Hola.

La letra "w" simboliza el "triángulo", símbolo de la diferencia dividida.
Sabemos que si tenemos una función definida en una sucesión de puntos
equidistantes, con distancia h >0 entre dos puntos consecutivos, xj = x0 +
jh, j = 0,1,2......, -1, -2 ........., la diferencia progresiva de f es:

wf(xk) = f(xk + h) - f(xk). Simplificando la notación: wfk = wfk+1 - wfk.

Me piden deducir wfk para fk = 1, fk = k, fk = k^2, fk = k^3 y, basándome en
ell, deducir fk tal que wfk = 3k^2 + 5k + 1

Las soluciones son: 0, 1, 2k+1, 3k^2 + 3k + 1 y fk = k^3 + k^2 - k + K con K
constante.

¿De dónde salen estas soluciones?. ¿Alguna propiedad de las diferencias
finitas?.

También me piden hallar fk tal que wfk = 3^k, cuya solución es (1/2)3^k -
(1/2)k + K, K constante.

¿de dónde sale?.

No pido que me resuelvan el ejercicio, sólo si por favor pueden decirme la
propiedad o pista para hacerlo.

Gracias.

yoli escribió:
> Hola.
>
> La letra "w" simboliza el "triángulo", sÃ***mbolo de la diferencia dividida.

Mejor D para esto.

> Sabemos que si tenemos una función definida en una sucesión de puntos
> equidistantes, con distancia h >0 entre dos puntos consecutivos, xj = x0 +
> jh, j = 0,1,2......, -1, -2 ........., la diferencia progresiva de f es:
>
> wf(xk) = f(xk + h) - f(xk). Simplificando la notación: wfk = wfk+1 - wfk.

AquÃ*** te sobran las w's en el segundo miembro. SerÃ***a

Df(k) = f(k+1) - f(k)

>
> Me piden deducir wfk para fk = 1, fk = k, fk = k^2, fk = k^3 y, basándome en
> ell, deducir fk tal que wfk = 3k^2 + 5k + 1
>
> Las soluciones son: 0, 1, 2k+1, 3k^2 + 3k + 1 y fk = k^3 + k^2 - k + K con K
> constante.
>
> ¿De dónde salen estas soluciones?. ¿Alguna propiedad de las diferencias
> finitas?.
>
> También me piden hallar fk tal que wfk = 3^k, cuya solución es (1/2)3^k -
> (1/2)k + K, K constante.
>
> ¿de dónde sale?.
>
> No pido que me resuelvan el ejercicio, sólo si por favor pueden decirme la
> propiedad o pista para hacerlo.
>

Solo tiene que aplicar al pie de la letra la definición.

Si Df(k) = f(k+1) - f(k) (ya que los incrementos son unitarios h = 1),
para k^2, por ejemplo, tienes

D(k^2) = (k+1)^2 - k^2 = k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1

Para funciones polinómicas, las diferencias finitas siempre producen un
polinomio de un grado menos.

El procedimiento inverso serÃ***a equivalente a una integración (en
realidad, serÃ***a un sumatorio). Como con las integrales, vale saberse una
primitiva.

Por ejemplo, si nos piden hallar la función tal que

Df = k

pues probamos con una función de segundo grado (un grado más). Sea

f = a k^2 + b k + c

La diferencia finita de esta función es

Df = a(k+1)^2 + b(k+1) + c - a k^2 - b k - c =

= 2ka + a + b

como esto debe ser igual a k, pues

a = 1/2

b = -a = -1/2

y c es arbitrario, asÃ*** que la primitiva es

f = k^2/2 - k/2 + c

Como ves, el tener a mano las diferencias finitas de funciones
sencillas, como k, k^2,... simplifican los cálculos.

Para el caso 3^k, recordamos que en el cálculo de la derivada, la
exponencial es proporcional a su derivada. Vamos a ver si aquÃ*** pasa algo
parecido

f = 3^k

Df = 3^(k+1) - 3^k = 3·3^k - 3^k = 2·3^k

vemos que ocurre lo mismo. Como lo que nos interesa es que Df = 3^k,
pues dividimos por 2

f = (1/2)3^k

Df = 3^k







--

Antonio

yoli escribió:
> Hola.
>
> La letra "w" simboliza el "triángulo", sÃ***mbolo de la diferencia dividida.

Mejor D para esto.

