Hola.

Hallar y = f(x) como solucion de D^3y0 = 1 para todos los enteros de x con
y0 = Dy0 = D^2y0.

La forma que se me ocurre es construir la tabla de diferencias finitas a
partir de los valores que me dan (la "fila" de arriba) y luego construir el
polinomio interpolador, es decir:

D^3f0 = D^2f1 - D^2f0, entonces D^2f1 = 1
D^2f0 = Df1 - Df0, entonces Df1 = 0
Df0 = f1 - f0 , entonces f1 = 0
D^2f1 = Df2 - Df1, por lo que Df2 = 1
Df1 = f2 - f1, por lo que f2 = 0
Df2 = f3 - f2, entonces f3 = 1

Con la tabla completa, construimos el polinomio con la fórmula
correspondiente y tenemos la solución. ¿Es correcto?.

Cuando son polinomios no es muy difícil.

Si me piden yk tal que Dyk = 1 / ( (k+1)(k+2) ), ¿cómo se procede?.

Gracias.

yoli escribió:
> Hola.
>
> Hallar y = f(x) como solucion de D^3y0 = 1 para todos los enteros de x con
> y0 = Dy0 = D^2y0.
>
> La forma que se me ocurre es construir la tabla de diferencias finitas a
> partir de los valores que me dan (la "fila" de arriba) y luego construir el
> polinomio interpolador, es decir:
>
> D^3f0 = D^2f1 - D^2f0, entonces D^2f1 = 1
> D^2f0 = Df1 - Df0, entonces Df1 = 0
> Df0 = f1 - f0 , entonces f1 = 0
> D^2f1 = Df2 - Df1, por lo que Df2 = 1
> Df1 = f2 - f1, por lo que f2 = 0
> Df2 = f3 - f2, entonces f3 = 1
>
> Con la tabla completa, construimos el polinomio con la fórmula
> correspondiente y tenemos la solución. ¿Es correcto?.
>
> Cuando son polinomios no es muy difícil.
>
> Si me piden yk tal que Dyk = 1 / ( (k+1)(k+2) ), ¿cómo se procede?.
>

Fíjate que la operación inversa de la diferencia finita es el sumatorio.

Por ejemplo, si

Dy(k) = f(k)

quiere decir que

y(k+1) - y(k) = f(k)

y(k+1) = y(k) + f(k)

y sustituyendo reiteradamente tenemos

y(k) = f(k-1) + y(k-1) = f(k-1) + f(k-2) + y(k-2) =

= f(k-1) + f(k-2) + ... + f(0) + y(0)

esto es

y(k) = y(0) + sum_(i=0)^(k-1) f(i)

(esto es análogo a que la integral -una suma- es la operación inversa de
la derivada).

En tu caso sería

y(k) = sum_(i=0)^(k-1) 1/((i+1)(i+2))

pero observemos que

1/((i+2)(i+1)) = 1/(i+1) - 1/(i+2)

por lo que tenemos lo que se llama una serie telescópica

y(k) = y(0) + (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) +

+ ... + (1/k - 1/(k+1))

se nos van todos los términos, menos el primero y el último y queda

y(k) = y(0) + 1 - 1/(k+1) = y(0) + k/(k+1)

con y(0) una "constante de integración" arbitraria.

En los hilos que te indiqué en el otro mensaje propuse bastantes
problemas de este tipo.

--

Antonio

yoli escribió:
> Hola.
>
> Hallar y = f(x) como solucion de D^3y0 = 1 para todos los enteros de x con
> y0 = Dy0 = D^2y0.
>
> La forma que se me ocurre es construir la tabla de diferencias finitas a
> partir de los valores que me dan (la "fila" de arriba) y luego construir el
> polinomio interpolador, es decir:
>
> D^3f0 = D^2f1 - D^2f0, entonces D^2f1 = 1
> D^2f0 = Df1 - Df0, entonces Df1 = 0
> Df0 = f1 - f0 , entonces f1 = 0
> D^2f1 = Df2 - Df1, por lo que Df2 = 1
> Df1 = f2 - f1, por lo que f2 = 0
> Df2 = f3 - f2, entonces f3 = 1
>
> Con la tabla completa, construimos el polinomio con la fórmula
> correspondiente y tenemos la solución. ¿Es correcto?.
>
> Cuando son polinomios no es muy difícil.
>
> Si me piden yk tal que Dyk = 1 / ( (k+1)(k+2) ), ¿cómo se procede?.
>

Fíjate que la operación inversa de la diferencia finita es el sumatorio.

