Hola a todos,

Mi pregunta es la siguiente: Como puedo justificar el pasar una
integral de volumen a una integral de superficie cuando el limite de
una de las dimensiones tiende a 0?

Imaginemos el caso tipico: segun el electromagnetismo, el
potencial eléctrico es la integral de la densidad de carga volùmica
con respecto a todo el volumen considerado. En un conductor, estas
cargas se localizan en la superficie del conductor, por lo que la
integral se puede simplificar a integar la densidad de carga de
superficie solo en la superficie del conductor.

Es decir, si tengo una integral del tipo V = INT(f(x, y, z),
volumen)

Como lim (cuando b tiende a 0) de b*f(x, y, z) = g(x, y, z),
entonces V = INT(g(x, y, z), superficie)

Como se puede demostrar el paso de una integral a otra?

Muchas gracias a todos!

Markobar escribió:
>
> Hola a todos,
>
> Mi pregunta es la siguiente: Como puedo justificar el pasar una
> integral de volumen a una integral de superficie cuando el limite de
> una de las dimensiones tiende a 0?
>
> Imaginemos el caso tipico: segun el electromagnetismo, el
> potencial eléctrico es la integral de la densidad de carga volùmica

....dividida por la distancia al punto donde se quiere hallar el potencial...

> con respecto a todo el volumen considerado.
> En un conductor, estas
> cargas se localizan en la superficie del conductor, por lo que la
> integral se puede simplificar a integar la densidad de carga de
> superficie solo en la superficie del conductor.
>
> Es decir, si tengo una integral del tipo V = INT(f(x, y, z),
> volumen)
>
> Como lim (cuando b tiende a 0) de b*f(x, y, z) = g(x, y, z),
> entonces V = INT(g(x, y, z), superficie)
>
> Como se puede demostrar el paso de una integral a otra?
>

Hay varias formas, más o menos equivalentes.

La idea, siempre, es considerar una función que varía muy rápidamente en
una cierta región de forma aproximadamente bidimensional (por ejemplo,
una película, con un espesor muy pequeño).

Por hacerlo sencillo, supongamos que la película es horizontal, de forma
que el integrando se puede aproximar por

f(x,y,z) = 0 z < 0

f(x,y,z) = F(x,y)/epsilon 0 < z < epsilon

f(x,y,z) = 0 z > epsilon

siendo epsilon una cantidad muy pequeña. Fíjate que es importante que la
densidad es inversamente proporcional a epsilon, de forma que su
integral permanezca finita. Si no, la integral se iría a cero.

La integral de volumen de esta cantidad será

I = int f(x,y,z) dx dy dz = int(int f(x,y,z) dz) dx dy

y en esta integral en z, podemos quedarnos con el intervalo (0,epsilon)
pues el único en que f no es nula

I = int(int_0^epsilon F(x,y)/epsilon dz) dx dy

pero F(x,y) no depende de z, por lo que

I = int F(x,y) dx dy

y ya es una integral de superficie. Importante es que el integrando no
es el mismo. Para hallar el potencial eléctrico causado por una carga
distribuida en una superficie, lo que aparece es la densidad superficial
de carga, que es la integral de la de volumen.

La idea es que si tienes una fina película de espesor epsilon, en la
cual hay una densidad volumétrica (muy grande) de carga, rho, al pasar a
una integral de superficie aparece la densidad superficial, sigma,
definida como

sigma = lim_(epsilon->0) epsilon rho

Si la superficie no es horizontal, sino curva, el tratamiento es
análogo, sin más que considerar que localmente, en el entorno de cada
punto, se puede aproximar por un plano. "z" entonces sería la coordenada
perpendicular al plano tangente.

Otra forma, que es la misma en realidad, de tratar este problema es
empleando deltas de Dirac.




--

Antonio

Markobar escribió:
>
> Hola a todos,
>
> Mi pregunta es la siguiente: Como puedo justificar el pasar una
> integral de volumen a una integral de superficie cuando el limite de
> una de las dimensiones tiende a 0?
>
> Imaginemos el caso tipico: segun el electromagnetismo, el
> potencial eléctrico es la integral de la densidad de carga volùmica

....dividida por la distancia al punto donde se quiere hallar el potencial...

