Esta me ha salido en unos cálculos:

Calcular

int_0^oo (exp(-ax) - exp(-bx))^n dx

--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6bc3c5F3b755rU1***mid.individual.net...
> Esta me ha salido en unos cálculos:
>
> Calcular
>
> int_0^oo (exp(-ax) - exp(-bx))^n dx
>
> --
>
> Antonio

Desarollando (..)^n como Sum( C(n,k) (-1)^(n-k) Exp(- k a x) Exp(-b
x(n-k)),(k,0,n)) y integrando bajo la suma resulta

I(a,b,n) = Sum( C(n,k)(-1)^(n-k) /((k(a-b)+n b),(k,0,n)) (a!=b)

que se puede escribir (Mathematica me lo dijo)
I(a,b,n) = ((-1)^n*Gamma[n]*Gamma[(b*n)/(a - b)])/(a*Gamma[(a*n)/(a -
b)])

que también podemos escribir con la ayuda de la función Beta como

= (-1)^n (n/a) Beta(n,nb/(a-b)).

Para los primeros valores de n tenemos (para a!=b; I=0 para a=b, por
supuesto)

{1, 1/a - 1/b},
{2, 1/(2*a) + 1/(2*b) - 2/(a + b)},
{3, 1/(3*a) - 1/(3*b) - 3/(2*a + b) + 3/(a + 2*b)},
{4, 1/(4*a) + 1/(4*b) + 3/(a + b) - 4/(3*a + b) - 4/(a + 3*b)},
{5, 1/(5*a) - 1/(5*b) - 5/(4*a + b) + 10/(3*a + 2*b) - 10/(2*a + 3*b) +
5/(a + 4*b)}}

No pude ni simplificar la expresión ni reconocerla (parece algo como la
media harmonica ...)

PD: seguro tu sabrás una bonita simplificación :-)

Saludos,
Wolfgang

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:6bc3c5F3b755rU1***mid.individual.net...
>> Esta me ha salido en unos cálculos:
>>
>> Calcular
>>
>> int_0^oo (exp(-ax) - exp(-bx))^n dx
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Desarollando (..)^n como Sum( C(n,k) (-1)^(n-k) Exp(- k a x) Exp(-b
> x(n-k)),(k,0,n)) y integrando bajo la suma resulta
>
> I(a,b,n) = Sum( C(n,k)(-1)^(n-k) /((k(a-b)+n b),(k,0,n)) (a!=b)
>
> que se puede escribir (Mathematica me lo dijo)
> I(a,b,n) = ((-1)^n*Gamma[n]*Gamma[(b*n)/(a - b)])/(a*Gamma[(a*n)/(a - b)])
>
> que también podemos escribir con la ayuda de la función Beta como
>
> = (-1)^n (n/a) Beta(n,nb/(a-b)).
>
> Para los primeros valores de n tenemos (para a!=b; I=0 para a=b, por
> supuesto)
>
> {1, 1/a - 1/b},
> {2, 1/(2*a) + 1/(2*b) - 2/(a + b)},
> {3, 1/(3*a) - 1/(3*b) - 3/(2*a + b) + 3/(a + 2*b)},
> {4, 1/(4*a) + 1/(4*b) + 3/(a + b) - 4/(3*a + b) - 4/(a + 3*b)},
> {5, 1/(5*a) - 1/(5*b) - 5/(4*a + b) + 10/(3*a + 2*b) - 10/(2*a + 3*b) +
> 5/(a + 4*b)}}
>
> No pude ni simplificar la expresión ni reconocerla (parece algo como la
> media harmonica ...)

Si sumas las fracciones sale en el numerador un término de la forma
(a-b)^n (como debe ser por la forma del integrando. Luego queda lidiar
con el denominador que es de la forma

prod_(k=0)^n (ka + (n-k)b)

y aquí entran las gammas y los factoriales.

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Antonio