Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
debían ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
solo cumple en este caso.

Gracias
JoRgE

Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
debían ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
solo cumple en este caso.

Gracias
JoRgE

Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
debían ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
solo cumple en este caso.

Gracias
JoRgE

jorgeperu escribió:
> Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
> pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
> asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
> debían ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
> pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
> solo cumple en este caso.
>

Sí, para dos fracciones deben tener el mismo denominador.

Si tenemos

p/q + m/n = N

y D es el m.c.m. de q y n tenemos que

p(D/q) + m(D/n) = ND

donde ahora los dos miembros son enteros (por fijar ideas, supongamos
que n y q son primos entre sí, y D = qn, pero no es preciso)

Supongamos que D/q > 1, si analizamos esta ecuación módulo (D/q) tenemos que

0 + m(D/n) = 0 (mod D/q)

entonces m(D/n) debería ser múltiplo de D/q, pero D/n no lo es porque si
no D no sería el m.c.m. de n y q, y m tampoco porque si no la fracción
m/n no sería irreducible. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto
D/q = 1 y n = q.


--

Antonio

jorgeperu escribió:
> Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
> pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
> asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
> debían ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
> pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
> solo cumple en este caso.
>

Sí, para dos fracciones deben tener el mismo denominador.

Si tenemos

p/q + m/n = N

y D es el m.c.m. de q y n tenemos que

p(D/q) + m(D/n) = ND

donde ahora los dos miembros son enteros (por fijar ideas, supongamos
que n y q son primos entre sí, y D = qn, pero no es preciso)

Supongamos que D/q > 1, si analizamos esta ecuación módulo (D/q) tenemos que

0 + m(D/n) = 0 (mod D/q)

entonces m(D/n) debería ser múltiplo de D/q, pero D/n no lo es porque si
no D no sería el m.c.m. de n y q, y m tampoco porque si no la fracción
m/n no sería irreducible. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto
D/q = 1 y n = q.


--

Antonio

jorgeperu escribió:
> Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
> pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
> asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
> debían ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
> pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
> solo cumple en este caso.
>

Sí, para dos fracciones deben tener el mismo denominador.

Si tenemos

p/q + m/n = N

y D es el m.c.m. de q y n tenemos que

p(D/q) + m(D/n) = ND

donde ahora los dos miembros son enteros (por fijar ideas, supongamos
que n y q son primos entre sí, y D = qn, pero no es preciso)

Supongamos que D/q > 1, si analizamos esta ecuación módulo (D/q) tenemos que

0 + m(D/n) = 0 (mod D/q)

entonces m(D/n) debería ser múltiplo de D/q, pero D/n no lo es porque si
no D no sería el m.c.m. de n y q, y m tampoco porque si no la fracción
m/n no sería irreducible. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto
D/q = 1 y n = q.


--

Antonio

Gracias de nuevo Antonio

Gracias de nuevo Antonio

Gracias de nuevo Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6cebbkF3cs16dU1***mid.individual.net...
> jorgeperu escribió:
>> Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
>> pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
>> asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
>> debían ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
>> pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
>> solo cumple en este caso.
>>
>
> Sí, para dos fracciones deben tener el mismo denominador.
>
> Si tenemos
>
> p/q + m/n = N
>
> y D es el m.c.m. de q y n tenemos que
>
> p(D/q) + m(D/n) = ND
>
> donde ahora los dos miembros son enteros (por fijar ideas, supongamos que
> n y q son primos entre sí, y D = qn, pero no es preciso)
>
> Supongamos que D/q > 1, si analizamos esta ecuación módulo (D/q) tenemos
> que
>
> 0 + m(D/n) = 0 (mod D/q)
>
> entonces m(D/n) debería ser múltiplo de D/q, pero D/n no lo es porque si
> no D no sería el m.c.m. de n y q, y m tampoco porque si no la fracción m/n
> no sería irreducible. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto D/q = 1
> y n = q.
>
>

Antonio, lo que has demostrado aquí es que, si dos fracciones irreducibles
p/q y m/n cumplen que p/q + m/n = N para cierto natural N, entonces
deben ser homogéneas. ¿ Correcto ?

Saludos,