En un triángulo acutángulo la distancia del vértice A al ortocentro H
es igual al lado opuesto al vértice A.Calcular los ángulos del
triángulo.

Saludos..

On 20 jun, 12:05, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> En un triángulo acutángulo la distancia del vértice A al ortocentroH
> es igual al lado opuesto al vértice A.Calcular los ángulos del
> triángulo.
>
> Saludos..

Ojo,ojo,ojo,seamos un poco más modestos y calculemos simplemente <A.Y
que Antonio luego nos haga una plantilla en Geogebra para ver que los
otros dos ángulos no quedan determinados por las hipótesis del
problema :-)

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> On 20 jun, 12:05, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
>> En un triángulo acutángulo la distancia del vértice A al ortocentro H
>> es igual al lado opuesto al vértice A.Calcular los ángulos del
>> triángulo.
>>
>> Saludos..
>
> Ojo,ojo,ojo,seamos un poco más modestos y calculemos simplemente <A.Y
> que Antonio luego nos haga una plantilla en Geogebra para ver que los
> otros dos ángulos no quedan determinados por las hipótesis del
> problema :-)
>

Sean los vértices del triángulo

A(0,0) B(1,0) C(p,q)

El ortocentro está en la intersección de la recta

x = p

con la recta

p(x-1)+q y = 0

lo que nos da

H(p,p(1-p)/q)

Queremos que

p^2 + p^2(1-p)^2/q^2 = (p-1)^2 + q^2

Multiplicando por q^2 y factorizando queda

(p^2-q^2)((p-1)^2 + q^2) = 0

como el segundo factor es necesariamente positivo, debe ser

p = q

y por tanto el ángulo es pi/4.





--

Antonio

La alternativa metrica es simple
Se considera el triangulo de vertices ABC , si trazamos las alturas
desde A y desde B ,se cortaran en O(ortocentro) y sea H el pie de la
altura trazada desde B

Los triangulos resctangulos AOH y BCH, son iguales , ya que el angulo
en B es igal al angulo en A e iguales a 90-C y el angulo en O es C

Como por hipotesis, AO=BC ya esta ...pero entonces AH=BH ; y si en
trianguLo rectangulo ABH , se tiene que AH=BH , entonces A=45

De los otros doa angulos, lo mas que se puesde decir esque suman los
2 juntos 135 grados..

On 22 jun, 10:36, josse...***yahoo.com wrote:
> La alternativa metrica es simple
> Se considera el triangulo de vertices ABC , si trazamos las alturas
> desde A y desde B ,se cortaran en O(ortocentro) y sea H ***el pie de la
> altura trazada desde B
>
> Los triangulos resctangulos AOH y BCH, son iguales , ya que el angulo
> en B es igal al angulo en A ***e iguales a 90-C y el angulo en O es C
>
> Como por hipotesis, AO=BC ya esta ...pero entonces AH=BH ; ***y si en
> trianguLo rectangulo ABH , ***se tiene ***que ***AH=BH , entonces A=45
>
> De los otros doa angulos, lo mas que se puesde decir esque suman ***los
> 2 juntos 135 grados..

Si es el típico ejercicio de geometría de "demostración sin palabras"
pero como no sé cómo hacer el dibujito pues no lo puedo poner.A ver si
alguien se brinda a hacerlo poniendo colorines en los lados iguales de
los triángulos rectángulos para que se vea bien.

Saludos.