Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1.Obtener el
valor mínimo que puede tomar la expresión x^2 + y^2 + z^2

PD: Lo siento Antonio,pero me encanta la expresión x^3+y^3+z^3 - 3xyz

Saludos.

On 12 jul, 14:05, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1.Obtener el
> valor mínimo que puede tomar la expresión x^2 + y^2 + z^2
>
> PD: Lo siento Antonio,pero me encanta la expresión x^3+y^3+z^3 - 3xyz
>
> Saludos.



Sugerencia: Expresar x^2 + y^2 + z^2 en función de x + y + z


Saludos

On 12 jul, 14:05, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1.Obtener el
> valor mínimo que puede tomar la expresión x^2 + y^2 + z^2
>
> PD: Lo siento Antonio,pero me encanta la expresión x^3+y^3+z^3 - 3xyz
>
> Saludos.



Sugerencia: Expresar x^2 + y^2 + z^2 en función de x + y + z


Saludos

On 12 jul, 14:05, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1.Obtener el
> valor mínimo que puede tomar la expresión x^2 + y^2 + z^2
>
> PD: Lo siento Antonio,pero me encanta la expresión x^3+y^3+z^3 - 3xyz
>
> Saludos.



Sugerencia: Expresar x^2 + y^2 + z^2 en función de x + y + z


Saludos

Javier Esquinas escribió:
> Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1.Obtener el
> valor mínimo que puede tomar la expresión x^2 + y^2 + z^2
>

Sean

p = -(x + y + z)

q = xy + xz + yz

r = -xyz

Se trata de hallar el mínimo de

F = p^2-2q

sujeto a la condición

p(p^2-3q) = -1

Construimos la función de Lagrange

U = p^2 - 2q - L(p(p^2-3q)+1)

y resultan las ecuaciones

2p -3L(p^2-q) = 0

-2 + 3Lp = 0

p^3 - 3pq = -1

Resolviendo

q = 0

p = -1

L = -2/3

F = 1

--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1.Obtener el
> valor mínimo que puede tomar la expresión x^2 + y^2 + z^2
>

Sean

p = -(x + y + z)

q = xy + xz + yz

r = -xyz

Se trata de hallar el mínimo de

F = p^2-2q

sujeto a la condición

p(p^2-3q) = -1

Construimos la función de Lagrange

U = p^2 - 2q - L(p(p^2-3q)+1)

y resultan las ecuaciones

2p -3L(p^2-q) = 0

-2 + 3Lp = 0

p^3 - 3pq = -1

Resolviendo

q = 0

p = -1

L = -2/3

F = 1

--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1.Obtener el
> valor mínimo que puede tomar la expresión x^2 + y^2 + z^2
>

Sean

p = -(x + y + z)

q = xy + xz + yz

r = -xyz

Se trata de hallar el mínimo de

F = p^2-2q

sujeto a la condición

p(p^2-3q) = -1

Construimos la función de Lagrange

U = p^2 - 2q - L(p(p^2-3q)+1)

y resultan las ecuaciones

2p -3L(p^2-q) = 0

-2 + 3Lp = 0

p^3 - 3pq = -1

Resolviendo

q = 0

p = -1

L = -2/3

F = 1

--

Antonio

On 16 jul, 09:35, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>
> > Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1.Obtener el
> > valor mínimo que puede tomar la expresión x^2 + y^2 + z^2
>
> Sean
>
> *** p = -(x + y + z)
>
> *** q = xy + xz + yz
>
> *** r = -xyz
>
> Se trata de hallar el mínimo de
>
> *** F = p^2-2q
>
> sujeto a la condición
>
> *** p(p^2-3q) = -1
>
> Construimos la función de Lagrange
>
> *** U = p^2 - 2q - L(p(p^2-3q)+1)
>
> y resultan las ecuaciones
>
> *** 2p -3L(p^2-q) = 0
>
> *** -2 + 3Lp = 0
>
> *** p^3 - 3pq = -1
>
> Resolviendo
>
> *** q = 0
>
> *** p = -1
>
> *** L = -2/3
>
> *** F = 1
>
> --
>
> *** ***Antonio

Bueno,a ver si te gusta la siguiente demostración que yo creo que
corresponde más con el espíritu "olímpico" de estos problemas.


Tenemos la igualdad x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 +
z^2 - xy - xz - yz)

Por tanto la condición de frontera hace que sobre esos puntos se
tenga:

(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) = 1

Ahora bien,siempre se da la igualdad:

xy + xz + yz = 1/2((x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2))

Llevando esto a la ecuación anterior:

(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) = (x + y + z)(x^2 + y^2 +
z^2 - 1/2((x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2))) =

Obteniendo entonces que:

(x + y + z)(3/2(x^2 + y^2 + z^2) - 1/2(x + y + z)^2) = 1

Si despejamoos:

x^2 + y^2 + z^2 = 2/3(x + y + z) + 1/3(x + y + z)^2

Ahora bien,es inmediato ver que para los puntos que cumplen la
igualdad de partida ,es decir:

x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1

se tiene que x + y + z > 0

SI hacemos t = x + y + z estamos intentando minimizar la expresión

(2/3)t + (1/3)t^2

Si usamos cálculo diferencial se obtiene que esa expresión tiene un
mímino absoluto en t = x + y + z = 1

y en esos puntos la expresión x^2 + y^2 + z^2 vale 2/3 + 1/3 = 1 que
es el valor mínimo absoluto.

Unas precisiones:

(i) El valor mínimo absoluto se alcanza en aquellos puntos que x + y +
z = 1.Es muy sencillo ver que en estos puntos también se tiene que
xy + xz + yz = 0 que también obtiene Antonio.

