La suma de dos fracciones irreductibles es 3 , si la suma de sus
numeradores es 18, ¿cuántas parejas de fracciones cumplen esto?
Saludos

No se si sea demasiado fácil y por eso no responden, el caso es que si
las fracciones son homogeneas se ve que hay tres parejas, pero las
fracciones podrían ser heterogeneas, ¿o no podrían?, alguien me da una
mano???
Gracias

jorgeperu escribió:
> La suma de dos fracciones irreductibles es 3 , si la suma de sus
> numeradores es 18, ¿cuántas parejas de fracciones cumplen esto?
> Saludos

Tenemos que

p/q + m/n = 3

Multiplicando por los denominadores

3qn - np - qm = 0

Multiplicando por 3

9qn - 3pn - 3mq = 0

9qn - 3pn - 3mq + pm = pm

obtenemos finalmente

(3q -p)(3n-m) = pm

Ahora bien p + m = 18, lo que nos limita el análisis a 9 casos (ya que
la solución es simétrica; da igual cual sea p y cual m).

Si m = 1, p = 17

(3q - 17)(3n-1) = 17

como 17 es primo, nos da

3q - 17 = 1 3n - 1 = 17 --> q = n = 6 (1/6,17/6)

ó

3q - 17 = 17 3n - 1 = 1 NO

Seguimos con los demás casos, y obtenemos las fracciones

17/6 1/6
16/6 2/6
16/8 2/2
16/16 2/1
15/6 3/6
15/10 3/2
14/5 4/20
14/6 4/6
14/7 4/4
14/14 4/2
13/6 5/6
13/26 5/2
12/5 6/10
12/6 6/6
12/8 6/4
12/12 6/3
11/4 7/28
11/6 7/6
10/4 8/16
10/5 8/8
10/6 8/6
10/10 8/4
10/30 8/3
9/4 9/12
9/6 9/6
9/12 9/4

Descartando las que no son irreducibles:

17/6 1/6
13/6 5/6
11/6 7/6

--

Antonio

On Jun 24, 9:08***am, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> jorgeperu escribió:
>
> > La suma de dos fracciones irreductibles es 3 , si la suma de sus
> > numeradores es 18, ¿cuántas parejas de fracciones cumplen esto?
> > Saludos
>
> Tenemos que
>
> *** p/q + m/n = 3
>
> Multiplicando por los denominadores
>
> *** 3qn - np - qm = 0
>
> Multiplicando por 3
>
> *** 9qn - 3pn - 3mq = 0
>
> *** 9qn - 3pn - 3mq + pm = pm
>
> obtenemos finalmente
>
> *** (3q -p)(3n-m) = pm
>
> Ahora bien p + m = 18, lo que nos limita el análisis a 9 casos (ya que
> la solución es simétrica; da igual cual sea p y cual m).
>
>
>
> Descartando las que no son irreducibles:
>
> 17/6 1/6
> 13/6 5/6
> 11/6 7/6
>
> --
>
> *** ***Antonio


Si admites que una de las fracciones sea negativa obtienes infinita
soluciones del tipo:

p/6 m/6
p + m = 18
p>0, m<0 y coprimos con 18 (con 6, vaya).


Jordi Loki

Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
debían ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
solo cumple en este caso.

Gracias
JoRgE

jorgeperu escribió:
> Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
> pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
> asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
> debían ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
> pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
> solo cumple en este caso.
>

Sí, para dos fracciones deben tener el mismo denominador.

Si tenemos

p/q + m/n = N

y D es el m.c.m. de q y n tenemos que

p(D/q) + m(D/n) = ND

donde ahora los dos miembros son enteros (por fijar ideas, supongamos
que n y q son primos entre sí, y D = qn, pero no es preciso)

Supongamos que D/q > 1, si analizamos esta ecuación módulo (D/q) tenemos que

0 + m(D/n) = 0 (mod D/q)

entonces m(D/n) debería ser múltiplo de D/q, pero D/n no lo es porque si
no D no sería el m.c.m. de n y q, y m tampoco porque si no la fracción
m/n no sería irreducible. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto
D/q = 1 y n = q.


