(esto es parte de un experimento)

Una partÃ***cula se encuentra inicialmente en x=0 y cada segundo puede dar
un paso de longitud arbitraria hacia adelante o hacia atrás con igual
probabilidad, tal que la probabilidad de que tras efectuar el paso se
encuentre a una distancia menor o igual que "s" del punto de partida del
paso es

P(s) = (2/pi) arctg(s/a)

Tras n pasos, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre a una
distancia menor o igual que x respecto de x=0?

--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6cmappF3gsvldU1***mid.individual.net...
> (esto es parte de un experimento)
>
> Una partÃ***cula se encuentra inicialmente en x=0 y cada segundo puede
> dar un paso de longitud arbitraria hacia adelante o hacia atrás con
> igual probabilidad, tal que la probabilidad de que tras efectuar el
> paso se encuentre a una distancia menor o igual que "s" del punto de
> partida del paso es
>
> P(s) = (2/pi) arctg(s/a)
>
> Tras n pasos, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre a una
> distancia menor o igual que x respecto de x=0?
>
> --
>
> Antonio

Empezamos con una ampliación de la variable s al intervalo (-oo,+oo).
La función diferencial de probabilidad es ahora (sin el factor 1/2)

p(s,a) = a/(Pi)/(a^2 + s^2))

p(s) ds es la probabilidad de que la partÃ***cula se encuentra entre s y
s+ds después de un paso.
Ahora s puede ser >0 o <0. Ésta distribucion se llama distribución de
Cauchy.

Si la partÃ***cula da dos pasos tenemos para al función diferencial de
probabilidad (t = x + y)

p2(t) = Integrate[DiracDelta[ t - x - y] p[x] p[y]
,{x,-oo,oo},{y,-oo,oo}] = 2a/(Pi)/(4*a^2+ t^2) = p(t,2a)

Para un paso más (t=x+y+z)

p3(t) = Integrate[DiracDelta[ t - x - y -z] p[x] p[y]p[z]
,{x,-oo,oo},{y,-oo,oo},{z,-oo,oo}] = 3a/(Pi)/( 9*a^2 + t^2) = p(t,3a)
....

pn(t) = p(t,n*a) = n*a/(Pi)/( (n*a)^2+t^2)

Es la misma distribución (de Cauchy) con el paso n*a en vez de a.

La respuesta es por tanto

P(n, t<=s) = Integrate[pn[t],{t,-oo,s}] = 1/2 + ArcTan[(s/a*n)]/Pi

PD: El juego de fútbol acaba de comenzar. ¡Buena suerte!

Saludos,
Wolfgang

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
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> (esto es parte de un experimento)
>
> Una partÃ***cula se encuentra inicialmente en x=0 y cada segundo puede
> dar un paso de longitud arbitraria hacia adelante o hacia atrás con
> igual probabilidad, tal que la probabilidad de que tras efectuar el
> paso se encuentre a una distancia menor o igual que "s" del punto de
> partida del paso es
>
> P(s) = (2/pi) arctg(s/a)
>
> Tras n pasos, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre a una
> distancia menor o igual que x respecto de x=0?
>
> --
>
> Antonio

Empezamos con una ampliación de la variable s al intervalo (-oo,+oo).
La función diferencial de probabilidad es ahora (sin el factor 1/2)

p(s,a) = a/(Pi)/(a^2 + s^2))

p(s) ds es la probabilidad de que la partÃ***cula se encuentra entre s y
s+ds después de un paso.
Ahora s puede ser >0 o <0. Ésta distribucion se llama distribución de
Cauchy.

Si la partÃ***cula da dos pasos tenemos para al función diferencial de
probabilidad (t = x + y)

p2(t) = Integrate[DiracDelta[ t - x - y] p[x] p[y]
,{x,-oo,oo},{y,-oo,oo}] = 2a/(Pi)/(4*a^2+ t^2) = p(t,2a)

Para un paso más (t=x+y+z)

p3(t) = Integrate[DiracDelta[ t - x - y -z] p[x] p[y]p[z]
,{x,-oo,oo},{y,-oo,oo},{z,-oo,oo}] = 3a/(Pi)/( 9*a^2 + t^2) = p(t,3a)
....

pn(t) = p(t,n*a) = n*a/(Pi)/( (n*a)^2+t^2)

Es la misma distribución (de Cauchy) con el paso n*a en vez de a.

La respuesta es por tanto

P(n, t<=s) = Integrate[pn[t],{t,-oo,s}] = 1/2 + ArcTan[(s/a*n)]/Pi

PD: El juego de fútbol acaba de comenzar. ¡Buena suerte!

Saludos,
Wolfgang

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
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> (esto es parte de un experimento)
>
> Una partÃ***cula se encuentra inicialmente en x=0 y cada segundo puede
> dar un paso de longitud arbitraria hacia adelante o hacia atrás con
> igual probabilidad, tal que la probabilidad de que tras efectuar el
> paso se encuentre a una distancia menor o igual que "s" del punto de
> partida del paso es
>
> P(s) = (2/pi) arctg(s/a)
>
> Tras n pasos, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre a una
> distancia menor o igual que x respecto de x=0?
>
> --
>
> Antonio

Un salto al la cima del Eurocopa para España - muy merecido.
¡Enhorabuena!

Wolfgang

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> (esto es parte de un experimento)
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> Una partÃ***cula se encuentra inicialmente en x=0 y cada segundo puede
> dar un paso de longitud arbitraria hacia adelante o hacia atrás con
> igual probabilidad, tal que la probabilidad de que tras efectuar el
> paso se encuentre a una distancia menor o igual que "s" del punto de
> partida del paso es
>
> P(s) = (2/pi) arctg(s/a)
>
> Tras n pasos, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentre a una
> distancia menor o igual que x respecto de x=0?
>
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>
> Antonio

Un salto al la cima del Eurocopa para España - muy merecido.
¡Enhorabuena!

Wolfgang