Dotamos a la recta real de la topología generada por los intervalos de
la forma [a,b). El espacio topológico S así definido se llama recta de
Sorgenfrey. Es fácil probar que este espacio es normal.
Sin embargo el espacio X=SxS no es normal. El el ejercicio que aparece
en la página 200 del libro "Topology" de J. Munkres se sugiere una
prueba constructiva que demuestra la existencia de dos conjuntos
cerrados de X que no se pueden separar con abiertos U,V, en las
condiciones que exige la propiedad de ser normal.

El ejercicio considera un abierto V de X que contenga a los puntos (x,-
x) con x irracional, y define K_n={x irracional: 0<x<1, [x,x+1/n) x [-
x, -x+1/n) contenido en V}. El apartado a) pide probar que [0,1] es la
unión de los K_n y un conjunto numerable de puntos. Es fácil ver que
en efecto la unión de los K_n es exactamente el conjunto de los
irracionales de [0,1].

El apartado b) pide probar que existe un n natural tal que el interior
de la adherencia de K_n es no vacío. Para ello sugiere usar el teorema
de categoría de Baire para espacios compactos. El problema es que, si
bien es evidente que cl(union K_n)=[0,1], no sabemos nada acerca de
union(cl(K_n)), que en general es más pequeño para uniones infinitas,
lo cual hace imposible aplicar directamente el teorema de Baire.
¿Alguna sugerencia?

Sea {a_n: n=1..infinito} una sucesión cuyo rango sea el conjunto de
los recionales del intervalo [0,1]. Sea K'_n=cl(K_n) u {a_n}, para
cada n natural. Cada K'_n es cerrado y su unión es [0,1]; si todos
tuvieran interior vacío, estaríamos ahora en condiciones de aplicar el
teorema de Baire.

Sea {a_n: n=1..infinito} una sucesión cuyo rango sea el conjunto de
los recionales del intervalo [0,1]. Sea K'_n=cl(K_n) u {a_n}, para
cada n natural. Cada K'_n es cerrado y su unión es [0,1]; si todos
tuvieran interior vacío, estaríamos ahora en condiciones de aplicar el
teorema de Baire.

Sea {a_n: n=1..infinito} una sucesión cuyo rango sea el conjunto de
los recionales del intervalo [0,1]. Sea K'_n=cl(K_n) u {a_n}, para
cada n natural. Cada K'_n es cerrado y su unión es [0,1]; si todos
tuvieran interior vacío, estaríamos ahora en condiciones de aplicar el
teorema de Baire.