"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6d458qFotdmU1***mid.individual.net...
> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>
>> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:6d3mb3Fm6lfU1***mid.individual.net...
>>> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>>> Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias independientes
>>>> e idénticamente distribuidas y sea Z = X1+X2+...+Xn.
>>>>
>>>> Calcular la distribución de Z y los primeros dos momentos para una
>>>> distribución exponencial (a>0)
>>>>
>>>> 1) unilateral con la densidad
>>>>
>>>> f1(x) dx = a Exp(-a x) dx x>=0
>>>>
>>>> 2) bilateral con la densidad
>>>>
>>>> f2(x) dx = a/2 Exp(-a |x|) dx -oo < x < +oo
>>>>
>>>
>>> De nuevo hay que usar la distribución de Cauchy, ¿no? (ahora vista
>>> "desde el otro lado")
>>>
>>> --
>>>
>>> Antonio
>>
>> Hmmm ... podrias tener razón en un sentido especÃ***fico ... depende de
>> la definción del "otro lado".
>>
>> Pero ... no, nada tiene que ver con la distribución de Cauchy.
>>
>
> Por supuesto que sÃ***, puesto que f2 es la transformada de Fourier de
> la distribución de Cauchy.
>
>> Observaciones/pistas:
>>
>> (1) es fácil y el resultado es bien conocido
>> (2) es más elaborado (al menos para mÃ***) y yo nunca he visto el
>> resultado antes
>
> Por ser las variables independientes con la misma distribución
>
> E(Z) = n E(X)
>
> V(Z) = n V(X)
>
> por lo que sólo tenemos que hallar la media y la varianza de la
> variable X.
>
> Podemos hacerlo directamente, pero también podemos hacerlo "más
> elegante", emplenado la función generatriz.
>
> Si M(n) es el enésimo momento de x
>
> M(n) = int x^n f(x) dx
>
> entonces la función generatriz exponencial de los momentos
>
> F(k) = sum_(n=0)^oo (ik)^n M(n)/n!
>
> es la transformada de Fourier de f(x)
>
> F(k) = int_(-oo)^oo f(x) exp(ikx)dx
>
> y si tomamos el logaritmo de esta función
>
> g(k) = log(F(k)) = sum_(n=1)^oo (ik)^n K(n)/n!
>
> donde los K(n) son los cumulantes de la distribución. En particular
>
> K(1) = M(1) = E(X)
>
> K(2) = M(2) - M(1)^2 = V(x)
>
> Por tanto, hallamos la t. de F. de la primera función
>
> F1(k) = a int_0^oo e^(ikx-ka) dx = a/(a-ik) = 1/(1-ik/a)
>
> y
>
> g1(k) = -log(1-ik/a) = ik/a - k^2/(2a^2) + O(k)^3
>
> por tanto
>
> E(X) = 1/a V(X) = 1/a^2
>
> E(Z) = n/a V(Z) = n/a^2
>
> Para la segunda distribución
>
> F2(k) = (a/2)int_0^oo exp(i k x-a|x|) dx =
>
> = (a/2)(1/(a-ik) + 1/(a+ik)) = a^2/(a^2+k^2)
>
> que es la distribución de Cauchy, esto es, para una distribución
> exponencial simétrica en el espacio real, se tiene una de Cuachy en
> el de Fourier y viceversa. Puede comprobarse que verifican el
> principio de incertidumbre.
>
> Hallando ahora la f.g.e. de los cumulantes
>
> g2(k) = -log(1+k^2/a^2) = -k^2/a^2 + O(a)^4
>
> y por tanto
>
> M(X) = 0 V(x) = 2/a^2
>
> M(Z) = 0 V(z) = 2n/a^2
>
>
> --
>
> Antonio

Bueno, lo de la distrubución de Cachy es correcto.

Y ahora: ¿ qué son las distribuciones mismas ?

PD: he descubierto unos errores en Mathematica relacionado con las
funciones (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w t).

