En el segmento de recta BCE colocamos dos triángulos equiláteros ABC y
CDE ambos al mismo lado del segmento.
Convengamos en que BD interseca a AC en K y AE interseca a DC en
L.Demostrar que el segmento KL es paralelo al segmento BCE.

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> En el segmento de recta BCE colocamos dos triángulos equiláteros ABC y
> CDE ambos al mismo lado del segmento.
> Convengamos en que BD interseca a AC en K y AE interseca a DC en
> L.Demostrar que el segmento KL es paralelo al segmento BCE.

Una demostración que seguro que te gusta ;-)

Vámonos de excursión al plano complejo.

Sea C el origen del plano complejo y w la raíz sexta de la unidad.
Tenemos que

C = 0 E = x D = xw B = -y A = yw^2

Calculemos la posición de L. La recta AE es

L = x + t(yw^2 - x)

y la BD

L = sw

Igualando y multiplicando por w*

s = xw* + tyw - txw*

Conjugamos

s = xw + tyw* - txw

Restamos estas dos

0 = (x - ty - tx)(w*-w)

de donde

t = x/(x+y)

L = xyw/(x+y)

Esta función es simétrica en x e y. A la hora de hallar el punto K nos
va a salir una expresión idéntica, sin más que cambiar w por su
simétrico respecto al eje imaginario, esto es

K = xyw^2/(x+y)

pero w y w^2 tienen la misma parte imaginaria, por lo que

Im(K) = Im(L)

y la recta que los une es paralela al eje real BCE.


--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> En el segmento de recta BCE colocamos dos triángulos equiláteros ABC y
> CDE ambos al mismo lado del segmento.
> Convengamos en que BD interseca a AC en K y AE interseca a DC en
> L.Demostrar que el segmento KL es paralelo al segmento BCE.

Una demostración que seguro que te gusta ;-)

Vámonos de excursión al plano complejo.

Sea C el origen del plano complejo y w la raíz sexta de la unidad.
Tenemos que

C = 0 E = x D = xw B = -y A = yw^2

Calculemos la posición de L. La recta AE es

L = x + t(yw^2 - x)

y la BD

L = sw

Igualando y multiplicando por w*

s = xw* + tyw - txw*

Conjugamos

s = xw + tyw* - txw

Restamos estas dos

0 = (x - ty - tx)(w*-w)

de donde

t = x/(x+y)

L = xyw/(x+y)

Esta función es simétrica en x e y. A la hora de hallar el punto K nos
va a salir una expresión idéntica, sin más que cambiar w por su
simétrico respecto al eje imaginario, esto es

K = xyw^2/(x+y)

pero w y w^2 tienen la misma parte imaginaria, por lo que

Im(K) = Im(L)

y la recta que los une es paralela al eje real BCE.


--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> En el segmento de recta BCE colocamos dos triángulos equiláteros ABC y
> CDE ambos al mismo lado del segmento.
> Convengamos en que BD interseca a AC en K y AE interseca a DC en
> L.Demostrar que el segmento KL es paralelo al segmento BCE.

Una demostración que seguro que te gusta ;-)

Vámonos de excursión al plano complejo.

Sea C el origen del plano complejo y w la raíz sexta de la unidad.
Tenemos que

C = 0 E = x D = xw B = -y A = yw^2

Calculemos la posición de L. La recta AE es

L = x + t(yw^2 - x)

y la BD

L = sw

Igualando y multiplicando por w*

s = xw* + tyw - txw*

Conjugamos

s = xw + tyw* - txw

Restamos estas dos

0 = (x - ty - tx)(w*-w)

de donde

t = x/(x+y)

L = xyw/(x+y)

Esta función es simétrica en x e y. A la hora de hallar el punto K nos
va a salir una expresión idéntica, sin más que cambiar w por su
simétrico respecto al eje imaginario, esto es

K = xyw^2/(x+y)

pero w y w^2 tienen la misma parte imaginaria, por lo que

Im(K) = Im(L)

y la recta que los une es paralela al eje real BCE.


--

Antonio

>
> "Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> schrieb im Newsbeitrag
> news:529e856d-5d5e-46b4-a9d5-cda12be51a7f***m3g2000hsc.googlegroups.com...
> En el segmento de recta BCE colocamos dos triángulos equiláteros ABC
> y
> CDE ambos al mismo lado del segmento.
> Convengamos en que BD interseca a AC en K y AE interseca a DC en
> L.Demostrar que el segmento KL es paralelo al segmento BCE.
>
> Saludos.

No muy elegante pero ...

