"Luis" <lamck***hotmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:g2tjon$6tv$1***registered.motzarella.org...
> 1) Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias independientes
> e idénticamente distribuidas según una distribución uniforme
> en (0,1).
> Sean W = max ( X1,X2,...,Xn) y Z = mín ( X1,X2,...,Xn)
>
> Calcular la distribución de W - Z y de Z / W
>
>
> 2) Sean X e Y variables aleatorias independientes con
> distribuciones gamma(a,p) y gamma(b,p), respectivamente.
>
> Calcular la distribución de X / Y y de X / ( X + Y )
>
> 3) Sean X e Y variables aleatorias independientes distribuidas
> uniformemente en (0,1).
>
> Calcular la distribución de XY y de X - Y
>
>
> Saludos,
>
>

Aunque es obvio que este problema es un clásico he tratado de derivar
de nuevo todos los soluciones por mi mismo. Me dió mucho divertimiento.
He estuiado - como se pidió - el caso de la distribución uniforme (la
llamaremos U(0,1)) pero también el caso de una distribución exponencial
(p(x) = a Exp[- a t], la llamaremos Exp(a)). Aquí sólo voy a llevar los
resultados. Después, en un otro mensaje, comentaré los derivaciones.

Los resultados son

1.1) w = max(x1..xn)
Generalmente para una distribución diferencial p(x) y integral P(x)
g[n,t; p(x)] = n p(t) P(t)^(n-1)
g[n,t; U(0,1)] = n t^(n-1)
g[n,t; Exp(a)) = n a Exp[- a t](1-Exp[- a t])^(n - 1)
observación: este distibución es la misma que para el tiempo de
fallo en el problema
"Más de distribuciones (10.06.08)" para el caso de elementos en
paralelo

1.2) z = min(x1..xn)
Generalmente para una distribución diferencial p(x) y integral P(x)
g[n,t; p(x)] = n p(t) (1-P(t))^(n-1)
g[n,t; U(0,1)] = n (1-t)^(n-1)
g[n,t; Exp(a)] = n a Exp[- n a t]
observación: este distibución es la misma que para el tiempo de
fallo en el problema
"Más de distribuciones (10.06.08)" para el caso de elementos en
serie

1.3) t = w - z = max(x1..xn) - min(x1..xn)
no he encontrado una expresión para una distribución general
g[n,t; U(0,1)] = n(n-1) (1-t) t^(n-2)
g[n,t; Exp(a)] = (n - 1) a Exp[-a t] (1 - Exp[-a t])^(n - 2)

1.4) t = w/z = max(x1..xn)/min(x1..xn)
no he encontrado una expresión para una distribución general
g[n,t; U(0,1)] = (n-1) (1-t)^(n-2)
observación: la misma que para el mínimo pero con n->n-1
g[n,t; Exp(a)] = n*(n - 1)*Sum[(-1)^k*(Binomial[n - 2, k]/((k + 1) +
(n - k - 1)*t)^2), {k, 0, n - 2}]
observación: el resultado más complejo (me ha costado mucho
trabajo)

2.1) t = X/Y (x~Gamma[a], y~Gamma[b]])
g[t=x/y] = (t^(-1 + a)*(1 + t)^(-a - b)*Gamma[a +
b])/(Gamma[a]*Gamma[b])

2.2) t = X/(X+Y) (x~Gamma[a], y~Gamma[b]])

g[t=x(x+y)] = (t^(-1 + a)*(1 - t)^(-1 + b)*Gamma[a +
b])/(Gamma[a]*Gamma[b])

3.1) t = X*Y (x~U(0,1), y~U(0,1))

g[t=x*y] = -Log[t]

3.2) t = X-Y (x~U(0,1), y~U(0,1))

g[t=x-y] = ( = (1+t) para -1 < t < 0 ; = (1-t) para 0 < t < 1; = 0
|t|>1 )
observación: la distribución triangluar

Saludos,
Wolfgang