Saludos,
Wolfgang

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
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> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>
>> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:6d3mb3Fm6lfU1***mid.individual.net...
>>> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>>> Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias independientes
>>>> e idénticamente distribuidas y sea Z = X1+X2+...+Xn.
>>>>
>>>> Calcular la distribución de Z y los primeros dos momentos para una
>>>> distribución exponencial (a>0)
>>>>
>>>> 1) unilateral con la densidad
>>>>
>>>> f1(x) dx = a Exp(-a x) dx x>=0
>>>>
>>>> 2) bilateral con la densidad
>>>>
>>>> f2(x) dx = a/2 Exp(-a |x|) dx -oo < x < +oo
>>>>
>>>
>>> De nuevo hay que usar la distribución de Cauchy, ¿no? (ahora vista
>>> "desde el otro lado")
>>>
>>> --
>>>
>>> Antonio
>>
>> Hmmm ... podrias tener razón en un sentido especÃ***fico ... depende de
>> la definción del "otro lado".
>>
>> Pero ... no, nada tiene que ver con la distribución de Cauchy.
>>
>
> Por supuesto que sÃ***, puesto que f2 es la transformada de Fourier de
> la distribución de Cauchy.
>
>> Observaciones/pistas:
>>
>> (1) es fácil y el resultado es bien conocido
>> (2) es más elaborado (al menos para mÃ***) y yo nunca he visto el
>> resultado antes
>
> Por ser las variables independientes con la misma distribución
>
> E(Z) = n E(X)
>
> V(Z) = n V(X)
>
> por lo que sólo tenemos que hallar la media y la varianza de la
> variable X.
>
> Podemos hacerlo directamente, pero también podemos hacerlo "más
> elegante", emplenado la función generatriz.
>
> Si M(n) es el enésimo momento de x
>
> M(n) = int x^n f(x) dx
>
> entonces la función generatriz exponencial de los momentos
>
> F(k) = sum_(n=0)^oo (ik)^n M(n)/n!
>
> es la transformada de Fourier de f(x)
>
> F(k) = int_(-oo)^oo f(x) exp(ikx)dx
>
> y si tomamos el logaritmo de esta función
>
> g(k) = log(F(k)) = sum_(n=1)^oo (ik)^n K(n)/n!
>
> donde los K(n) son los cumulantes de la distribución. En particular
>
> K(1) = M(1) = E(X)
>
> K(2) = M(2) - M(1)^2 = V(x)
>
> Por tanto, hallamos la t. de F. de la primera función
>
> F1(k) = a int_0^oo e^(ikx-ka) dx = a/(a-ik) = 1/(1-ik/a)
>
> y
>
> g1(k) = -log(1-ik/a) = ik/a - k^2/(2a^2) + O(k)^3
>
> por tanto
>
> E(X) = 1/a V(X) = 1/a^2
>
> E(Z) = n/a V(Z) = n/a^2
>
> Para la segunda distribución
>
> F2(k) = (a/2)int_0^oo exp(i k x-a|x|) dx =
>
> = (a/2)(1/(a-ik) + 1/(a+ik)) = a^2/(a^2+k^2)
>
> que es la distribución de Cauchy, esto es, para una distribución
> exponencial simétrica en el espacio real, se tiene una de Cuachy en
> el de Fourier y viceversa. Puede comprobarse que verifican el
> principio de incertidumbre.
>
> Hallando ahora la f.g.e. de los cumulantes
>
> g2(k) = -log(1+k^2/a^2) = -k^2/a^2 + O(a)^4
>
> y por tanto
>
> M(X) = 0 V(x) = 2/a^2
>
> M(Z) = 0 V(z) = 2n/a^2
>
>
> --
>
> Antonio

Bueno, lo de la distrubución de Cachy es correcto.

Y ahora: ¿ qué son las distribuciones mismas ?

PD: he descubierto unos errores en Mathematica relacionado con las
funciones (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w t).

