El problema siguiente es un viejo conocido pero lo saco otra vez para
apretarle un poco más las clavijas:

(i) Sea P un punto dentro de un triángulo equilátero tal que las
distancias a los vértices sean 3,4 y 5.¿Cuál es el lado del triángulo
equilátero?

Nota: Aparte de la resolución álgebra-trigonométrica es posible una
solución sintética colocando el triángulo PBC en un lado.

(ii) ¿Existe un triángulo equilátero en el que el punto P cumpla que
sus distancias a los vértices sean 1,2 y 3?

(iii) Generalizar en qué casos existirá dicho punto P partiendo de
tres números reales y positivos a,b y c.

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> El problema siguiente es un viejo conocido pero lo saco otra vez para
> apretarle un poco más las clavijas:
>
> (i) Sea P un punto dentro de un triángulo equilátero tal que las
> distancias a los vértices sean 3,4 y 5.¿Cuál es el lado del triángulo
> equilátero?
>
> Nota: Aparte de la resolución álgebra-trigonométrica es posible una
> solución sintética colocando el triángulo PBC en un lado.
>
> (ii) ¿Existe un triángulo equilátero en el que el punto P cumpla que
> sus distancias a los vértices sean 1,2 y 3?
>
> (iii) Generalizar en qué casos existirá dicho punto P partiendo de
> tres números reales y positivos a,b y c.
>

Vayamos de lo general a lo particular.

Sean a, b y c las distancias de P a los vértices. Si colocamos estos
vértices en el plano complejo como x, xw y xw*, con w = 1^(1/3) tenemos
las ecuaciones

(z - x)(z* - x) = a^2

(z - xw)(z* - xw*) = b^2

(z - xw*)(z* - xw) = c^2

Desarrollando

zz* - xz - xz* + x^2 = a^2 (#1)

zz* - xzw* - xz*w + x^2 = b^2 (#2)

zz* - xzw - xz*w* + x^2 = c^2 (#3)

Multiplicando (#1) por 1, (#2) por w, (#3) por w* y sumando, nos queda

-3xz = a^2 + b^2w + c^2w*

z = -(a^2 + b^2w + c^2w*)/3x

(he usado que 1 + w + w* = 0) y su conjugada

z* = -(a^2 + b^2w* + c^2w)/3x

El módulo de z al cuadrado es

zz* = (a^4 + b^4 + c^4 - a^2b^2 - b^2c^2 - a^2c^2)/(9x^2)

Si en (#1)-(#3) sumamos las tres ecuaciones

3zz* + 3x^2 = a^2 + b^2 + c^2

Sustituyendo zz*

(a^4+b^4 + c^4-a^2b^2-b^2c^2-a^2c^2) - 3(a^2+b^2+c^2)x^2 + (3x^2)^2 = 0

esta es una ecuación de 2º grado en (3x^2). Su discriminante es

B^2 - 4AC = (a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-a^2c^2-b^2c^2) =

= 3(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

y este heroniano resultado nos dice que para que exista solución,
(a,b,c) deben ser posibles lados de un triángulo.

Si S es el área de dicho triángulo, x vale

x = rq((a^2+b^2+c^2)/6 + 2rq(3)S/3)

y el lado del triángulo

L = rq(3)x = rq((a^2+b^2+c^2)/2 + 2rq(3)S)

Pero esto no basta, ya que además L debe ser mayor que a, que b y que c.

La condición L < a equivale a (elevando al cuadrado)

a^2 <= b^2 + c^2 + rq(3)bc <= (b+c)^2

por lo tanto esta condición es más estricta que la desigualdad triangular.

Concluimos por tanto que debe ser

a^2 <= b^2 + c^2 + rq(3)bc

b^2 <= a^2 + c^2 + rq(3)ac

c^2 <= a^2 + b^2 + rq(3)ab

Así, para a = 3, b = 4, c = 5

S = 6 a^2 +b^2 + c^2 = 50

L = rq(25 + 12rq(3)) = 6.76

Para a = 1, b = 2, c= 3

S = 0

L = rq(7) = 2.64

pero 2.64 es menor que 3, por lo que no vale (el máximo es c=2.90...).