> con respecto a todo el volumen considerado.
> En un conductor, estas
> cargas se localizan en la superficie del conductor, por lo que la
> integral se puede simplificar a integar la densidad de carga de
> superficie solo en la superficie del conductor.
>
> Es decir, si tengo una integral del tipo V = INT(f(x, y, z),
> volumen)
>
> Como lim (cuando b tiende a 0) de b*f(x, y, z) = g(x, y, z),
> entonces V = INT(g(x, y, z), superficie)
>
> Como se puede demostrar el paso de una integral a otra?
>

Hay varias formas, más o menos equivalentes.

La idea, siempre, es considerar una función que varía muy rápidamente en
una cierta región de forma aproximadamente bidimensional (por ejemplo,
una película, con un espesor muy pequeño).

Por hacerlo sencillo, supongamos que la película es horizontal, de forma
que el integrando se puede aproximar por

f(x,y,z) = 0 z < 0

f(x,y,z) = F(x,y)/epsilon 0 < z < epsilon

f(x,y,z) = 0 z > epsilon

siendo epsilon una cantidad muy pequeña. Fíjate que es importante que la
densidad es inversamente proporcional a epsilon, de forma que su
integral permanezca finita. Si no, la integral se iría a cero.

La integral de volumen de esta cantidad será

I = int f(x,y,z) dx dy dz = int(int f(x,y,z) dz) dx dy

y en esta integral en z, podemos quedarnos con el intervalo (0,epsilon)
pues el único en que f no es nula

I = int(int_0^epsilon F(x,y)/epsilon dz) dx dy

pero F(x,y) no depende de z, por lo que

I = int F(x,y) dx dy

y ya es una integral de superficie. Importante es que el integrando no
es el mismo. Para hallar el potencial eléctrico causado por una carga
distribuida en una superficie, lo que aparece es la densidad superficial
de carga, que es la integral de la de volumen.

La idea es que si tienes una fina película de espesor epsilon, en la
cual hay una densidad volumétrica (muy grande) de carga, rho, al pasar a
una integral de superficie aparece la densidad superficial, sigma,
definida como

sigma = lim_(epsilon->0) epsilon rho

Si la superficie no es horizontal, sino curva, el tratamiento es
análogo, sin más que considerar que localmente, en el entorno de cada
punto, se puede aproximar por un plano. "z" entonces sería la coordenada
perpendicular al plano tangente.

Otra forma, que es la misma en realidad, de tratar este problema es
empleando deltas de Dirac.




--

Antonio

Markobar escribió:
>
> Hola a todos,
>
> Mi pregunta es la siguiente: Como puedo justificar el pasar una
> integral de volumen a una integral de superficie cuando el limite de
> una de las dimensiones tiende a 0?
>
> Imaginemos el caso tipico: segun el electromagnetismo, el
> potencial eléctrico es la integral de la densidad de carga volùmica

....dividida por la distancia al punto donde se quiere hallar el potencial...

> con respecto a todo el volumen considerado.
> En un conductor, estas
> cargas se localizan en la superficie del conductor, por lo que la
> integral se puede simplificar a integar la densidad de carga de
> superficie solo en la superficie del conductor.
>
> Es decir, si tengo una integral del tipo V = INT(f(x, y, z),
> volumen)
>
> Como lim (cuando b tiende a 0) de b*f(x, y, z) = g(x, y, z),
> entonces V = INT(g(x, y, z), superficie)
>
> Como se puede demostrar el paso de una integral a otra?
>

Hay varias formas, más o menos equivalentes.

La idea, siempre, es considerar una función que varía muy rápidamente en
una cierta región de forma aproximadamente bidimensional (por ejemplo,
una película, con un espesor muy pequeño).

Por hacerlo sencillo, supongamos que la película es horizontal, de forma
que el integrando se puede aproximar por

f(x,y,z) = 0 z < 0

f(x,y,z) = F(x,y)/epsilon 0 < z < epsilon

f(x,y,z) = 0 z > epsilon

siendo epsilon una cantidad muy pequeña. Fíjate que es importante que la
densidad es inversamente proporcional a epsilon, de forma que su
integral permanezca finita. Si no, la integral se iría a cero.