Saludos,
Wolfgang

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6d458qFotdmU1***mid.individual.net...
> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>
>> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:6d3mb3Fm6lfU1***mid.individual.net...
>>> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>>> Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias independientes
>>>> e idénticamente distribuidas y sea Z = X1+X2+...+Xn.
>>>>
>>>> Calcular la distribución de Z y los primeros dos momentos para una
>>>> distribución exponencial (a>0)
>>>>
>>>> 1) unilateral con la densidad
>>>>
>>>> f1(x) dx = a Exp(-a x) dx x>=0
>>>>
>>>> 2) bilateral con la densidad
>>>>
>>>> f2(x) dx = a/2 Exp(-a |x|) dx -oo < x < +oo
>>>>
>>>
>>> De nuevo hay que usar la distribución de Cauchy, ¿no? (ahora vista
>>> "desde el otro lado")
>>>
>>> --
>>>
>>> Antonio
>>
>> Hmmm ... podrias tener razón en un sentido especÃ***fico ... depende de
>> la definción del "otro lado".
>>
>> Pero ... no, nada tiene que ver con la distribución de Cauchy.
>>
>
> Por supuesto que sÃ***, puesto que f2 es la transformada de Fourier de
> la distribución de Cauchy.
>
>> Observaciones/pistas:
>>
>> (1) es fácil y el resultado es bien conocido
>> (2) es más elaborado (al menos para mÃ***) y yo nunca he visto el
>> resultado antes
>
> Por ser las variables independientes con la misma distribución
>
> E(Z) = n E(X)
>
> V(Z) = n V(X)
>
> por lo que sólo tenemos que hallar la media y la varianza de la
> variable X.
>
> Podemos hacerlo directamente, pero también podemos hacerlo "más
> elegante", emplenado la función generatriz.
>
> Si M(n) es el enésimo momento de x
>
> M(n) = int x^n f(x) dx
>
> entonces la función generatriz exponencial de los momentos
>
> F(k) = sum_(n=0)^oo (ik)^n M(n)/n!
>
> es la transformada de Fourier de f(x)
>
> F(k) = int_(-oo)^oo f(x) exp(ikx)dx
>
> y si tomamos el logaritmo de esta función
>
> g(k) = log(F(k)) = sum_(n=1)^oo (ik)^n K(n)/n!
>
> donde los K(n) son los cumulantes de la distribución. En particular
>
> K(1) = M(1) = E(X)
>
> K(2) = M(2) - M(1)^2 = V(x)
>
> Por tanto, hallamos la t. de F. de la primera función
>
> F1(k) = a int_0^oo e^(ikx-ka) dx = a/(a-ik) = 1/(1-ik/a)
>
> y
>
> g1(k) = -log(1-ik/a) = ik/a - k^2/(2a^2) + O(k)^3
>
> por tanto
>
> E(X) = 1/a V(X) = 1/a^2
>
> E(Z) = n/a V(Z) = n/a^2
>
> Para la segunda distribución
>
> F2(k) = (a/2)int_0^oo exp(i k x-a|x|) dx =
>
> = (a/2)(1/(a-ik) + 1/(a+ik)) = a^2/(a^2+k^2)
>
> que es la distribución de Cauchy, esto es, para una distribución
> exponencial simétrica en el espacio real, se tiene una de Cuachy en
> el de Fourier y viceversa. Puede comprobarse que verifican el
> principio de incertidumbre.
>
> Hallando ahora la f.g.e. de los cumulantes
>
> g2(k) = -log(1+k^2/a^2) = -k^2/a^2 + O(a)^4
>
> y por tanto
>
> M(X) = 0 V(x) = 2/a^2
>
> M(Z) = 0 V(z) = 2n/a^2
>
>
> --
>
> Antonio

Bueno, lo de la distrubución de Cachy es correcto.

Y ahora: ¿ qué son las distribuciones mismas ?

PD: he descubierto unos errores en Mathematica relacionado con las
funciones (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w t).