--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> El problema siguiente es un viejo conocido pero lo saco otra vez para
> apretarle un poco más las clavijas:
>
> (i) Sea P un punto dentro de un triángulo equilátero tal que las
> distancias a los vértices sean 3,4 y 5.¿Cuál es el lado del triángulo
> equilátero?
>
> Nota: Aparte de la resolución álgebra-trigonométrica es posible una
> solución sintética colocando el triángulo PBC en un lado.
>
> (ii) ¿Existe un triángulo equilátero en el que el punto P cumpla que
> sus distancias a los vértices sean 1,2 y 3?
>
> (iii) Generalizar en qué casos existirá dicho punto P partiendo de
> tres números reales y positivos a,b y c.
>

Vayamos de lo general a lo particular.

Sean a, b y c las distancias de P a los vértices. Si colocamos estos
vértices en el plano complejo como x, xw y xw*, con w = 1^(1/3) tenemos
las ecuaciones

(z - x)(z* - x) = a^2

(z - xw)(z* - xw*) = b^2

(z - xw*)(z* - xw) = c^2

Desarrollando

zz* - xz - xz* + x^2 = a^2 (#1)

zz* - xzw* - xz*w + x^2 = b^2 (#2)

zz* - xzw - xz*w* + x^2 = c^2 (#3)

Multiplicando (#1) por 1, (#2) por w, (#3) por w* y sumando, nos queda

-3xz = a^2 + b^2w + c^2w*

z = -(a^2 + b^2w + c^2w*)/3x

(he usado que 1 + w + w* = 0) y su conjugada

z* = -(a^2 + b^2w* + c^2w)/3x

El módulo de z al cuadrado es

zz* = (a^4 + b^4 + c^4 - a^2b^2 - b^2c^2 - a^2c^2)/(9x^2)

Si en (#1)-(#3) sumamos las tres ecuaciones

3zz* + 3x^2 = a^2 + b^2 + c^2

Sustituyendo zz*

(a^4+b^4 + c^4-a^2b^2-b^2c^2-a^2c^2) - 3(a^2+b^2+c^2)x^2 + (3x^2)^2 = 0

esta es una ecuación de 2º grado en (3x^2). Su discriminante es

B^2 - 4AC = (a^2+b^2+c^2)^2 - 4(a^4+b^4+c^4-a^2b^2-a^2c^2-b^2c^2) =

= 3(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)

y este heroniano resultado nos dice que para que exista solución,
(a,b,c) deben ser posibles lados de un triángulo.

Si S es el área de dicho triángulo, x vale

x = rq((a^2+b^2+c^2)/6 + 2rq(3)S/3)

y el lado del triángulo

L = rq(3)x = rq((a^2+b^2+c^2)/2 + 2rq(3)S)

Pero esto no basta, ya que además L debe ser mayor que a, que b y que c.

La condición L < a equivale a (elevando al cuadrado)

a^2 <= b^2 + c^2 + rq(3)bc <= (b+c)^2

por lo tanto esta condición es más estricta que la desigualdad triangular.

Concluimos por tanto que debe ser

a^2 <= b^2 + c^2 + rq(3)bc

b^2 <= a^2 + c^2 + rq(3)ac

c^2 <= a^2 + b^2 + rq(3)ab

Así, para a = 3, b = 4, c = 5

S = 6 a^2 +b^2 + c^2 = 50

L = rq(25 + 12rq(3)) = 6.76

Para a = 1, b = 2, c= 3

S = 0

L = rq(7) = 2.64

pero 2.64 es menor que 3, por lo que no vale (el máximo es c=2.90...).



--

Antonio

Antonio González escribió:
>
> Pero esto no basta, ya que además L debe ser mayor que a, que b y que c.
>

Emmm, esto tampoco basta, ya que sólo garantizaría que está en el
triángulo curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia.

Tengo que pensarlo un poco más...

--

Antonio

Antonio González escribió:
>
> Pero esto no basta, ya que además L debe ser mayor que a, que b y que c.
>

Emmm, esto tampoco basta, ya que sólo garantizaría que está en el
triángulo curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia.