> Sabemos que si tenemos una función definida en una sucesión de puntos
> equidistantes, con distancia h >0 entre dos puntos consecutivos, xj = x0 +
> jh, j = 0,1,2......, -1, -2 ........., la diferencia progresiva de f es:
>
> wf(xk) = f(xk + h) - f(xk). Simplificando la notación: wfk = wfk+1 - wfk.

AquÃ*** te sobran las w's en el segundo miembro. SerÃ***a

Df(k) = f(k+1) - f(k)

>
> Me piden deducir wfk para fk = 1, fk = k, fk = k^2, fk = k^3 y, basándome en
> ell, deducir fk tal que wfk = 3k^2 + 5k + 1
>
> Las soluciones son: 0, 1, 2k+1, 3k^2 + 3k + 1 y fk = k^3 + k^2 - k + K con K
> constante.
>
> ¿De dónde salen estas soluciones?. ¿Alguna propiedad de las diferencias
> finitas?.
>
> También me piden hallar fk tal que wfk = 3^k, cuya solución es (1/2)3^k -
> (1/2)k + K, K constante.
>
> ¿de dónde sale?.
>
> No pido que me resuelvan el ejercicio, sólo si por favor pueden decirme la
> propiedad o pista para hacerlo.
>

Solo tiene que aplicar al pie de la letra la definición.

Si Df(k) = f(k+1) - f(k) (ya que los incrementos son unitarios h = 1),
para k^2, por ejemplo, tienes

D(k^2) = (k+1)^2 - k^2 = k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1

Para funciones polinómicas, las diferencias finitas siempre producen un
polinomio de un grado menos.

El procedimiento inverso serÃ***a equivalente a una integración (en
realidad, serÃ***a un sumatorio). Como con las integrales, vale saberse una
primitiva.

Por ejemplo, si nos piden hallar la función tal que

Df = k

pues probamos con una función de segundo grado (un grado más). Sea

f = a k^2 + b k + c

La diferencia finita de esta función es

Df = a(k+1)^2 + b(k+1) + c - a k^2 - b k - c =

= 2ka + a + b

como esto debe ser igual a k, pues

a = 1/2

b = -a = -1/2

y c es arbitrario, asÃ*** que la primitiva es

f = k^2/2 - k/2 + c

Como ves, el tener a mano las diferencias finitas de funciones
sencillas, como k, k^2,... simplifican los cálculos.

Para el caso 3^k, recordamos que en el cálculo de la derivada, la
exponencial es proporcional a su derivada. Vamos a ver si aquÃ*** pasa algo
parecido

f = 3^k

Df = 3^(k+1) - 3^k = 3·3^k - 3^k = 2·3^k

vemos que ocurre lo mismo. Como lo que nos interesa es que Df = 3^k,
pues dividimos por 2

f = (1/2)3^k

Df = 3^k







--

Antonio

Muchísimas gracias Antonio, pero ¿de dónde deduces que h = 1?.

h es la distancia entre los xj, es decir x1 = x0 + h, x2 = x1 +h,
etc.........

con fk+1, me refiero a que el subíndice de f es (k+1).