Saludos,
Wolfgang

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> Bueno, lo de la distrubución de Cachy es correcto.
>
> Y ahora: ¿ qué son las distribuciones mismas ?
>
Bueno, para dos variables independientes se tiene que la función
generatriz de momentos es multiplicativa (y la de cumulantes aditiva),
de forma que habrÃ***a que hallar la transformada de Fourier inversa del
producto. En el primer caso

f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1-ik/a)^n dx

y en el segundo

f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1+k^2/a^2)^n dx

Que debe salir sin demasiados problemas por cálculo de residuos. Luego
lo hago.

> PD: he descubierto unos errores en Mathematica relacionado con las
> funciones (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w t).

¿Cuáles?

--

Antonio

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> Bueno, lo de la distrubución de Cachy es correcto.
>
> Y ahora: ¿ qué son las distribuciones mismas ?
>
Bueno, para dos variables independientes se tiene que la función
generatriz de momentos es multiplicativa (y la de cumulantes aditiva),
de forma que habrÃ***a que hallar la transformada de Fourier inversa del
producto. En el primer caso

f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1-ik/a)^n dx

y en el segundo

f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1+k^2/a^2)^n dx

Que debe salir sin demasiados problemas por cálculo de residuos. Luego
lo hago.

> PD: he descubierto unos errores en Mathematica relacionado con las
> funciones (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w t).

¿Cuáles?

--

Antonio

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> Bueno, lo de la distrubución de Cachy es correcto.
>
> Y ahora: ¿ qué son las distribuciones mismas ?
>
Bueno, para dos variables independientes se tiene que la función
generatriz de momentos es multiplicativa (y la de cumulantes aditiva),
de forma que habrÃ***a que hallar la transformada de Fourier inversa del
producto. En el primer caso

f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1-ik/a)^n dx

y en el segundo

f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1+k^2/a^2)^n dx

Que debe salir sin demasiados problemas por cálculo de residuos. Luego
lo hago.

> PD: he descubierto unos errores en Mathematica relacionado con las
> funciones (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w t).

¿Cuáles?

--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
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> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>
>> Bueno, lo de la distrubución de Cachy es correcto.
>>
>> Y ahora: ¿ qué son las distribuciones mismas ?
>>
> Bueno, para dos variables independientes se tiene que la función
> generatriz de momentos es multiplicativa (y la de cumulantes
> aditiva), de forma que habrÃ***a que hallar la transformada de Fourier
> inversa del producto. En el primer caso
>
> f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1-ik/a)^n dx
>
> y en el segundo
>
> f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1+k^2/a^2)^n dx
>
> Que debe salir sin demasiados problemas por cálculo de residuos.
> Luego lo hago.
>
>> PD: he descubierto unos errores en Mathematica relacionado con las
>> funciones (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w
>> t).
>
> ¿Cuáles?
>
> --
>
> Antonio

1) Error en la función DiracDelta:
Ver
Newsgroups: comp.soft-sys.math.mathematica
Sent: Thursday, June 19, 2008 11:42 AM
Subject: Bug in multiple integrals with delta function
Este error lo reconoció Daniel Lichtblau de Wolfram.

2) Error en (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w
t).
Aparecen en

f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1+k^2/a^2)^n dx

en la versión antigua 5.0 si n>=6.

Pero hay otro error que voy a describir después de tú habrás calculado
la distribución (2) porque no quiero estropear la diversión.

Saludos,
Wolfgang

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6d4c4qFoivgU1***mid.individual.net...
> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>
>> Bueno, lo de la distrubución de Cachy es correcto.
>>
>> Y ahora: ¿ qué son las distribuciones mismas ?
>>
> Bueno, para dos variables independientes se tiene que la función
> generatriz de momentos es multiplicativa (y la de cumulantes
> aditiva), de forma que habrÃ***a que hallar la transformada de Fourier
> inversa del producto. En el primer caso
>
> f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1-ik/a)^n dx
>
> y en el segundo
>
> f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1+k^2/a^2)^n dx
>
> Que debe salir sin demasiados problemas por cálculo de residuos.
> Luego lo hago.
>
>> PD: he descubierto unos errores en Mathematica relacionado con las
>> funciones (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w
>> t).
>
> ¿Cuáles?
>
> --
>
> Antonio

1) Error en la función DiracDelta:
Ver
Newsgroups: comp.soft-sys.math.mathematica
Sent: Thursday, June 19, 2008 11:42 AM
Subject: Bug in multiple integrals with delta function
Este error lo reconoció Daniel Lichtblau de Wolfram.

