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 Re: Construir medios Ignacio Larrosa Cañestro escribió: > Dr. Wolfgang Hintze wrote: >> Sean a = AB y b = BC dos segmentos en la recta ABC. >> >> Se pide construir los medios >> >> (i) aritmético > > Son los segmentos m = AM = MC, donde M es el punto medio de AB. Quieres decir el punto medio de AC > > Invirtamos ahora el orden ... > >> (iii) geométrico > > Con centro en M trazamos la circunferencia c de radio MA, y la perpendicular > por B a al segmento AC. Los puntos de intersección G Y G' de esta recta con > c, nos dan la media geométrica g = BG = BG' = rq(ab), aplicando Pitágoras al > triángulo BMG, teniendo en cuenta que BM = |b - a|/2 > >> (ii) harmónico > > Trazamos por G y B respectivamente la perpendicular y paralela a MG, que se > cortaran en H. De esta manera, los triángulos BMG y EHB son semejantes y > > BH/BG = BG/MG ===> > > h = BH = BG^2/MG = ab/((a+b)/2) = 2ab/(a + b) ===> > > 1/h = (1/a + 1/b)/2 > > Luego h = BH es la media harmónica > > > De esta construción, queda patente que h <= g <= m, dándose la igualdad solo > si a = b. > > -- Antonio  |
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| Re: Construir medios Ignacio Larrosa Cañestro escribió: > Dr. Wolfgang Hintze wrote: >> Sean a = AB y b = BC dos segmentos en la recta ABC. >> >> Se pide construir los medios >> >> (i) aritmético > > Son los segmentos m = AM = MC, donde M es el punto medio de AB. Quieres decir el punto medio de AC > > Invirtamos ahora el orden ... > >> (iii) geométrico > > Con centro en M trazamos la circunferencia c de radio MA, y la perpendicular > por B a al segmento AC. Los puntos de intersección G Y G' de esta recta con > c, nos dan la media geométrica g = BG = BG' = rq(ab), aplicando Pitágoras al > triángulo BMG, teniendo en cuenta que BM = |b - a|/2 > >> (ii) harmónico > > Trazamos por G y B respectivamente la perpendicular y paralela a MG, que se > cortaran en H. De esta manera, los triángulos BMG y EHB son semejantes y > > BH/BG = BG/MG ===> > > h = BH = BG^2/MG = ab/((a+b)/2) = 2ab/(a + b) ===> > > 1/h = (1/a + 1/b)/2 > > Luego h = BH es la media harmónica > > > De esta construción, queda patente que h <= g <= m, dándose la igualdad solo > si a = b. > > -- Antonio |
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| Re: Construir medios Ignacio Larrosa Cañestro escribió: > Dr. Wolfgang Hintze wrote: >> Sean a = AB y b = BC dos segmentos en la recta ABC. >> >> Se pide construir los medios >> >> (i) aritmético > > Son los segmentos m = AM = MC, donde M es el punto medio de AB. Quieres decir el punto medio de AC > > Invirtamos ahora el orden ... > >> (iii) geométrico > > Con centro en M trazamos la circunferencia c de radio MA, y la perpendicular > por B a al segmento AC. Los puntos de intersección G Y G' de esta recta con > c, nos dan la media geométrica g = BG = BG' = rq(ab), aplicando Pitágoras al > triángulo BMG, teniendo en cuenta que BM = |b - a|/2 > >> (ii) harmónico > > Trazamos por G y B respectivamente la perpendicular y paralela a MG, que se > cortaran en H. De esta manera, los triángulos BMG y EHB son semejantes y > > BH/BG = BG/MG ===> > > h = BH = BG^2/MG = ab/((a+b)/2) = 2ab/(a + b) ===> > > 1/h = (1/a + 1/b)/2 > > Luego h = BH es la media harmónica > > > De esta construción, queda patente que h <= g <= m, dándose la igualdad solo > si a = b. > > -- Antonio |
