Hola.

Me piden evaluar sen(20º 18') por el método de Lagrange, sabiendo que
sen(20º) = 0.34200 y se(21º) = 0.35037 y la cota para el error.

¿Cómo aplico la fórmula de Lagrange a este tipo de funciones
trigonométricas con esos argumentos (grados y minutos) ??????.

Muchas gracias.

CochiVgr escribió:
> Hola.
>
> Me piden evaluar sen(20º 18') por el método de Lagrange, sabiendo que
> sen(20º) = 0.34200 y se(21º) = 0.35037 y la cota para el error.

Estos valores son incorrectos. Los buenos son

sen(20º) = 0.34202

sen(21º) = 0.35837

pero supongamos que sean correctos.
>
> ¿Cómo aplico la fórmula de Lagrange a este tipo de funciones
> trigonométricas con esos argumentos (grados y minutos) ??????.
>

En principio, el que la función se llame sen(x) o f(x), en este caso es
irrelevante para la interpolación, pues no se trata de derivarla (ahí sí
habría que tener cuidado).

Lo único que hay que recordar es que en un grado hay 60 minutos, por lo que

20º 18' = (20 + 18/60)º = 20.3º

de forma que

sen(20º18') ~ (0.3º)sen(21º)/1º + (0.7º)sen(20º)/1º = 0.34451

Lo que sí es cierto es que el polinomio de Lagrange, con solo dos
puntos, no da estimación del error.

Para poder hacer una estimación necesitamos al menos un tercer punto.
Una posibilidad es emplear las relaciones trigonométricas para hallar el
valor de sen(x) en x = 20º30' (el punto medio):

sen((20º+21º)/2) = rq((1-cos(20º+21º))/2) =

= rq((1-cos(20º)cos(21º) + sen(20º)sen(21º))/2) =

= rq((1-rq(1-sen^2(20º))rq(1-sen^2(21º))+sen(20º)sen(21º))/2)

Sustituyendo los valores que nos da el enunciado

sen(20º30') = 0.34619

El valor que da la interpolación de Lagrange para este ángulo es

sen(20º30') ~ 0.5 sen(20º) + 0.5 sen(21º) = 0.34618

lo que supone un error de solo

E(20º30') = 0.00001

(en realidad es menor, sin redondear sale 0.000003). Este es
aproximadamente el máximo error que se puede cometer en el intervalo (ya
que en el punto medio es donde la parábola se aleja más de la recta),
por lo que puede servir de cota para el resto del intervalo, en
particular para 20º18'.

--

Antonio

CochiVgr escribió:
> Hola.
>
> Me piden evaluar sen(20º 18') por el método de Lagrange, sabiendo que
> sen(20º) = 0.34200 y se(21º) = 0.35037 y la cota para el error.

Estos valores son incorrectos. Los buenos son

sen(20º) = 0.34202

sen(21º) = 0.35837

pero supongamos que sean correctos.
>
> ¿Cómo aplico la fórmula de Lagrange a este tipo de funciones
> trigonométricas con esos argumentos (grados y minutos) ??????.
>

En principio, el que la función se llame sen(x) o f(x), en este caso es
irrelevante para la interpolación, pues no se trata de derivarla (ahí sí
habría que tener cuidado).

Lo único que hay que recordar es que en un grado hay 60 minutos, por lo que

20º 18' = (20 + 18/60)º = 20.3º

de forma que

sen(20º18') ~ (0.3º)sen(21º)/1º + (0.7º)sen(20º)/1º = 0.34451

Lo que sí es cierto es que el polinomio de Lagrange, con solo dos
puntos, no da estimación del error.

Para poder hacer una estimación necesitamos al menos un tercer punto.
Una posibilidad es emplear las relaciones trigonométricas para hallar el
valor de sen(x) en x = 20º30' (el punto medio):

sen((20º+21º)/2) = rq((1-cos(20º+21º))/2) =

= rq((1-cos(20º)cos(21º) + sen(20º)sen(21º))/2) =

= rq((1-rq(1-sen^2(20º))rq(1-sen^2(21º))+sen(20º)sen(21º))/2)

Sustituyendo los valores que nos da el enunciado

sen(20º30') = 0.34619

El valor que da la interpolación de Lagrange para este ángulo es

sen(20º30') ~ 0.5 sen(20º) + 0.5 sen(21º) = 0.34618

lo que supone un error de solo

E(20º30') = 0.00001

(en realidad es menor, sin redondear sale 0.000003). Este es
aproximadamente el máximo error que se puede cometer en el intervalo (ya
que en el punto medio es donde la parábola se aleja más de la recta),
por lo que puede servir de cota para el resto del intervalo, en
particular para 20º18'.

--

Antonio

CochiVgr escribió:
> Hola.
>
> Me piden evaluar sen(20º 18') por el método de Lagrange, sabiendo que
> sen(20º) = 0.34200 y se(21º) = 0.35037 y la cota para el error.

Estos valores son incorrectos. Los buenos son

sen(20º) = 0.34202

sen(21º) = 0.35837

pero supongamos que sean correctos.
>
> ¿Cómo aplico la fórmula de Lagrange a este tipo de funciones
> trigonométricas con esos argumentos (grados y minutos) ??????.
>

En principio, el que la función se llame sen(x) o f(x), en este caso es
irrelevante para la interpolación, pues no se trata de derivarla (ahí sí
habría que tener cuidado).

Lo único que hay que recordar es que en un grado hay 60 minutos, por lo que

20º 18' = (20 + 18/60)º = 20.3º

de forma que

sen(20º18') ~ (0.3º)sen(21º)/1º + (0.7º)sen(20º)/1º = 0.34451

Lo que sí es cierto es que el polinomio de Lagrange, con solo dos
puntos, no da estimación del error.

Para poder hacer una estimación necesitamos al menos un tercer punto.
Una posibilidad es emplear las relaciones trigonométricas para hallar el
valor de sen(x) en x = 20º30' (el punto medio):

sen((20º+21º)/2) = rq((1-cos(20º+21º))/2) =

= rq((1-cos(20º)cos(21º) + sen(20º)sen(21º))/2) =

= rq((1-rq(1-sen^2(20º))rq(1-sen^2(21º))+sen(20º)sen(21º))/2)

Sustituyendo los valores que nos da el enunciado

sen(20º30') = 0.34619

El valor que da la interpolación de Lagrange para este ángulo es

sen(20º30') ~ 0.5 sen(20º) + 0.5 sen(21º) = 0.34618

lo que supone un error de solo

E(20º30') = 0.00001

(en realidad es menor, sin redondear sale 0.000003). Este es
aproximadamente el máximo error que se puede cometer en el intervalo (ya
que en el punto medio es donde la parábola se aleja más de la recta),
por lo que puede servir de cota para el resto del intervalo, en
particular para 20º18'.

--

Antonio