Sean a,b números reales no negativos tales que a·b >= a^3 + b^3.Probar
que a + b <= 1.


Saludos.

On 15 jul, 11:55, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Sean a,b números reales no negativos tales que a·b >= a^3 + b^3.Probar
> que a + b <= 1.
>
> Saludos.

Me respondo a mí mismo:

Podemos suponer que ambos son distintos de cero pues en otro caso
realmente ambos serían cero con lo que a + b = 0 < 1

Por tanto partamos de a·b distinto de cero.

(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a·b(a + b)

a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a·b(a + b) = (a + b)(a^2 + b^2 + 2a·b -3a·b)
= (a + b)(a^2 + b^2 - a·b)

a + b = (a^3 + b^3)/(a^2 + b^2 - a·b) <= a·b/(2a·b - a·b) = 1

ya que a^2 + b^2 > = 2a·b


Saludos.

On 15 jul, 11:55, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Sean a,b números reales no negativos tales que a·b >= a^3 + b^3.Probar
> que a + b <= 1.
>
> Saludos.

Me respondo a mí mismo:

Podemos suponer que ambos son distintos de cero pues en otro caso
realmente ambos serían cero con lo que a + b = 0 < 1

Por tanto partamos de a·b distinto de cero.

(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a·b(a + b)

a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a·b(a + b) = (a + b)(a^2 + b^2 + 2a·b -3a·b)
= (a + b)(a^2 + b^2 - a·b)

a + b = (a^3 + b^3)/(a^2 + b^2 - a·b) <= a·b/(2a·b - a·b) = 1

ya que a^2 + b^2 > = 2a·b


Saludos.

On 15 jul, 11:55, Javier Esquinas <jesqui...***renfe.es> wrote:
> Sean a,b números reales no negativos tales que a·b >= a^3 + b^3.Probar
> que a + b <= 1.
>
> Saludos.

Me respondo a mí mismo:

Podemos suponer que ambos son distintos de cero pues en otro caso
realmente ambos serían cero con lo que a + b = 0 < 1

Por tanto partamos de a·b distinto de cero.

(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a·b(a + b)

a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a·b(a + b) = (a + b)(a^2 + b^2 + 2a·b -3a·b)
= (a + b)(a^2 + b^2 - a·b)

a + b = (a^3 + b^3)/(a^2 + b^2 - a·b) <= a·b/(2a·b - a·b) = 1

ya que a^2 + b^2 > = 2a·b


Saludos.