-q], también Sum[1/(n(n+k),{n,1,oo}] que nos da
la relación interesante

Sum[1/i,{i,1,k}] = Sum[1/(n(n+k),{n,1,oo}]

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> escribió en el mensaje
news:6b8bl8F3b508eU1***mid.uni-berlin.de...
>
> "Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:g2m6e0$fct$1***registered.motzarella.org...
>> 1) Sea X una variable aleatoria continua con función
>> de densidad f(x) = e^(-x) si x >=0 ( 0 en el resto ).
>> Si definimos Y del siguiente modo :
>>
>> Y = X si X <=1 , Y = 1/X si X >1
>>
>> se pide encontrar la función de densidad de Y
>>

> Algo raro, pero es la suma de las funciones inversas en los intervales
> correspondientes

Y tan raro. Es que está mal el enunciado. Debe ser :

Y = X si X >= 1 , Y = 1/X si X > 1

A ver ahora.....


Saludos,