Estoy leyendo ahora (y disfrutando) "The Book of Numbers" de Conway y
Guy, que contiene montones de pildoritas de teoría de números.

Una de las primeras. Supongamos que colocamos la secuencia de los
números naturales

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

y tachamos los números pares

1 X 3 X 5 X 7 X 9 X...

y vamos sumando acumulativamente lo que queda

1 X 3 X 5 X 7 X 9 X...
1 4 9 16 25

Obtenemos los cuadrados, como era de esperar.

Ahora, supongamos que tachamos, en lugar de los múltiplos de 2, los de 3

1 2 X 4 5 X 7 8 X 10 ...

Sumamos acumulativamente

1 2 X 4 5 X 7 8 X 10 ...

1 3 7 12 19 27 37

Ahora tachamos los últimos de cada grupo y volvemos a sumar

1 2 X 4 5 X 7 8 X 10 ...

1 X 7 X 19 X 37

1 8 27 64

¡obtenemos los cubos! Demostrar este resultado formalmente.

¿Qué saldrá si hacemos esto mismo, reiteradamente -en cada fila, tachar
los últimos de cada bloque y sumar acumulativamente-, partiendo de una
lista en que hemos tachado los múltiplos de 4?

¿Y si hemos tachado los múltiplos de N?

¿Y si hemos tachado los números triangulares 1,3,6,10,...?


--

Antonio

¿Y si hemos tachado los múltiplos de p? : si C(i,j) nota las
combinaciones de i elementos tomados j a j

La sucesion que que queda despues de tachar todo lo tachable es :

an = C(p,1)n^(p-1) - C(p,2)n^(p-2) + C(p,3)n^(p-3) - ...... ±
C(p,p-1)n ± 1

si p=2 => an=C(2,1)n^(2-1) - C(2,2)n^(2-2) = 2n-1

si p=3 => an=C(3,1)n^(3-1) - C(3,2)n^(3-2)+C(3,3)n^(3-3) = 3n^2 -3n
+1

si p=4 => an=C(4,1)n^(4-1) - C(4,2)n^(4-2)+ C(4,3)n^(4-3) -
C(4,4)n^(4-4) =4n^3-6n^2+4n -1


Entonces la sucesion que se obtiene a partir de sumar los elementos de
esta Sn = n^p
y lo pruebo por induccion sobre n :

S1 = 1 = 1^p

Suponiendolo cierto para el termino n esto es Sn =n^p ; vemos que es
cierto para el termino n+1 esto es S(n+1)=(n+1)^k

Como por construccion S(n+1)=Sn + a(n+1) y aplicando la hipotesis de
induccion
S(n+1)=n^k +C(p,1)(n+1)^(p) - C(p,2)(n+1)^(p-2) + C(p,3)(n+1)^(p-3)
- ...... ± C(p,p-1)(n+1 )± 1

...desarrollando y sumando y restando

S(n+1)=n^p +C(p,1)n^(p-1) + C(p,2)(n)^(p-2) + C(p,3)(n)^(p-3)
+ ...... + C(p,p-1)(n )+ 1 =(n+1)^p


Con los numeros triangulares no me aclaro cuando se termina de
tachar ...


Saludos

¿Y si hemos tachado los múltiplos de p? : si C(i,j) nota las
combinaciones de i elementos tomados j a j

La sucesion que que queda despues de tachar todo lo tachable es :

an = C(p,1)n^(p-1) - C(p,2)n^(p-2) + C(p,3)n^(p-3) - ...... ±
C(p,p-1)n ± 1

si p=2 => an=C(2,1)n^(2-1) - C(2,2)n^(2-2) = 2n-1

si p=3 => an=C(3,1)n^(3-1) - C(3,2)n^(3-2)+C(3,3)n^(3-3) = 3n^2 -3n
+1

si p=4 => an=C(4,1)n^(4-1) - C(4,2)n^(4-2)+ C(4,3)n^(4-3) -
C(4,4)n^(4-4) =4n^3-6n^2+4n -1


Entonces la sucesion que se obtiene a partir de sumar los elementos de
esta Sn = n^p
y lo pruebo por induccion sobre n :

S1 = 1 = 1^p

Suponiendolo cierto para el termino n esto es Sn =n^p ; vemos que es
cierto para el termino n+1 esto es S(n+1)=(n+1)^k

Como por construccion S(n+1)=Sn + a(n+1) y aplicando la hipotesis de
induccion
S(n+1)=n^k +C(p,1)(n+1)^(p) - C(p,2)(n+1)^(p-2) + C(p,3)(n+1)^(p-3)
- ...... ± C(p,p-1)(n+1 )± 1

...desarrollando y sumando y restando

S(n+1)=n^p +C(p,1)n^(p-1) + C(p,2)(n)^(p-2) + C(p,3)(n)^(p-3)
+ ...... + C(p,p-1)(n )+ 1 =(n+1)^p


Con los numeros triangulares no me aclaro cuando se termina de
tachar ...