Escribimos todos los puntos significantes como

A = (BC/2,BC rq(3)/2)
B = (0,0)
C = (BC,0)
K = (BC-x',KK')
K' = (BC-x',0)
L = (BC+x, LL')
L' = (BC+x, 0)
D = (BC+CE/2, CE rq(3)/2)
E = (BC+CE,0)

Ahora son similares los triángulos

BK'K <-> BD'D
L'EL <-> A'EA

que significa que

(1a) rq(3) BC/2 / (CE + BC/2) = LL'/(CE - x)
(1b) rq(3) CE/2 / (BC + CE/2) = KK'/(BC - x')

Ahora LL'/x = KK'/x' = Tan(Pi/3) = rq(3) y desde (1) queda que

x = CE BC /( 2 CE + 2 BC)
x' = BC CE / (2 BC + 2 CE)

Por tanto x=x' y por tanto también LL' = KK' que se pidió demostrar.

Por cierto x es 2 por el medio harmónico de los dos segmentos BC y CE.

Saludos,
Wolfgang

>
> "Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> schrieb im Newsbeitrag
> news:529e856d-5d5e-46b4-a9d5-cda12be51a7f***m3g2000hsc.googlegroups.com...
> En el segmento de recta BCE colocamos dos triángulos equiláteros ABC
> y
> CDE ambos al mismo lado del segmento.
> Convengamos en que BD interseca a AC en K y AE interseca a DC en
> L.Demostrar que el segmento KL es paralelo al segmento BCE.
>
> Saludos.

No muy elegante pero ...

Escribimos todos los puntos significantes como

A = (BC/2,BC rq(3)/2)
B = (0,0)
C = (BC,0)
K = (BC-x',KK')
K' = (BC-x',0)
L = (BC+x, LL')
L' = (BC+x, 0)
D = (BC+CE/2, CE rq(3)/2)
E = (BC+CE,0)

Ahora son similares los triángulos

BK'K <-> BD'D
L'EL <-> A'EA

que significa que

(1a) rq(3) BC/2 / (CE + BC/2) = LL'/(CE - x)
(1b) rq(3) CE/2 / (BC + CE/2) = KK'/(BC - x')

Ahora LL'/x = KK'/x' = Tan(Pi/3) = rq(3) y desde (1) queda que

x = CE BC /( 2 CE + 2 BC)
x' = BC CE / (2 BC + 2 CE)

Por tanto x=x' y por tanto también LL' = KK' que se pidió demostrar.

Por cierto x es 2 por el medio harmónico de los dos segmentos BC y CE.

Saludos,
Wolfgang

>
> "Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> schrieb im Newsbeitrag
> news:529e856d-5d5e-46b4-a9d5-cda12be51a7f***m3g2000hsc.googlegroups.com...
> En el segmento de recta BCE colocamos dos triángulos equiláteros ABC
> y
> CDE ambos al mismo lado del segmento.
> Convengamos en que BD interseca a AC en K y AE interseca a DC en
> L.Demostrar que el segmento KL es paralelo al segmento BCE.
>
> Saludos.

No muy elegante pero ...

Escribimos todos los puntos significantes como

A = (BC/2,BC rq(3)/2)
B = (0,0)
C = (BC,0)
K = (BC-x',KK')
K' = (BC-x',0)
L = (BC+x, LL')
L' = (BC+x, 0)
D = (BC+CE/2, CE rq(3)/2)
E = (BC+CE,0)

Ahora son similares los triángulos

BK'K <-> BD'D
L'EL <-> A'EA

que significa que

(1a) rq(3) BC/2 / (CE + BC/2) = LL'/(CE - x)
(1b) rq(3) CE/2 / (BC + CE/2) = KK'/(BC - x')

Ahora LL'/x = KK'/x' = Tan(Pi/3) = rq(3) y desde (1) queda que

x = CE BC /( 2 CE + 2 BC)
x' = BC CE / (2 BC + 2 CE)

Por tanto x=x' y por tanto también LL' = KK' que se pidió demostrar.

Por cierto x es 2 por el medio harmónico de los dos segmentos BC y CE.

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
news:6dhcqlF2inv7U1***mid.uni-berlin.de...
> >
>> "Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> schrieb im Newsbeitrag
>> news:529e856d-5d5e-46b4-a9d5-cda12be51a7f***m3g2000hsc.googlegroups.com...
>> En el segmento de recta BCE colocamos dos triángulos equiláteros ABC
>> y
>> CDE ambos al mismo lado del segmento.
>> Convengamos en que BD interseca a AC en K y AE interseca a DC en
>> L.Demostrar que el segmento KL es paralelo al segmento BCE.
>>
>> Saludos.
>
> No muy elegante pero ...
>
> Escribimos todos los puntos significantes como
>
> A = (BC/2,BC rq(3)/2)
> B = (0,0)
> C = (BC,0)
> K = (BC-x',KK')
> K' = (BC-x',0)
> L = (BC+x, LL')
> L' = (BC+x, 0)
> D = (BC+CE/2, CE rq(3)/2)
> E = (BC+CE,0)
>
> Ahora son similares los triángulos
>
> BK'K <-> BD'D
> L'EL <-> A'EA
>
> que significa que
>
> (1a) rq(3) BC/2 / (CE + BC/2) = LL'/(CE - x)
> (1b) rq(3) CE/2 / (BC + CE/2) = KK'/(BC - x')
>
> Ahora LL'/x = KK'/x' = Tan(Pi/3) = rq(3) y desde (1) queda que
>
> x = CE BC /( 2 CE + 2 BC)
> x' = BC CE / (2 BC + 2 CE)
>
> Por tanto x=x' y por tanto también LL' = KK' que se pidió demostrar.
>
> Por cierto x es 2 por el medio harmónico de los dos segmentos BC y
> CE.
>
> Saludos,
> Wolfgang
>
Corrección:

