Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre n para que el
polinomio tenga x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tenga una raiz racional.



PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.

Saludos.

On 18 jun, 12:04, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre n para que el
> polinomio tenga x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tenga una raiz racional.
>
> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>
> Saludos

Se admite la resolución sin el inciso:
> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>

Saludos.

On 18 jun, 12:04, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre n para que el
> polinomio tenga x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tenga una raiz racional.
>
> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>
> Saludos

Se admite la resolución sin el inciso:
> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>

Saludos.

On 18 jun, 12:04, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre n para que el
> polinomio tenga x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tenga una raiz racional.
>
> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>
> Saludos

Se admite la resolución sin el inciso:
> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>

Saludos.

On 18 jun, 12:04, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre n para que el
> polinomio tenga x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tenga una raiz racional.
>
> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>
> Saludos.

Este problema me hace gracia porque a las alturas que estamos sale del
tirón,no así en 1955.¿Por qué?

Si n es par es claro que no hay soluciones ni siaquiera reales.

Ahora bien,si n es impar al desarrollar (2 - x)^n + (2 + x)^n cancelan
los términos x^n y queda como primer término del polinomio x^n ,con lo
que de existir raices racionales,estas serían enteras.
Entonces tendríamos (2 - x)^n + (2 + x)^n = (-x)^n para una de estas
raices ,que sabemos que es imposible por el teorema de Fermat.
Falta analizar los casos n=1 y n=2.

Si n=1 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = x + 4 cuya solución es
x=-4
Si n=2 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = 3x^2 + 8 que no tiene
soluciones reales.

Por tanto el polinomio x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tiene raices
racionales sii n=1.

saludos.

On 18 jun, 12:04, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre n para que el
> polinomio tenga x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tenga una raiz racional.
>
> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>
> Saludos.

Este problema me hace gracia porque a las alturas que estamos sale del
tirón,no así en 1955.¿Por qué?

Si n es par es claro que no hay soluciones ni siaquiera reales.

Ahora bien,si n es impar al desarrollar (2 - x)^n + (2 + x)^n cancelan
los términos x^n y queda como primer término del polinomio x^n ,con lo
que de existir raices racionales,estas serían enteras.
Entonces tendríamos (2 - x)^n + (2 + x)^n = (-x)^n para una de estas
raices ,que sabemos que es imposible por el teorema de Fermat.
Falta analizar los casos n=1 y n=2.

Si n=1 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = x + 4 cuya solución es
x=-4
Si n=2 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = 3x^2 + 8 que no tiene
soluciones reales.

Por tanto el polinomio x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tiene raices
racionales sii n=1.

saludos.

On 18 jun, 12:04, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre n para que el
> polinomio tenga x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tenga una raiz racional.
>
> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>
> Saludos.

Este problema me hace gracia porque a las alturas que estamos sale del
tirón,no así en 1955.¿Por qué?

Si n es par es claro que no hay soluciones ni siaquiera reales.

Ahora bien,si n es impar al desarrollar (2 - x)^n + (2 + x)^n cancelan
los términos x^n y queda como primer término del polinomio x^n ,con lo
que de existir raices racionales,estas serían enteras.
Entonces tendríamos (2 - x)^n + (2 + x)^n = (-x)^n para una de estas
raices ,que sabemos que es imposible por el teorema de Fermat.
Falta analizar los casos n=1 y n=2.

Si n=1 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = x + 4 cuya solución es
x=-4
Si n=2 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = 3x^2 + 8 que no tiene
soluciones reales.

Por tanto el polinomio x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tiene raices
racionales sii n=1.

saludos.