Por ejemplo, si

Dy(k) = f(k)

quiere decir que

y(k+1) - y(k) = f(k)

y(k+1) = y(k) + f(k)

y sustituyendo reiteradamente tenemos

y(k) = f(k-1) + y(k-1) = f(k-1) + f(k-2) + y(k-2) =

= f(k-1) + f(k-2) + ... + f(0) + y(0)

esto es

y(k) = y(0) + sum_(i=0)^(k-1) f(i)

(esto es análogo a que la integral -una suma- es la operación inversa de
la derivada).

En tu caso sería

y(k) = sum_(i=0)^(k-1) 1/((i+1)(i+2))

pero observemos que

1/((i+2)(i+1)) = 1/(i+1) - 1/(i+2)

por lo que tenemos lo que se llama una serie telescópica

y(k) = y(0) + (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) +

+ ... + (1/k - 1/(k+1))

se nos van todos los términos, menos el primero y el último y queda

y(k) = y(0) + 1 - 1/(k+1) = y(0) + k/(k+1)

con y(0) una "constante de integración" arbitraria.

En los hilos que te indiqué en el otro mensaje propuse bastantes
problemas de este tipo.

--

Antonio

yoli escribió:
> Hola.
>
> Hallar y = f(x) como solucion de D^3y0 = 1 para todos los enteros de x con
> y0 = Dy0 = D^2y0.
>
> La forma que se me ocurre es construir la tabla de diferencias finitas a
> partir de los valores que me dan (la "fila" de arriba) y luego construir el
> polinomio interpolador, es decir:
>
> D^3f0 = D^2f1 - D^2f0, entonces D^2f1 = 1
> D^2f0 = Df1 - Df0, entonces Df1 = 0
> Df0 = f1 - f0 , entonces f1 = 0
> D^2f1 = Df2 - Df1, por lo que Df2 = 1
> Df1 = f2 - f1, por lo que f2 = 0
> Df2 = f3 - f2, entonces f3 = 1
>
> Con la tabla completa, construimos el polinomio con la fórmula
> correspondiente y tenemos la solución. ¿Es correcto?.
>
> Cuando son polinomios no es muy difícil.
>
> Si me piden yk tal que Dyk = 1 / ( (k+1)(k+2) ), ¿cómo se procede?.
>

Fíjate que la operación inversa de la diferencia finita es el sumatorio.

Por ejemplo, si

Dy(k) = f(k)

quiere decir que

y(k+1) - y(k) = f(k)

y(k+1) = y(k) + f(k)

y sustituyendo reiteradamente tenemos

y(k) = f(k-1) + y(k-1) = f(k-1) + f(k-2) + y(k-2) =

= f(k-1) + f(k-2) + ... + f(0) + y(0)

esto es

y(k) = y(0) + sum_(i=0)^(k-1) f(i)

(esto es análogo a que la integral -una suma- es la operación inversa de
la derivada).

En tu caso sería

y(k) = sum_(i=0)^(k-1) 1/((i+1)(i+2))

pero observemos que

1/((i+2)(i+1)) = 1/(i+1) - 1/(i+2)

por lo que tenemos lo que se llama una serie telescópica

y(k) = y(0) + (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) +

+ ... + (1/k - 1/(k+1))

se nos van todos los términos, menos el primero y el último y queda

y(k) = y(0) + 1 - 1/(k+1) = y(0) + k/(k+1)

con y(0) una "constante de integración" arbitraria.

En los hilos que te indiqué en el otro mensaje propuse bastantes
problemas de este tipo.

--

Antonio