--

Antonio

Gracias de nuevo Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6cebbkF3cs16dU1***mid.individual.net...
> jorgeperu escribió:
>> Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
>> pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
>> asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
>> debían ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
>> pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
>> solo cumple en este caso.
>>
>
> Sí, para dos fracciones deben tener el mismo denominador.
>
> Si tenemos
>
> p/q + m/n = N
>
> y D es el m.c.m. de q y n tenemos que
>
> p(D/q) + m(D/n) = ND
>
> donde ahora los dos miembros son enteros (por fijar ideas, supongamos que
> n y q son primos entre sí, y D = qn, pero no es preciso)
>
> Supongamos que D/q > 1, si analizamos esta ecuación módulo (D/q) tenemos
> que
>
> 0 + m(D/n) = 0 (mod D/q)
>
> entonces m(D/n) debería ser múltiplo de D/q, pero D/n no lo es porque si
> no D no sería el m.c.m. de n y q, y m tampoco porque si no la fracción m/n
> no sería irreducible. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto D/q = 1
> y n = q.
>
>

Antonio, lo que has demostrado aquí es que, si dos fracciones irreducibles
p/q y m/n cumplen que p/q + m/n = N para cierto natural N, entonces
deben ser homogéneas. ¿ Correcto ?

Saludos,

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6cebbkF3cs16dU1***mid.individual.net...
> jorgeperu escribió:
>> Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
>> pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
>> asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
>> debían ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
>> pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
>> solo cumple en este caso.
>>
>
> Sí, para dos fracciones deben tener el mismo denominador.
>
> Si tenemos
>
> p/q + m/n = N
>
> y D es el m.c.m. de q y n tenemos que
>
> p(D/q) + m(D/n) = ND
>
> donde ahora los dos miembros son enteros (por fijar ideas, supongamos que
> n y q son primos entre sí, y D = qn, pero no es preciso)
>
> Supongamos que D/q > 1, si analizamos esta ecuación módulo (D/q) tenemos
> que
>
> 0 + m(D/n) = 0 (mod D/q)
>
> entonces m(D/n) debería ser múltiplo de D/q, pero D/n no lo es porque si
> no D no sería el m.c.m. de n y q, y m tampoco porque si no la fracción m/n
> no sería irreducible. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto D/q = 1
> y n = q.
>

No entiendo el final de la demostración, Antonio. ¿ Por qué si D/q = 1
es n = q ?
Si pongo q = 6 y n = 2, es D = m.c.m.( 6,2 ) = 6 , D/q = 1
y n es distinto de q.

Luis escribió:
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
> news:6cebbkF3cs16dU1***mid.individual.net...
>> jorgeperu escribió:
>>> Gracias Antonio y Loki, en realidad son las tres parejas que encontré,
>>> pero aun me queda la duda si hay alguna propiedad que de antemano me
>>> asegure que para estos casos necesariamente las parejas de fracciones
>>> debÃ***an ser homogéneas, me he centrado en tratar de demostrar esto,
>>> pero no se me ha ocurrido como, o quizá no es necesario que lo sean y
>>> solo cumple en este caso.
>>>
>> SÃ***, para dos fracciones deben tener el mismo denominador.
>>
>> Si tenemos
>>
>> p/q + m/n = N
>>
>> y D es el m.c.m. de q y n tenemos que
>>
>> p(D/q) + m(D/n) = ND
>>
>> donde ahora los dos miembros son enteros (por fijar ideas, supongamos que
>> n y q son primos entre sÃ***, y D = qn, pero no es preciso)
>>
>> Supongamos que D/q > 1, si analizamos esta ecuación módulo (D/q) tenemos
>> que
>>
>> 0 + m(D/n) = 0 (mod D/q)
>>
>> entonces m(D/n) deberÃ***a ser múltiplo de D/q, pero D/n no lo es porque si
>> no D no serÃ***a el m.c.m. de n y q, y m tampoco porque si no la fracción m/n
>> no serÃ***a irreducible. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto D/q = 1
>> y n = q.
>>
>
> No entiendo el final de la demostración, Antonio. ¿ Por qué si D/q = 1
> es n = q ?
> Si pongo q = 6 y n = 2, es D = m.c.m.( 6,2 ) = 6 , D/q = 1
> y n es distinto de q.
>

Porque, del mismo modo que D/q =1, también debe ser D/n = 1. El llamar a
un denominador q o n es irrelevante. Por tanto, debe ser n = q = D.

--

Antonio