Hallar

f(x) = sum_(n=0)^oo sech(nx)sech((n+1)x)

--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6d21l6Ff1ikU1***mid.individual.net...
> Hallar
>
> f(x) = sum_(n=0)^oo sech(nx)sech((n+1)x)
>
> --
>
> Antonio

El resultado es

f(x) = Csch(x) = 1/Sinh(x)

Prueba:

Tenemos que (sech(x) = 1/Cosh(x) = 2/(e^x+e^-x)

sech(nx)sech((n+1)x) = 4/(e^nx+e^-nx)/(e^x(n+1)+e^-x(n+1)) = 4
e^x/(e^2x-1)[1/(1+e^(2nx)) - 1/(1+e^(2(n+1)x) ]

Por tanto, si tomamos sólo M términos de la suma,

f(x,M)
= 4 e^x/(e^2x-1) Sum[ 1/(1+e^(2nx)) - 1/(1+e^(2(n+1)x) ,{n,0,M} ]
= 4 e^x/(e^2x-1) [ 1/2 - 1/(1+e^(2(M+1)x) ]

o sea que todos los términos salvo el primero y el úlimo se levantan,
de modo que

f(x) = Lim(M->oo,f(x,M)) = 4 e^x/(e^2x-1) [ 1/2 ] = 2 e^x/(e^2x-1) =
2 /(e^x-e^-x) = 1/Sinh(x)

QED.

Saludos
Wolfgang

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:6d21l6Ff1ikU1***mid.individual.net...
>> Hallar
>>
>> f(x) = sum_(n=0)^oo sech(nx)sech((n+1)x)
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> El resultado es
>
> f(x) = Csch(x) = 1/Sinh(x)
>
> Prueba:
>
> Tenemos que (sech(x) = 1/Cosh(x) = 2/(e^x+e^-x)
>
> sech(nx)sech((n+1)x) = 4/(e^nx+e^-nx)/(e^x(n+1)+e^-x(n+1)) = 4
> e^x/(e^2x-1)[1/(1+e^(2nx)) - 1/(1+e^(2(n+1)x) ]
>
> Por tanto, si tomamos sólo M términos de la suma,
>
> f(x,M)
> = 4 e^x/(e^2x-1) Sum[ 1/(1+e^(2nx)) - 1/(1+e^(2(n+1)x) ,{n,0,M} ]
> = 4 e^x/(e^2x-1) [ 1/2 - 1/(1+e^(2(M+1)x) ]
>
> o sea que todos los términos salvo el primero y el úlimo se levantan, de
> modo que
>
> f(x) = Lim(M->oo,f(x,M)) = 4 e^x/(e^2x-1) [ 1/2 ] = 2 e^x/(e^2x-1) = 2
> /(e^x-e^-x) = 1/Sinh(x)
>

Sin meter exponenciales, observamos que

senh(x) = senh((n+1)x-nx) = senh((n+1)x)cosh(nx)-senh(nx)cosh((n+1)x)

Por tanto

senh(x)f(x) = sum_(n=0)^oo
(senh((n+1)x)cosh(nx)-senh(nx)cosh((n+1)x))/(cosh(nx)cosh(n+1)x) =

= sum_(n=0)^oo (tanh((n+1)x) - tanh(nx))

que es telescópica

senh(x)f(x) = tanh(oo) - tanh(0) = 1

f(x) = 1/senh(x)

--

Antonio