(ii) Es posible demostrar que (2/3)t + (1/3)t^2 tiene un mínimo
absoluto en t =1 para valores de t > 0 .¿Cómo?


Saludos.

On 16 jul, 09:35, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>
> > Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1.Obtener el
> > valor mínimo que puede tomar la expresión x^2 + y^2 + z^2
>
> Sean
>
> *** p = -(x + y + z)
>
> *** q = xy + xz + yz
>
> *** r = -xyz
>
> Se trata de hallar el mínimo de
>
> *** F = p^2-2q
>
> sujeto a la condición
>
> *** p(p^2-3q) = -1
>
> Construimos la función de Lagrange
>
> *** U = p^2 - 2q - L(p(p^2-3q)+1)
>
> y resultan las ecuaciones
>
> *** 2p -3L(p^2-q) = 0
>
> *** -2 + 3Lp = 0
>
> *** p^3 - 3pq = -1
>
> Resolviendo
>
> *** q = 0
>
> *** p = -1
>
> *** L = -2/3
>
> *** F = 1
>
> --
>
> *** ***Antonio

Bueno,a ver si te gusta la siguiente demostración que yo creo que
corresponde más con el espíritu "olímpico" de estos problemas.


Tenemos la igualdad x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 +
z^2 - xy - xz - yz)

Por tanto la condición de frontera hace que sobre esos puntos se
tenga:

(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) = 1

Ahora bien,siempre se da la igualdad:

xy + xz + yz = 1/2((x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2))

Llevando esto a la ecuación anterior:

(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) = (x + y + z)(x^2 + y^2 +
z^2 - 1/2((x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2))) =

Obteniendo entonces que:

(x + y + z)(3/2(x^2 + y^2 + z^2) - 1/2(x + y + z)^2) = 1

Si despejamoos:

x^2 + y^2 + z^2 = 2/3(x + y + z) + 1/3(x + y + z)^2

Ahora bien,es inmediato ver que para los puntos que cumplen la
igualdad de partida ,es decir:

x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1

se tiene que x + y + z > 0

SI hacemos t = x + y + z estamos intentando minimizar la expresión

(2/3)t + (1/3)t^2

Si usamos cálculo diferencial se obtiene que esa expresión tiene un
mímino absoluto en t = x + y + z = 1

y en esos puntos la expresión x^2 + y^2 + z^2 vale 2/3 + 1/3 = 1 que
es el valor mínimo absoluto.

Unas precisiones:

(i) El valor mínimo absoluto se alcanza en aquellos puntos que x + y +
z = 1.Es muy sencillo ver que en estos puntos también se tiene que
xy + xz + yz = 0 que también obtiene Antonio.

(ii) Es posible demostrar que (2/3)t + (1/3)t^2 tiene un mínimo
absoluto en t =1 para valores de t > 0 .¿Cómo?


Saludos.

On 16 jul, 09:35, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>
> > Sean x,y,z números reales tales que x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1.Obtener el
> > valor mínimo que puede tomar la expresión x^2 + y^2 + z^2
>
> Sean
>
> *** p = -(x + y + z)
>
> *** q = xy + xz + yz
>
> *** r = -xyz
>
> Se trata de hallar el mínimo de
>
> *** F = p^2-2q
>
> sujeto a la condición
>
> *** p(p^2-3q) = -1
>
> Construimos la función de Lagrange
>
> *** U = p^2 - 2q - L(p(p^2-3q)+1)
>
> y resultan las ecuaciones
>
> *** 2p -3L(p^2-q) = 0
>
> *** -2 + 3Lp = 0
>
> *** p^3 - 3pq = -1
>
> Resolviendo
>
> *** q = 0
>
> *** p = -1
>
> *** L = -2/3
>
> *** F = 1
>
> --
>
> *** ***Antonio

Bueno,a ver si te gusta la siguiente demostración que yo creo que
corresponde más con el espíritu "olímpico" de estos problemas.


Tenemos la igualdad x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 +
z^2 - xy - xz - yz)

Por tanto la condición de frontera hace que sobre esos puntos se
tenga:

(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) = 1

Ahora bien,siempre se da la igualdad:

xy + xz + yz = 1/2((x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2))

Llevando esto a la ecuación anterior:

(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) = (x + y + z)(x^2 + y^2 +
z^2 - 1/2((x + y + z)^2 - (x^2 + y^2 + z^2))) =

Obteniendo entonces que:

(x + y + z)(3/2(x^2 + y^2 + z^2) - 1/2(x + y + z)^2) = 1

Si despejamoos:

x^2 + y^2 + z^2 = 2/3(x + y + z) + 1/3(x + y + z)^2

Ahora bien,es inmediato ver que para los puntos que cumplen la
igualdad de partida ,es decir:

x^3+y^3+z^3 - 3xyz = 1

se tiene que x + y + z > 0

SI hacemos t = x + y + z estamos intentando minimizar la expresión

(2/3)t + (1/3)t^2

Si usamos cálculo diferencial se obtiene que esa expresión tiene un
mímino absoluto en t = x + y + z = 1

y en esos puntos la expresión x^2 + y^2 + z^2 vale 2/3 + 1/3 = 1 que
es el valor mínimo absoluto.

Unas precisiones:

(i) El valor mínimo absoluto se alcanza en aquellos puntos que x + y +
z = 1.Es muy sencillo ver que en estos puntos también se tiene que
xy + xz + yz = 0 que también obtiene Antonio.

(ii) Es posible demostrar que (2/3)t + (1/3)t^2 tiene un mínimo
absoluto en t =1 para valores de t > 0 .¿Cómo?


Saludos.