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| Re: Construir medios Antonio González wrote: > Ignacio Larrosa Cañestro escribió: >> Dr. Wolfgang Hintze wrote: >>> Sean a = AB y b = BC dos segmentos en la recta ABC. >>> >>> Se pide construir los medios >>> >>> (i) aritmético >> >> Son los segmentos m = AM = MC, donde M es el punto medio de AB. > > Quieres decir el punto medio de AC Efectivamente ... -- Saludos, Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España) ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com >> >> Invirtamos ahora el orden ... >> >>> (iii) geométrico >> >> Con centro en M trazamos la circunferencia c de radio MA, y la >> perpendicular por B a al segmento AC. Los puntos de intersección G Y >> G' de esta recta con c, nos dan la media geométrica g = BG = BG' = >> rq(ab), aplicando Pitágoras al triángulo BMG, teniendo en cuenta que >> BM = |b - a|/2 >>> (ii) harmónico >> >> Trazamos por G y B respectivamente la perpendicular y paralela a MG, >> que se cortaran en H. De esta manera, los triángulos BMG y EHB son >> semejantes y BH/BG = BG/MG ===> >> >> h = BH = BG^2/MG = ab/((a+b)/2) = 2ab/(a + b) ===> >> >> 1/h = (1/a + 1/b)/2 >> >> Luego h = BH es la media harmónica >> >> >> De esta construción, queda patente que h <= g <= m, dándose la >> igualdad solo si a = b. |
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| Re: Construir medios Antonio González wrote: > Ignacio Larrosa Cañestro escribió: >> Dr. Wolfgang Hintze wrote: >>> Sean a = AB y b = BC dos segmentos en la recta ABC. >>> >>> Se pide construir los medios >>> >>> (i) aritmético >> >> Son los segmentos m = AM = MC, donde M es el punto medio de AB. > > Quieres decir el punto medio de AC Efectivamente ... -- Saludos, Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España) ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com >> >> Invirtamos ahora el orden ... >> >>> (iii) geométrico >> >> Con centro en M trazamos la circunferencia c de radio MA, y la >> perpendicular por B a al segmento AC. Los puntos de intersección G Y >> G' de esta recta con c, nos dan la media geométrica g = BG = BG' = >> rq(ab), aplicando Pitágoras al triángulo BMG, teniendo en cuenta que >> BM = |b - a|/2 >>> (ii) harmónico >> >> Trazamos por G y B respectivamente la perpendicular y paralela a MG, >> que se cortaran en H. De esta manera, los triángulos BMG y EHB son >> semejantes y BH/BG = BG/MG ===> >> >> h = BH = BG^2/MG = ab/((a+b)/2) = 2ab/(a + b) ===> >> >> 1/h = (1/a + 1/b)/2 >> >> Luego h = BH es la media harmónica >> >> >> De esta construción, queda patente que h <= g <= m, dándose la >> igualdad solo si a = b. |
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| Re: Construir medios Antonio González wrote: > Ignacio Larrosa Cañestro escribió: >> Dr. Wolfgang Hintze wrote: >>> Sean a = AB y b = BC dos segmentos en la recta ABC. >>> >>> Se pide construir los medios >>> >>> (i) aritmético >> >> Son los segmentos m = AM = MC, donde M es el punto medio de AB. > > Quieres decir el punto medio de AC Efectivamente ... -- Saludos, Ignacio Larrosa Cañestro A Coruña (España) ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com >> >> Invirtamos ahora el orden ... >> >>> (iii) geométrico >> >> Con centro en M trazamos la circunferencia c de radio MA, y la >> perpendicular por B a al segmento AC. Los puntos de intersección G Y >> G' de esta recta con c, nos dan la media geométrica g = BG = BG' = >> rq(ab), aplicando Pitágoras al triángulo BMG, teniendo en cuenta que >> BM = |b - a|/2 >>> (ii) harmónico >> >> Trazamos por G y B respectivamente la perpendicular y paralela a MG, >> que se cortaran en H. De esta manera, los triángulos BMG y EHB son >> semejantes y BH/BG = BG/MG ===> >> >> h = BH = BG^2/MG = ab/((a+b)/2) = 2ab/(a + b) ===> >> >> 1/h = (1/a + 1/b)/2 >> >> Luego h = BH es la media harmónica >> >> >> De esta construción, queda patente que h <= g <= m, dándose la >> igualdad solo si a = b. |
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