Tengo que pensarlo un poco más...

--

Antonio

Antonio González escribió:
> Antonio González escribió:
>>
>> Pero esto no basta, ya que además L debe ser mayor que a, que b y que c.
>>
>
> Emmm, esto tampoco basta, ya que sólo garantizarÃ***a que está en el
> triángulo curvilÃ***neo formado por tres arcos de circunferencia.
>
> Tengo que pensarlo un poco más...
>

Vale, imponiendo que

z + z* > -x

(esto es, que quede a la derecha de la recta vertical que pasa por xw y
xw*) y operando llego a que se debe cumplir

a^2 < b^2 + c^2 + bc

y sus correspondientes rotaciones.

De nuevo, esta condición es más restrictiva que la triangular, por tanto
si se cumple esto, existe el triángulo y su lado vale

L = rq((a^2+b^2+c^2)/2 + 2rq(3)S)

con

S = rq((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))/4

Para a= 1 y b = 2, el máximo valor de c es rq(7) = 2.65...

HabrÃ***a que ver qué región ocupan los valores posibles de (a,b,c) en el
"triángulo de los triángulos"

http://groups.google.com/group/es.ci...838bcdae69fe30


--

Antonio

Antonio González escribió:
> Antonio González escribió:
>>
>> Pero esto no basta, ya que además L debe ser mayor que a, que b y que c.
>>
>
> Emmm, esto tampoco basta, ya que sólo garantizarÃ***a que está en el
> triángulo curvilÃ***neo formado por tres arcos de circunferencia.
>
> Tengo que pensarlo un poco más...
>

Vale, imponiendo que

z + z* > -x

(esto es, que quede a la derecha de la recta vertical que pasa por xw y
xw*) y operando llego a que se debe cumplir

a^2 < b^2 + c^2 + bc

y sus correspondientes rotaciones.

De nuevo, esta condición es más restrictiva que la triangular, por tanto
si se cumple esto, existe el triángulo y su lado vale

L = rq((a^2+b^2+c^2)/2 + 2rq(3)S)

con

S = rq((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))/4

Para a= 1 y b = 2, el máximo valor de c es rq(7) = 2.65...

HabrÃ***a que ver qué región ocupan los valores posibles de (a,b,c) en el
"triángulo de los triángulos"

http://groups.google.com/group/es.ci...838bcdae69fe30


--

Antonio

On 18 jun, 21:05, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Antonio González escribió:
>
> > Antonio González escribió:
>
> >> Pero esto no basta, ya que además L debe ser mayor que a, que b y que c.
>
> > Emmm, esto tampoco basta, ya que sólo garantizaría que está en el
> > triángulo curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia.
>
> > Tengo que pensarlo un poco más...
>
> Vale, imponiendo que
>
> *** z + z* > -x
>
> (esto es, que quede a la derecha de la recta vertical que pasa por xw y
> xw*) y operando llego a que se debe cumplir
>
> *** a^2 < b^2 + c^2 + bc
>
> y sus correspondientes rotaciones.
>
> De nuevo, esta condición es más restrictiva que la triangular, por tanto
> si se cumple esto, existe el triángulo y su lado vale
>
> *** L = rq((a^2+b^2+c^2)/2 + 2rq(3)S)
>
> con
>
> *** S = rq((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))/4
>
> Para a= 1 y b = 2, el máximo valor de c es rq(7) = 2.65...
>
> Habría que ver qué región ocupan los valores posibles de (a,b,c) enel
> "triángulo de los triángulos"
>
> http://groups.google.com/group/es.ci...sg/95838bcdae6...
>
> --
>
> *** ***Antonio

Ufffffffffffff,se complica la cosa.Yo juraría Antonio que la condición
necesaria y suficiente es que a,b y c sean los lados de un
triángulo.Para ello me baso en una construcción geométrica que te
comento ahora y luego la miramos en detalle de dónde viene.
Sería la siguiente:

Construyo el triángulo equilátero de lado a,y en uno de sus lados
pongo el triángulo de lados a,b y c( el cual existe por
hipótesis).Entonces lo que yo afirmo es que la diagonal que NO es el
lado del triángulo equilátero de lados a es precisamente la solución
del problema,es decir el lado del triángulo equilátero buscado.
Seguramente con un software tipo Geobebra se pueda ver mejor.
Luego le echamos un ojo si te parece.

