Si los ángulos de un triángulo cumplen la igualdad:

(senA + senB + senC)/(cosA + cosB + cosC) = rq(3)

demostrar que al menos uno de los ángulos vale 60º.

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> Si los ángulos de un triángulo cumplen la igualdad:
>
> (senA + senB + senC)/(cosA + cosB + cosC) = rq(3)
>
> demostrar que al menos uno de los ángulos vale 60º.

Veamos, esto equivale a

(senA - rq(3)cosA)+(senB - rq(3)cosB)+(senC - rq(3)cosC) = 0

o, lo que es lo mismo

sen(A-pi/3) + sen(B-pi/3) + sen(C-pi/3) = 0

Si llamamos a los argumjentos A', B' y C' nos queda

sen(A') + sen(B') + sen(C')=0

pero sabemos que

A' + B' + C' = 0

por lo que queda

sen(A') + sen(B') - sen(A'+B') = 0

sen(A')(1-cos(B')) + sen(B')(1-cos(A')) = 0

sen(A'/2)cos(A'/2)sen^2(B'/2) + sen(B'/2)cos(B'/2)sen^2(A'/2) = 0

y queda finalmente

sen(A'/2)sen(B'/2)sen(C'/2) = 0

lo que implica que uno de los tres argumentos es nulo y por tanto uno de
los tres ángulos es igual a pi/3.
--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Si los ángulos de un triángulo cumplen la igualdad:
>
> (senA + senB + senC)/(cosA + cosB + cosC) = rq(3)
>
> demostrar que al menos uno de los ángulos vale 60º.

Veamos, esto equivale a

(senA - rq(3)cosA)+(senB - rq(3)cosB)+(senC - rq(3)cosC) = 0

o, lo que es lo mismo

sen(A-pi/3) + sen(B-pi/3) + sen(C-pi/3) = 0

Si llamamos a los argumjentos A', B' y C' nos queda

sen(A') + sen(B') + sen(C')=0

pero sabemos que

A' + B' + C' = 0

por lo que queda

sen(A') + sen(B') - sen(A'+B') = 0

sen(A')(1-cos(B')) + sen(B')(1-cos(A')) = 0

sen(A'/2)cos(A'/2)sen^2(B'/2) + sen(B'/2)cos(B'/2)sen^2(A'/2) = 0

y queda finalmente

sen(A'/2)sen(B'/2)sen(C'/2) = 0

lo que implica que uno de los tres argumentos es nulo y por tanto uno de
los tres ángulos es igual a pi/3.
--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Si los ángulos de un triángulo cumplen la igualdad:
>
> (senA + senB + senC)/(cosA + cosB + cosC) = rq(3)
>
> demostrar que al menos uno de los ángulos vale 60º.

Veamos, esto equivale a

(senA - rq(3)cosA)+(senB - rq(3)cosB)+(senC - rq(3)cosC) = 0

o, lo que es lo mismo

sen(A-pi/3) + sen(B-pi/3) + sen(C-pi/3) = 0

Si llamamos a los argumjentos A', B' y C' nos queda

sen(A') + sen(B') + sen(C')=0

pero sabemos que

A' + B' + C' = 0

por lo que queda

sen(A') + sen(B') - sen(A'+B') = 0

sen(A')(1-cos(B')) + sen(B')(1-cos(A')) = 0

sen(A'/2)cos(A'/2)sen^2(B'/2) + sen(B'/2)cos(B'/2)sen^2(A'/2) = 0

y queda finalmente

sen(A'/2)sen(B'/2)sen(C'/2) = 0

lo que implica que uno de los tres argumentos es nulo y por tanto uno de
los tres ángulos es igual a pi/3.
--

Antonio

Antonio González escribió:
> Javier Esquinas escribió:
>> Si los ángulos de un triángulo cumplen la igualdad:
>>
>> (senA + senB + senC)/(cosA + cosB + cosC) = rq(3)
>>
>> demostrar que al menos uno de los ángulos vale 60º.
>
> Veamos, esto equivale a
>
> (senA - rq(3)cosA)+(senB - rq(3)cosB)+(senC - rq(3)cosC) = 0
>
> o, lo que es lo mismo
>
> sen(A-pi/3) + sen(B-pi/3) + sen(C-pi/3) = 0
>
> Si llamamos a los argumjentos A', B' y C' nos queda
>
> sen(A') + sen(B') + sen(C')=0
>

Podemos también desarrollar esto en serie, y queda

(A'+B'+C') - (A'^3 + B'^3 + C'^3)/3! + ... = 0

con A'+B'+C'=0. Como al menos una de las variables es libre, cada
término de la serie debe anularse por separado.