"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6cvcdnF28n0U1***mid.individual.net...
> yoli escribió:
> > Hola.
> >
> > La letra "w" simboliza el "triángulo", símbolo de la diferencia
dividida.
>
> Mejor D para esto.
>
> > Sabemos que si tenemos una función definida en una sucesión de puntos
> > equidistantes, con distancia h >0 entre dos puntos consecutivos, xj = x0
+
> > jh, j = 0,1,2......, -1, -2 ........., la diferencia progresiva de f es:
> >
> > wf(xk) = f(xk + h) - f(xk). Simplificando la notación: wfk = wfk+1 -
wfk.
>
> Aquí te sobran las w's en el segundo miembro. Sería
>
> Df(k) = f(k+1) - f(k)
>
> >
> > Me piden deducir wfk para fk = 1, fk = k, fk = k^2, fk = k^3 y,
basándome en
> > ell, deducir fk tal que wfk = 3k^2 + 5k + 1
> >
> > Las soluciones son: 0, 1, 2k+1, 3k^2 + 3k + 1 y fk = k^3 + k^2 - k + K
con K
> > constante.
> >
> > ¿De dónde salen estas soluciones?. ¿Alguna propiedad de las diferencias
> > finitas?.
> >
> > También me piden hallar fk tal que wfk = 3^k, cuya solución es
1/2)3^k -
> > (1/2)k + K, K constante.
> >
> > ¿de dónde sale?.
> >
> > No pido que me resuelvan el ejercicio, sólo si por favor pueden decirme
la
> > propiedad o pista para hacerlo.
> >
>
> Solo tiene que aplicar al pie de la letra la definición.
>
> Si Df(k) = f(k+1) - f(k) (ya que los incrementos son unitarios h = 1),
> para k^2, por ejemplo, tienes
>
> D(k^2) = (k+1)^2 - k^2 = k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1
>
> Para funciones polinómicas, las diferencias finitas siempre producen un
> polinomio de un grado menos.
>
> El procedimiento inverso sería equivalente a una integración (en
> realidad, sería un sumatorio). Como con las integrales, vale saberse una
> primitiva.
>
> Por ejemplo, si nos piden hallar la función tal que
>
> Df = k
>
> pues probamos con una función de segundo grado (un grado más). Sea
>
> f = a k^2 + b k + c
>
> La diferencia finita de esta función es
>
> Df = a(k+1)^2 + b(k+1) + c - a k^2 - b k - c =
>
> = 2ka + a + b
>
> como esto debe ser igual a k, pues
>
> a = 1/2
>
> b = -a = -1/2
>
> y c es arbitrario, así que la primitiva es
>
> f = k^2/2 - k/2 + c
>
> Como ves, el tener a mano las diferencias finitas de funciones
> sencillas, como k, k^2,... simplifican los cálculos.
>
> Para el caso 3^k, recordamos que en el cálculo de la derivada, la
> exponencial es proporcional a su derivada. Vamos a ver si aquí pasa algo
> parecido
>
> f = 3^k
>
> Df = 3^(k+1) - 3^k = 3·3^k - 3^k = 2·3^k
>
> vemos que ocurre lo mismo. Como lo que nos interesa es que Df = 3^k,
> pues dividimos por 2
>
> f = (1/2)3^k
>
> Df = 3^k
>
>
>
>
>
>
>
> --
>
> Antonio

Muchísimas gracias Antonio, pero ¿de dónde deduces que h = 1?.

h es la distancia entre los xj, es decir x1 = x0 + h, x2 = x1 +h,
etc.........

con fk+1, me refiero a que el subíndice de f es (k+1).


"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6cvcdnF28n0U1***mid.individual.net...
> yoli escribió:
> > Hola.
> >
> > La letra "w" simboliza el "triángulo", símbolo de la diferencia
dividida.
>
> Mejor D para esto.
>
> > Sabemos que si tenemos una función definida en una sucesión de puntos
> > equidistantes, con distancia h >0 entre dos puntos consecutivos, xj = x0
+
> > jh, j = 0,1,2......, -1, -2 ........., la diferencia progresiva de f es:
> >
> > wf(xk) = f(xk + h) - f(xk). Simplificando la notación: wfk = wfk+1 -
wfk.
>
> Aquí te sobran las w's en el segundo miembro. Sería
>
> Df(k) = f(k+1) - f(k)
>
> >
> > Me piden deducir wfk para fk = 1, fk = k, fk = k^2, fk = k^3 y,
basándome en
> > ell, deducir fk tal que wfk = 3k^2 + 5k + 1
> >
> > Las soluciones son: 0, 1, 2k+1, 3k^2 + 3k + 1 y fk = k^3 + k^2 - k + K
con K
> > constante.
> >
> > ¿De dónde salen estas soluciones?. ¿Alguna propiedad de las diferencias
> > finitas?.
> >
> > También me piden hallar fk tal que wfk = 3^k, cuya solución es
1/2)3^k -
> > (1/2)k + K, K constante.
> >
> > ¿de dónde sale?.
> >
> > No pido que me resuelvan el ejercicio, sólo si por favor pueden decirme
la
> > propiedad o pista para hacerlo.
> >
>
> Solo tiene que aplicar al pie de la letra la definición.
>
> Si Df(k) = f(k+1) - f(k) (ya que los incrementos son unitarios h = 1),
> para k^2, por ejemplo, tienes
>
> D(k^2) = (k+1)^2 - k^2 = k^2 + 2k + 1 - k^2 = 2k + 1
>
> Para funciones polinómicas, las diferencias finitas siempre producen un
> polinomio de un grado menos.
>
> El procedimiento inverso sería equivalente a una integración (en
> realidad, sería un sumatorio). Como con las integrales, vale saberse una
> primitiva.
>
> Por ejemplo, si nos piden hallar la función tal que
>
> Df = k
>
> pues probamos con una función de segundo grado (un grado más). Sea
>
> f = a k^2 + b k + c
>
> La diferencia finita de esta función es
>
> Df = a(k+1)^2 + b(k+1) + c - a k^2 - b k - c =
>
> = 2ka + a + b
>
> como esto debe ser igual a k, pues
>
> a = 1/2
>
> b = -a = -1/2
>
> y c es arbitrario, así que la primitiva es
>
> f = k^2/2 - k/2 + c
>
> Como ves, el tener a mano las diferencias finitas de funciones
> sencillas, como k, k^2,... simplifican los cálculos.
>
> Para el caso 3^k, recordamos que en el cálculo de la derivada, la
> exponencial es proporcional a su derivada. Vamos a ver si aquí pasa algo
> parecido
>
> f = 3^k
>
> Df = 3^(k+1) - 3^k = 3·3^k - 3^k = 2·3^k
>
> vemos que ocurre lo mismo. Como lo que nos interesa es que Df = 3^k,
> pues dividimos por 2
>
> f = (1/2)3^k
>
> Df = 3^k
>
>
>
>
>
>
>
> --
>
> Antonio