Saludos

¿Y si hemos tachado los múltiplos de p? : si C(i,j) nota las
combinaciones de i elementos tomados j a j

La sucesion que que queda despues de tachar todo lo tachable es :

an = C(p,1)n^(p-1) - C(p,2)n^(p-2) + C(p,3)n^(p-3) - ...... ±
C(p,p-1)n ± 1

si p=2 => an=C(2,1)n^(2-1) - C(2,2)n^(2-2) = 2n-1

si p=3 => an=C(3,1)n^(3-1) - C(3,2)n^(3-2)+C(3,3)n^(3-3) = 3n^2 -3n
+1

si p=4 => an=C(4,1)n^(4-1) - C(4,2)n^(4-2)+ C(4,3)n^(4-3) -
C(4,4)n^(4-4) =4n^3-6n^2+4n -1


Entonces la sucesion que se obtiene a partir de sumar los elementos de
esta Sn = n^p
y lo pruebo por induccion sobre n :

S1 = 1 = 1^p

Suponiendolo cierto para el termino n esto es Sn =n^p ; vemos que es
cierto para el termino n+1 esto es S(n+1)=(n+1)^k

Como por construccion S(n+1)=Sn + a(n+1) y aplicando la hipotesis de
induccion
S(n+1)=n^k +C(p,1)(n+1)^(p) - C(p,2)(n+1)^(p-2) + C(p,3)(n+1)^(p-3)
- ...... ± C(p,p-1)(n+1 )± 1

...desarrollando y sumando y restando

S(n+1)=n^p +C(p,1)n^(p-1) + C(p,2)(n)^(p-2) + C(p,3)(n)^(p-3)
+ ...... + C(p,p-1)(n )+ 1 =(n+1)^p


Con los numeros triangulares no me aclaro cuando se termina de
tachar ...


Saludos

josseini***yahoo.com escribió:
> ¿Y si hemos tachado los múltiplos de p? : si C(i,j) nota las
> combinaciones de i elementos tomados j a j
>
> La sucesion que que queda despues de tachar todo lo tachable es :
>
> an = C(p,1)n^(p-1) - C(p,2)n^(p-2) + C(p,3)n^(p-3) - ...... ±
> C(p,p-1)n ± 1
>
> si p=2 => an=C(2,1)n^(2-1) - C(2,2)n^(2-2) = 2n-1
>
> si p=3 => an=C(3,1)n^(3-1) - C(3,2)n^(3-2)+C(3,3)n^(3-3) = 3n^2 -3n
> +1
>
> si p=4 => an=C(4,1)n^(4-1) - C(4,2)n^(4-2)+ C(4,3)n^(4-3) -
> C(4,4)n^(4-4) =4n^3-6n^2+4n -1
>
>
> Entonces la sucesion que se obtiene a partir de sumar los elementos de
> esta Sn = n^p
> y lo pruebo por induccion sobre n :
>
> S1 = 1 = 1^p
>
> Suponiendolo cierto para el termino n esto es Sn =n^p ; vemos que es
> cierto para el termino n+1 esto es S(n+1)=(n+1)^k
>
> Como por construccion S(n+1)=Sn + a(n+1) y aplicando la hipotesis de
> induccion
> S(n+1)=n^k +C(p,1)(n+1)^(p) - C(p,2)(n+1)^(p-2) + C(p,3)(n+1)^(p-3)
> - ...... ± C(p,p-1)(n+1 )± 1
>
> ...desarrollando y sumando y restando
>
> S(n+1)=n^p +C(p,1)n^(p-1) + C(p,2)(n)^(p-2) + C(p,3)(n)^(p-3)
> + ...... + C(p,p-1)(n )+ 1 =(n+1)^p
>
>
> Con los numeros triangulares no me aclaro cuando se termina de
> tachar ...
>

Cuando queda un número en la serie ya no se sigue. SerÃ***a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 2 X 4 5 X 7 8 9 X
2 6 11 18 26 35
6 24 50
24

y creo que la secuencia 2-6-24 es bastante clara...