Sustituyendo la suma nula en el siguiente término tenemos

A'^3 + B'^3 + C'^3 = (A'+B'+C')(A'^2+B'^2 + C'^2 - A'B'-A'C'-A'C') +

+ 3A'B'C' = 3A'B'C'

que para que se anule implica que uno de los tres incrementos debe ser
nulo y uno de los ángulos es pi/3.

Es claro que esta solución anula igualmente el resto de los términos

A'^(2n+1) + B'^(2n+1) + C'^(2n+1) = 0

por lo que esta es la solución del problema.

--

Antonio

Antonio González escribió:
> Javier Esquinas escribió:
>> Si los ángulos de un triángulo cumplen la igualdad:
>>
>> (senA + senB + senC)/(cosA + cosB + cosC) = rq(3)
>>
>> demostrar que al menos uno de los ángulos vale 60º.
>
> Veamos, esto equivale a
>
> (senA - rq(3)cosA)+(senB - rq(3)cosB)+(senC - rq(3)cosC) = 0
>
> o, lo que es lo mismo
>
> sen(A-pi/3) + sen(B-pi/3) + sen(C-pi/3) = 0
>
> Si llamamos a los argumjentos A', B' y C' nos queda
>
> sen(A') + sen(B') + sen(C')=0
>

Podemos también desarrollar esto en serie, y queda

(A'+B'+C') - (A'^3 + B'^3 + C'^3)/3! + ... = 0

con A'+B'+C'=0. Como al menos una de las variables es libre, cada
término de la serie debe anularse por separado.

Sustituyendo la suma nula en el siguiente término tenemos

A'^3 + B'^3 + C'^3 = (A'+B'+C')(A'^2+B'^2 + C'^2 - A'B'-A'C'-A'C') +

+ 3A'B'C' = 3A'B'C'

que para que se anule implica que uno de los tres incrementos debe ser
nulo y uno de los ángulos es pi/3.

Es claro que esta solución anula igualmente el resto de los términos

A'^(2n+1) + B'^(2n+1) + C'^(2n+1) = 0

por lo que esta es la solución del problema.

--

Antonio

Antonio González escribió:
> Javier Esquinas escribió:
>> Si los ángulos de un triángulo cumplen la igualdad:
>>
>> (senA + senB + senC)/(cosA + cosB + cosC) = rq(3)
>>
>> demostrar que al menos uno de los ángulos vale 60º.
>
> Veamos, esto equivale a
>
> (senA - rq(3)cosA)+(senB - rq(3)cosB)+(senC - rq(3)cosC) = 0
>
> o, lo que es lo mismo
>
> sen(A-pi/3) + sen(B-pi/3) + sen(C-pi/3) = 0
>
> Si llamamos a los argumjentos A', B' y C' nos queda
>
> sen(A') + sen(B') + sen(C')=0
>

Podemos también desarrollar esto en serie, y queda

(A'+B'+C') - (A'^3 + B'^3 + C'^3)/3! + ... = 0

con A'+B'+C'=0. Como al menos una de las variables es libre, cada
término de la serie debe anularse por separado.

Sustituyendo la suma nula en el siguiente término tenemos

A'^3 + B'^3 + C'^3 = (A'+B'+C')(A'^2+B'^2 + C'^2 - A'B'-A'C'-A'C') +

+ 3A'B'C' = 3A'B'C'

que para que se anule implica que uno de los tres incrementos debe ser
nulo y uno de los ángulos es pi/3.

Es claro que esta solución anula igualmente el resto de los términos

A'^(2n+1) + B'^(2n+1) + C'^(2n+1) = 0

por lo que esta es la solución del problema.

--

Antonio