yoli escribió:
> MuchÃ***simas gracias Antonio, pero ¿de dónde deduces que h = 1?.
>

De las funciones que te dan f(k) = k^2, por ejemplo. En esta función k
es ya directamente el Ã***ndice, de acuerdo con tu propia notación. No te
dan una f(x).

Podemos hacer el análisis con diferencias no unitarias, pero no añade
nada nuevo y lo que hace es enredar la notación. Supongamos que tenemos

f(x) = x^2

y queremos hallar las diferencias finitas con un incremento de h. Entonces

Df = f((k+1)h + x0) - f(kh + x0)

fÃ***jate que la k va con el h, no con el x; eso lo tienes mal, amenos que
quieras decir x(k)

Df = f(x(k) + h) - f(x(k))

Sustituyendo

Df = (x(k)+h)^2 - x(k)^2 = 2h x(k) + h^2

que es completamente análogo a lo de k^2, salvo que aparece una h en el
término 2k y una h^2 en el término independiente.

--

Antonio

yoli escribió:
> MuchÃ***simas gracias Antonio, pero ¿de dónde deduces que h = 1?.
>

De las funciones que te dan f(k) = k^2, por ejemplo. En esta función k
es ya directamente el Ã***ndice, de acuerdo con tu propia notación. No te
dan una f(x).

Podemos hacer el análisis con diferencias no unitarias, pero no añade
nada nuevo y lo que hace es enredar la notación. Supongamos que tenemos

f(x) = x^2

y queremos hallar las diferencias finitas con un incremento de h. Entonces

Df = f((k+1)h + x0) - f(kh + x0)

fÃ***jate que la k va con el h, no con el x; eso lo tienes mal, amenos que
quieras decir x(k)

Df = f(x(k) + h) - f(x(k))

Sustituyendo

Df = (x(k)+h)^2 - x(k)^2 = 2h x(k) + h^2

que es completamente análogo a lo de k^2, salvo que aparece una h en el
término 2k y una h^2 en el término independiente.

--

Antonio

Buenas tardes.

Me piden hallar D^4fk si fk = k^4.

Por lo tanto:

Dfk = fk+1 - fk = (k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1

D^2fk = 4(k+1)^3 + 6(k+1)^2 + 4(k+1) + 1 - 4k^3 - 6k^2 - 4k - 1 = 12k^2 +
24k + 14

D^3fk = 12(k+1)^2 + 24(k+1) + 14 - 12k^2 - 24k - 14 = 24k + 36

D^4fk = 24(k+1) +36 - 24k -36 = 24, que sería la solución, si los cálculos
son correctos.

Los cálculos son un poco tediosos pero nada complicados. Si es correcto, ¿es
el mejor procedimiento para hacerlo?.

Muchas gracias.

