Sea una mesa de billar circular y una bola situada inicialmente en un
punto A. ¿Hacia que punto de la banda debemos lanzar la bola para que
tras dos rebotes pase de nuevo por el mismo punto A, sin pasar por el
centro de la mesa?

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Antonio

Antonio González wrote:
> Sea una mesa de billar circular y una bola situada inicialmente en un
> punto A. ¿Hacia que punto de la banda debemos lanzar la bola para que
> tras dos rebotes pase de nuevo por el mismo punto A, sin pasar por el
> centro de la mesa?

Muy brevemente, que ultimamente ando muy liado ...

La trayectoria de la bola es un triángulo isósceles ABC, con ángulo desigual
en A, siendo el diámetro que pasa por A su eje de simetría.

Sea r el radio de la circunferencia, d la distancia al centro, y x la
distancia del centro O al lado BC (el radio de la circunferencia inscrita en
el triángulo). Entonces, debe ser

x/rq(r^2 - x^2) = d/rq((d + x)^2 + (r^2 - x^2))

puesto que BO es una bisectriz.

Operando, queda,

(x + d)(2dx^2 + r^2x - dr^2) = 0

Descartamos la solución x = - d, y nos queda,

x = (-r^2 +/- r*rq(8d^2 + r^2)/(4d)

Donde debe descartarse el signo "-".

El ángulo de tiro, respecto al diámetro que pasa por A, es

t = arctg(rq(2)r/rq(rq(8d^2 + r^2)r + 4d^2 - r^2))

O midiendo d en unidades del radio (tomando r = 1, vamos)

t = arctg(rq(2)/rq(rq(8d^2 + 1) + 4d^2 - 1))

Concretamente, para d = 1, queda t = 30º, como cabía esperar.


P.S.: Marcho tres semanas de viaje, pero os continua leyendo, como hasta
ahora aunque no respondiese ...

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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com