Saludos.

On 18 jun, 21:05, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Antonio González escribió:
>
> > Antonio González escribió:
>
> >> Pero esto no basta, ya que además L debe ser mayor que a, que b y que c.
>
> > Emmm, esto tampoco basta, ya que sólo garantizaría que está en el
> > triángulo curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia.
>
> > Tengo que pensarlo un poco más...
>
> Vale, imponiendo que
>
> *** z + z* > -x
>
> (esto es, que quede a la derecha de la recta vertical que pasa por xw y
> xw*) y operando llego a que se debe cumplir
>
> *** a^2 < b^2 + c^2 + bc
>
> y sus correspondientes rotaciones.
>
> De nuevo, esta condición es más restrictiva que la triangular, por tanto
> si se cumple esto, existe el triángulo y su lado vale
>
> *** L = rq((a^2+b^2+c^2)/2 + 2rq(3)S)
>
> con
>
> *** S = rq((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))/4
>
> Para a= 1 y b = 2, el máximo valor de c es rq(7) = 2.65...
>
> Habría que ver qué región ocupan los valores posibles de (a,b,c) enel
> "triángulo de los triángulos"
>
> http://groups.google.com/group/es.ci...sg/95838bcdae6...
>
> --
>
> *** ***Antonio

Ufffffffffffff,se complica la cosa.Yo juraría Antonio que la condición
necesaria y suficiente es que a,b y c sean los lados de un
triángulo.Para ello me baso en una construcción geométrica que te
comento ahora y luego la miramos en detalle de dónde viene.
Sería la siguiente:

Construyo el triángulo equilátero de lado a,y en uno de sus lados
pongo el triángulo de lados a,b y c( el cual existe por
hipótesis).Entonces lo que yo afirmo es que la diagonal que NO es el
lado del triángulo equilátero de lados a es precisamente la solución
del problema,es decir el lado del triángulo equilátero buscado.
Seguramente con un software tipo Geobebra se pueda ver mejor.
Luego le echamos un ojo si te parece.

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> On 18 jun, 21:05, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> Antonio González escribió:
>>
>>> Antonio González escribió:
>>>> Pero esto no basta, ya que además L debe ser mayor que a, que b y que c.
>>> Emmm, esto tampoco basta, ya que sólo garantizaría que está en el
>>> triángulo curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia.
>>> Tengo que pensarlo un poco más...
>> Vale, imponiendo que
>>
>> z + z* > -x
>>
>> (esto es, que quede a la derecha de la recta vertical que pasa por xw y
>> xw*) y operando llego a que se debe cumplir
>>
>> a^2 < b^2 + c^2 + bc
>>
>> y sus correspondientes rotaciones.
>>
>> De nuevo, esta condición es más restrictiva que la triangular, por tanto
>> si se cumple esto, existe el triángulo y su lado vale
>>
>> L = rq((a^2+b^2+c^2)/2 + 2rq(3)S)
>>
>> con
>>
>> S = rq((a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))/4
>>
>> Para a= 1 y b = 2, el máximo valor de c es rq(7) = 2.65...
>>
>> Habría que ver qué región ocupan los valores posibles de (a,b,c) en el
>> "triángulo de los triángulos"
>>
>> http://groups.google.com/group/es.ci...sg/95838bcdae6...
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Ufffffffffffff,se complica la cosa.Yo juraría Antonio que la condición
> necesaria y suficiente es que a,b y c sean los lados de un
> triángulo.

No, no, haz la prueba. Coge el Geogebra y pon un triángulo de lado
2.909. Traza círculos centrados en los vértices con radios 1, 2 y 2.909
(que forman un triángulo). Verás que se cortan en un solo punto, pero
que dicho punto está *fuera* del triángulo:

http://laplace.us.es/campos/puntoP.html

--

Antonio