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6cvdk2F2k5aU1***mid.individual.net...
> yoli escribió:
> > Muchísimas gracias Antonio, pero ¿de dónde deduces que h = 1?.
> >
>
> De las funciones que te dan f(k) = k^2, por ejemplo. En esta función k
> es ya directamente el índice, de acuerdo con tu propia notación. No te
> dan una f(x).
>
> Podemos hacer el análisis con diferencias no unitarias, pero no añade
> nada nuevo y lo que hace es enredar la notación. Supongamos que tenemos
>
> f(x) = x^2
>
> y queremos hallar las diferencias finitas con un incremento de h. Entonces
>
> Df = f((k+1)h + x0) - f(kh + x0)
>
> fíjate que la k va con el h, no con el x; eso lo tienes mal, amenos que
> quieras decir x(k)
>
> Df = f(x(k) + h) - f(x(k))
>
> Sustituyendo
>
> Df = (x(k)+h)^2 - x(k)^2 = 2h x(k) + h^2
>
> que es completamente análogo a lo de k^2, salvo que aparece una h en el
> término 2k y una h^2 en el término independiente.
>
> --
>
> Antonio

Buenas tardes.

Me piden hallar D^4fk si fk = k^4.

Por lo tanto:

Dfk = fk+1 - fk = (k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1

D^2fk = 4(k+1)^3 + 6(k+1)^2 + 4(k+1) + 1 - 4k^3 - 6k^2 - 4k - 1 = 12k^2 +
24k + 14

D^3fk = 12(k+1)^2 + 24(k+1) + 14 - 12k^2 - 24k - 14 = 24k + 36

D^4fk = 24(k+1) +36 - 24k -36 = 24, que sería la solución, si los cálculos
son correctos.

Los cálculos son un poco tediosos pero nada complicados. Si es correcto, ¿es
el mejor procedimiento para hacerlo?.

Muchas gracias.

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> escribió en el mensaje
news:6cvdk2F2k5aU1***mid.individual.net...
> yoli escribió:
> > Muchísimas gracias Antonio, pero ¿de dónde deduces que h = 1?.
> >
>
> De las funciones que te dan f(k) = k^2, por ejemplo. En esta función k
> es ya directamente el índice, de acuerdo con tu propia notación. No te
> dan una f(x).
>
> Podemos hacer el análisis con diferencias no unitarias, pero no añade
> nada nuevo y lo que hace es enredar la notación. Supongamos que tenemos
>
> f(x) = x^2
>
> y queremos hallar las diferencias finitas con un incremento de h. Entonces
>
> Df = f((k+1)h + x0) - f(kh + x0)
>
> fíjate que la k va con el h, no con el x; eso lo tienes mal, amenos que
> quieras decir x(k)
>
> Df = f(x(k) + h) - f(x(k))
>
> Sustituyendo
>
> Df = (x(k)+h)^2 - x(k)^2 = 2h x(k) + h^2
>
> que es completamente análogo a lo de k^2, salvo que aparece una h en el
> término 2k y una h^2 en el término independiente.
>
> --
>
> Antonio

yoli escribió:
> Buenas tardes.
>
> Me piden hallar D^4fk si fk = k^4.
>
> Por lo tanto:
>
> Dfk = fk+1 - fk = (k+1)^4 - k^4 = 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1
>
> D^2fk = 4(k+1)^3 + 6(k+1)^2 + 4(k+1) + 1 - 4k^3 - 6k^2 - 4k - 1 = 12k^2 +
> 24k + 14
>
> D^3fk = 12(k+1)^2 + 24(k+1) + 14 - 12k^2 - 24k - 14 = 24k + 36
>
> D^4fk = 24(k+1) +36 - 24k -36 = 24, que sería la solución, si los cálculos
> son correctos.
>
> Los cálculos son un poco tediosos pero nada complicados. Si es correcto, ¿es
> el mejor procedimiento para hacerlo?.
>

Es correcto, aunque se puede acortar si conoces la fórmula general

D^n(k^n) = n!

que es el truco que permite calcular el grado de una sucesión que
sabemos que es polinómica.

Sobre este tema de las diferencias finitas inicié yo por aquí una serie
de hilos que igual te interesan:

http://groups.google.com/group/es.ci...d49ff479e13ab3
http://groups.google.com/group/es.ci...d6175558ef8d0b
http://groups.google.com/group/es.ci...141346fc767ce6
http://groups.google.com/group/es.ci...9a689c52977a00

--

Antonio