--

Antonio

josseini***yahoo.com escribió:
> ¿Y si hemos tachado los múltiplos de p? : si C(i,j) nota las
> combinaciones de i elementos tomados j a j
>
> La sucesion que que queda despues de tachar todo lo tachable es :
>
> an = C(p,1)n^(p-1) - C(p,2)n^(p-2) + C(p,3)n^(p-3) - ...... ±
> C(p,p-1)n ± 1
>
> si p=2 => an=C(2,1)n^(2-1) - C(2,2)n^(2-2) = 2n-1
>
> si p=3 => an=C(3,1)n^(3-1) - C(3,2)n^(3-2)+C(3,3)n^(3-3) = 3n^2 -3n
> +1
>
> si p=4 => an=C(4,1)n^(4-1) - C(4,2)n^(4-2)+ C(4,3)n^(4-3) -
> C(4,4)n^(4-4) =4n^3-6n^2+4n -1
>
>
> Entonces la sucesion que se obtiene a partir de sumar los elementos de
> esta Sn = n^p
> y lo pruebo por induccion sobre n :
>
> S1 = 1 = 1^p
>
> Suponiendolo cierto para el termino n esto es Sn =n^p ; vemos que es
> cierto para el termino n+1 esto es S(n+1)=(n+1)^k
>
> Como por construccion S(n+1)=Sn + a(n+1) y aplicando la hipotesis de
> induccion
> S(n+1)=n^k +C(p,1)(n+1)^(p) - C(p,2)(n+1)^(p-2) + C(p,3)(n+1)^(p-3)
> - ...... ± C(p,p-1)(n+1 )± 1
>
> ...desarrollando y sumando y restando
>
> S(n+1)=n^p +C(p,1)n^(p-1) + C(p,2)(n)^(p-2) + C(p,3)(n)^(p-3)
> + ...... + C(p,p-1)(n )+ 1 =(n+1)^p
>
>
> Con los numeros triangulares no me aclaro cuando se termina de
> tachar ...
>

Cuando queda un número en la serie ya no se sigue. SerÃ***a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 2 X 4 5 X 7 8 9 X
2 6 11 18 26 35
6 24 50
24

y creo que la secuencia 2-6-24 es bastante clara...




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Antonio

josseini***yahoo.com escribió:
> ¿Y si hemos tachado los múltiplos de p? : si C(i,j) nota las
> combinaciones de i elementos tomados j a j
>
> La sucesion que que queda despues de tachar todo lo tachable es :
>
> an = C(p,1)n^(p-1) - C(p,2)n^(p-2) + C(p,3)n^(p-3) - ...... ±
> C(p,p-1)n ± 1
>
> si p=2 => an=C(2,1)n^(2-1) - C(2,2)n^(2-2) = 2n-1
>
> si p=3 => an=C(3,1)n^(3-1) - C(3,2)n^(3-2)+C(3,3)n^(3-3) = 3n^2 -3n
> +1
>
> si p=4 => an=C(4,1)n^(4-1) - C(4,2)n^(4-2)+ C(4,3)n^(4-3) -
> C(4,4)n^(4-4) =4n^3-6n^2+4n -1
>
>
> Entonces la sucesion que se obtiene a partir de sumar los elementos de
> esta Sn = n^p
> y lo pruebo por induccion sobre n :
>
> S1 = 1 = 1^p
>
> Suponiendolo cierto para el termino n esto es Sn =n^p ; vemos que es
> cierto para el termino n+1 esto es S(n+1)=(n+1)^k
>
> Como por construccion S(n+1)=Sn + a(n+1) y aplicando la hipotesis de
> induccion
> S(n+1)=n^k +C(p,1)(n+1)^(p) - C(p,2)(n+1)^(p-2) + C(p,3)(n+1)^(p-3)
> - ...... ± C(p,p-1)(n+1 )± 1
>
> ...desarrollando y sumando y restando
>
> S(n+1)=n^p +C(p,1)n^(p-1) + C(p,2)(n)^(p-2) + C(p,3)(n)^(p-3)
> + ...... + C(p,p-1)(n )+ 1 =(n+1)^p
>
>
> Con los numeros triangulares no me aclaro cuando se termina de
> tachar ...
>

Cuando queda un número en la serie ya no se sigue. SerÃ***a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X 2 X 4 5 X 7 8 9 X
2 6 11 18 26 35
6 24 50
24

y creo que la secuencia 2-6-24 es bastante clara...




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Antonio