2) Error en (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w
t).
Aparecen en

f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1+k^2/a^2)^n dx

en la versión antigua 5.0 si n>=6.

Pero hay otro error que voy a describir después de tú habrás calculado
la distribución (2) porque no quiero estropear la diversión.

Saludos,
Wolfgang

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6d4c4qFoivgU1***mid.individual.net...
> Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>>
>> Bueno, lo de la distrubución de Cachy es correcto.
>>
>> Y ahora: ¿ qué son las distribuciones mismas ?
>>
> Bueno, para dos variables independientes se tiene que la función
> generatriz de momentos es multiplicativa (y la de cumulantes
> aditiva), de forma que habrÃ***a que hallar la transformada de Fourier
> inversa del producto. En el primer caso
>
> f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1-ik/a)^n dx
>
> y en el segundo
>
> f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1+k^2/a^2)^n dx
>
> Que debe salir sin demasiados problemas por cálculo de residuos.
> Luego lo hago.
>
>> PD: he descubierto unos errores en Mathematica relacionado con las
>> funciones (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w
>> t).
>
> ¿Cuáles?
>
> --
>
> Antonio

1) Error en la función DiracDelta:
Ver
Newsgroups: comp.soft-sys.math.mathematica
Sent: Thursday, June 19, 2008 11:42 AM
Subject: Bug in multiple integrals with delta function
Este error lo reconoció Daniel Lichtblau de Wolfram.

2) Error en (Inverse)FourierTransform y con la integral sobre Exp(i w
t).
Aparecen en

f(z) = 1/(2pi) int_(-oo)^oo exp(-ikx)/(1+k^2/a^2)^n dx

en la versión antigua 5.0 si n>=6.

Pero hay otro error que voy a describir después de tú habrás calculado
la distribución (2) porque no quiero estropear la diversión.

Saludos,
Wolfgang

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
> Sean X1, X2, ..., Xn variables aleatorias independientes
> e idénticamente distribuidas y sea Z = X1+X2+...+Xn.
>
> Calcular la distribución de Z y los primeros dos momentos para una
> distribución exponencial (a>0)
>
> 1) unilateral con la densidad
>
> f1(x) dx = a Exp(-a x) dx x>=0
>

Veámoslo por inducción, a base de convoluciones sucesivas.

Tenemos que

f(x) = H(x) exp(-x)

donde, sin pérdida de generalidad he hecho a=1 (o redefinido x como ax)
y H(x) es la función escalón de Heaviside. Para las distintas z's (con
una, dos, tres,... X's) tenemos que

f(n,z) = int_(-oo)^oo f(n-1,y)f(1,z-y)dy

Para n = 1 obviamente

f(1,z) = f(x) = H(x) exp(-x)

Para n = 2

f(2,z) = int_(-oo)^oo H(y)H(z-y) exp(-y-z+y) dy =

= exp(-z) int_(-oo)^oo H(y)H(z-y)dy

para z negativo esta integral es nula, y para z positivo

f(2,z) = exp(-z) int_0^z dy = H(z)z exp(-z)

Para n = 3, saltándome pasos análogos

f(3,z) = H(z) exp(-z) int_0^z y dy = H(z)(z^2/2) exp(-z)

Por inducción se demuestra que

f(n,z) = H(z) z^(n-1)/(n-1)! exp(-z)


> 2) bilateral con la densidad
>
> f2(x) dx = a/2 Exp(-a |x|) dx -oo < x < +oo
>

Para más tarde.

--

Antonio