No acabo de entender esto que leo en un libro de
probabilidad :

Tenemos una función de densidad para una variable
aleatoria X que es f(x) = -k ln | x | con -1/2 < x < 1.

Se quiere hallar la densidad de Y = X^n cuando n
es un número natural par.

La función y = g(x) = x^n es decreciente en (-oo,0)
y creciente en (0,oo) y ambos intervalos son transformados
por g en el intervalo (0,oo) ( pues n es par ), por lo que
hay dos raíces para la ecuación y = x^n :

x1 = y^(1/n) , x2 = - y^(1/n)


Luego, la densidad de Y será :

g(y) = [ f( y^(1/n) ) + f( - y^(1/n) ) ] (1/n) y^(1/n - 1 )

para 0 < y < oo


Hasta aquí todo claro.

Pero ahora, el autor escribe :

"En particular, para la función de densidad f de X se tiene :

g(y) = (-2k/n^2) y^(1/n - 1 ) ln(y) para 0 < y < 1/2^n

g(y) = (-k/n^2) y^(1/n - 1 ) ln(y) para 1/2^n < y < 1 "

Y éste es el remate que no acabo de entender.

¿ Por qué divide el intervalo (0,1) en puntos a la izquierda y
a la derecha de 1/2^n ? En un caso suma los valores de
f en y^(1/n) y -y^(1/n) y en el otro sólo uno.

Debe ser de Perogrullo, pero no lo entiendo.

Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> escribió en el mensaje
news:g38iqj$t4p$1***registered.motzarella.org...
> No acabo de entender esto que leo en un libro de
> probabilidad :
>
> Tenemos una función de densidad para una variable
> aleatoria X que es f(x) = -k ln | x | con -1/2 < x < 1.
>
> Se quiere hallar la densidad de Y = X^n cuando n
> es un número natural par.
>
> La función y = g(x) = x^n es decreciente en (-oo,0)
> y creciente en (0,oo) y ambos intervalos son transformados
> por g en el intervalo (0,oo) ( pues n es par ), por lo que
> hay dos raíces para la ecuación y = x^n :
>
> x1 = y^(1/n) , x2 = - y^(1/n)
>
>
> Luego, la densidad de Y será :
>
> g(y) = [ f( y^(1/n) ) + f( - y^(1/n) ) ] (1/n) y^(1/n - 1 )
>
> para 0 < y < oo
>
>
> Hasta aquí todo claro.
>
> Pero ahora, el autor escribe :
>
> "En particular, para la función de densidad f de X se tiene :
>
> g(y) = (-2k/n^2) y^(1/n - 1 ) ln(y) para 0 < y < 1/2^n
>
> g(y) = (-k/n^2) y^(1/n - 1 ) ln(y) para 1/2^n < y < 1 "
>
> Y éste es el remate que no acabo de entender.
>
> ¿ Por qué divide el intervalo (0,1) en puntos a la izquierda y
> a la derecha de 1/2^n ? En un caso suma los valores de
> f en y^(1/n) y -y^(1/n) y en el otro sólo uno.
>
> Debe ser de Perogrullo, pero no lo entiendo.
>
> Saludos,
>

Vale, ya he dado con ello. Para este tipo de ejercicios es
fundamental dibujar la gráfica de la transformación, en este
caso, y = g(x) = x^n ( con "n" par ).

Cuando -1/2 < x <= 0, g(x) decrece desde (-1/2)^n = 1/2^n
hasta 0, por lo que, cuando 0 < y < 1/2^n g^(-1)(y) ^ (-1/2,1)
se compone de dos valores : x1 = -y^(1/n) , x2 = y^(1/n)

Sin embargo, cuando 0<= x < 1, g(x) crece desde 0 hasta 1,
por lo que, cuando 1/2^n < y < 1 g^(-1)(y) ^ (-1/2,1) se
compone de un único valor : x2 = y^(1/n)

Completamos así el dominio de g(y) que es 0 < y < 1.

Saludos,