>
> "Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> schrieb im Newsbeitrag
> news:30d50600-2af3-4623-89c4-21db1ea96a14***b1g2000hsg.googlegroups.com...
> On 18 jun, 12:04, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>> Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre n para que el
>> polinomio tenga x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tenga una raiz racional.
>>
>> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>>
>> Saludos.
>
> Este problema me hace gracia porque a las alturas que estamos sale
> del
> tirón,no así en 1955.¿Por qué?
>
> Si n es par es claro que no hay soluciones ni siaquiera reales.
>
> Ahora bien,si n es impar al desarrollar (2 - x)^n + (2 + x)^n
> cancelan
> los términos x^n y queda como primer término del polinomio x^n ,con
> lo
> que de existir raices racionales,estas serían enteras.
> Entonces tendríamos (2 - x)^n + (2 + x)^n = (-x)^n para una de estas
> raices ,que sabemos que es imposible por el teorema de Fermat.
> Falta analizar los casos n=1 y n=2.
>
> Si n=1 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = x + 4 cuya solución es
> x=-4
> Si n=2 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = 3x^2 + 8 que no tiene
> soluciones reales.
>
> Por tanto el polinomio x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tiene raices
> racionales sii n=1.
>
> saludos.

¿ Estás seguro que el suposición de Fermat sea demostrada ? ;-)

Saludos,
Wolfgang

>
> "Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> schrieb im Newsbeitrag
> news:30d50600-2af3-4623-89c4-21db1ea96a14***b1g2000hsg.googlegroups.com...
> On 18 jun, 12:04, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>> Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre n para que el
>> polinomio tenga x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tenga una raiz racional.
>>
>> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>>
>> Saludos.
>
> Este problema me hace gracia porque a las alturas que estamos sale
> del
> tirón,no así en 1955.¿Por qué?
>
> Si n es par es claro que no hay soluciones ni siaquiera reales.
>
> Ahora bien,si n es impar al desarrollar (2 - x)^n + (2 + x)^n
> cancelan
> los términos x^n y queda como primer término del polinomio x^n ,con
> lo
> que de existir raices racionales,estas serían enteras.
> Entonces tendríamos (2 - x)^n + (2 + x)^n = (-x)^n para una de estas
> raices ,que sabemos que es imposible por el teorema de Fermat.
> Falta analizar los casos n=1 y n=2.
>
> Si n=1 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = x + 4 cuya solución es
> x=-4
> Si n=2 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = 3x^2 + 8 que no tiene
> soluciones reales.
>
> Por tanto el polinomio x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tiene raices
> racionales sii n=1.
>
> saludos.

¿ Estás seguro que el suposición de Fermat sea demostrada ? ;-)

Saludos,
Wolfgang

>
> "Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> schrieb im Newsbeitrag
> news:30d50600-2af3-4623-89c4-21db1ea96a14***b1g2000hsg.googlegroups.com...
> On 18 jun, 12:04, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>> Encontrar una condición necesaria y suficiente sobre n para que el
>> polinomio tenga x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tenga una raiz racional.
>>
>> PD : Ojo!,ya aviso de que este problema es del Putnam de 1955.
>>
>> Saludos.
>
> Este problema me hace gracia porque a las alturas que estamos sale
> del
> tirón,no así en 1955.¿Por qué?
>
> Si n es par es claro que no hay soluciones ni siaquiera reales.
>
> Ahora bien,si n es impar al desarrollar (2 - x)^n + (2 + x)^n
> cancelan
> los términos x^n y queda como primer término del polinomio x^n ,con
> lo
> que de existir raices racionales,estas serían enteras.
> Entonces tendríamos (2 - x)^n + (2 + x)^n = (-x)^n para una de estas
> raices ,que sabemos que es imposible por el teorema de Fermat.
> Falta analizar los casos n=1 y n=2.
>
> Si n=1 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = x + 4 cuya solución es
> x=-4
> Si n=2 entonces x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n = 3x^2 + 8 que no tiene
> soluciones reales.
>
> Por tanto el polinomio x^n + (2 - x)^n + (2 + x)^n tiene raices
> racionales sii n=1.
>
> saludos.

¿ Estás seguro que el suposición de Fermat sea demostrada ? ;-)

Saludos,
Wolfgang