Por cierto x es el medio harmónico de los dos segmentos BC y CE.

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
news:6dhcqlF2inv7U1***mid.uni-berlin.de...
> >
>> "Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> schrieb im Newsbeitrag
>> news:529e856d-5d5e-46b4-a9d5-cda12be51a7f***m3g2000hsc.googlegroups.com...
>> En el segmento de recta BCE colocamos dos triángulos equiláteros ABC
>> y
>> CDE ambos al mismo lado del segmento.
>> Convengamos en que BD interseca a AC en K y AE interseca a DC en
>> L.Demostrar que el segmento KL es paralelo al segmento BCE.
>>
>> Saludos.
>
> No muy elegante pero ...
>
> Escribimos todos los puntos significantes como
>
> A = (BC/2,BC rq(3)/2)
> B = (0,0)
> C = (BC,0)
> K = (BC-x',KK')
> K' = (BC-x',0)
> L = (BC+x, LL')
> L' = (BC+x, 0)
> D = (BC+CE/2, CE rq(3)/2)
> E = (BC+CE,0)
>
> Ahora son similares los triángulos
>
> BK'K <-> BD'D
> L'EL <-> A'EA
>
> que significa que
>
> (1a) rq(3) BC/2 / (CE + BC/2) = LL'/(CE - x)
> (1b) rq(3) CE/2 / (BC + CE/2) = KK'/(BC - x')
>
> Ahora LL'/x = KK'/x' = Tan(Pi/3) = rq(3) y desde (1) queda que
>
> x = CE BC /( 2 CE + 2 BC)
> x' = BC CE / (2 BC + 2 CE)
>
> Por tanto x=x' y por tanto también LL' = KK' que se pidió demostrar.
>
> Por cierto x es 2 por el medio harmónico de los dos segmentos BC y
> CE.
>
> Saludos,
> Wolfgang
>
Corrección:

Por cierto x es el medio harmónico de los dos segmentos BC y CE.

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
news:6dhcqlF2inv7U1***mid.uni-berlin.de...
> >
>> "Javier Esquinas" <jesquinas***renfe.es> schrieb im Newsbeitrag
>> news:529e856d-5d5e-46b4-a9d5-cda12be51a7f***m3g2000hsc.googlegroups.com...
>> En el segmento de recta BCE colocamos dos triángulos equiláteros ABC
>> y
>> CDE ambos al mismo lado del segmento.
>> Convengamos en que BD interseca a AC en K y AE interseca a DC en
>> L.Demostrar que el segmento KL es paralelo al segmento BCE.
>>
>> Saludos.
>
> No muy elegante pero ...
>
> Escribimos todos los puntos significantes como
>
> A = (BC/2,BC rq(3)/2)
> B = (0,0)
> C = (BC,0)
> K = (BC-x',KK')
> K' = (BC-x',0)
> L = (BC+x, LL')
> L' = (BC+x, 0)
> D = (BC+CE/2, CE rq(3)/2)
> E = (BC+CE,0)
>
> Ahora son similares los triángulos
>
> BK'K <-> BD'D
> L'EL <-> A'EA
>
> que significa que
>
> (1a) rq(3) BC/2 / (CE + BC/2) = LL'/(CE - x)
> (1b) rq(3) CE/2 / (BC + CE/2) = KK'/(BC - x')
>
> Ahora LL'/x = KK'/x' = Tan(Pi/3) = rq(3) y desde (1) queda que
>
> x = CE BC /( 2 CE + 2 BC)
> x' = BC CE / (2 BC + 2 CE)
>
> Por tanto x=x' y por tanto también LL' = KK' que se pidió demostrar.
>
> Por cierto x es 2 por el medio harmónico de los dos segmentos BC y
> CE.
>
> Saludos,
> Wolfgang
>
Corrección:

Por cierto x es el medio harmónico de los dos segmentos BC y CE.

Saludos,
Wolfgang