La integral de volumen de esta cantidad será

I = int f(x,y,z) dx dy dz = int(int f(x,y,z) dz) dx dy

y en esta integral en z, podemos quedarnos con el intervalo (0,epsilon)
pues el único en que f no es nula

I = int(int_0^epsilon F(x,y)/epsilon dz) dx dy

pero F(x,y) no depende de z, por lo que

I = int F(x,y) dx dy

y ya es una integral de superficie. Importante es que el integrando no
es el mismo. Para hallar el potencial eléctrico causado por una carga
distribuida en una superficie, lo que aparece es la densidad superficial
de carga, que es la integral de la de volumen.

La idea es que si tienes una fina película de espesor epsilon, en la
cual hay una densidad volumétrica (muy grande) de carga, rho, al pasar a
una integral de superficie aparece la densidad superficial, sigma,
definida como

sigma = lim_(epsilon->0) epsilon rho

Si la superficie no es horizontal, sino curva, el tratamiento es
análogo, sin más que considerar que localmente, en el entorno de cada
punto, se puede aproximar por un plano. "z" entonces sería la coordenada
perpendicular al plano tangente.

Otra forma, que es la misma en realidad, de tratar este problema es
empleando deltas de Dirac.




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Antonio

On 17 juil, 11:26, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Markobar escribió:
>
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>
> > Hola a todos,
>
> > Mi pregunta es la siguiente: Como puedo justificar el pasar una
> > integral de volumen a una integral de superficie cuando el limite de
> > una de las dimensiones tiende a 0?
>
> > Imaginemos el caso tipico: segun el electromagnetismo, el
> > potencial eléctrico es la integral de la densidad de carga volùmica
>
> ...dividida por la distancia al punto donde se quiere hallar el potencial....
>
> > con respecto a todo el volumen considerado.
> > En un conductor, estas
> > cargas se localizan en la superficie del conductor, por lo que la
> > integral se puede simplificar a integar la densidad de carga de
> > superficie solo en la superficie del conductor.
>
> > Es decir, si tengo una integral del tipo V = INT(f(x, y, z),
> > volumen)
>
> > Como lim (cuando b tiende a 0) de b*f(x, y, z) = g(x, y, z),
> > entonces V = INT(g(x, y, z), superficie)
>
> > Como se puede demostrar el paso de una integral a otra?
>
> Hay varias formas, más o menos equivalentes.
>
> La idea, siempre, es considerar una función que varía muy rápidamente en
> una cierta región de forma aproximadamente bidimensional (por ejemplo,
> una película, con un espesor muy pequeño).
>
> Por hacerlo sencillo, supongamos que la película es horizontal, de forma
> que el integrando se puede aproximar por
>
> f(x,y,z) = 0 z < 0
>
> f(x,y,z) = F(x,y)/epsilon 0 < z < epsilon
>
> f(x,y,z) = 0 z > epsilon
>
> siendo epsilon una cantidad muy pequeña. Fíjate que es importante quela
> densidad es inversamente proporcional a epsilon, de forma que su
> integral permanezca finita. Si no, la integral se iría a cero.
>
> La integral de volumen de esta cantidad será
>
> I = int f(x,y,z) dx dy dz = int(int f(x,y,z) dz) dx dy
>
> y en esta integral en z, podemos quedarnos con el intervalo (0,epsilon)
> pues el único en que f no es nula
>
> I = int(int_0^epsilon F(x,y)/epsilon dz) dx dy
>
> pero F(x,y) no depende de z, por lo que
>
> I = int F(x,y) dx dy
>
> y ya es una integral de superficie. Importante es que el integrando no
> es el mismo. Para hallar el potencial eléctrico causado por una carga
> distribuida en una superficie, lo que aparece es la densidad superficial
> de carga, que es la integral de la de volumen.
>
> La idea es que si tienes una fina película de espesor epsilon, en la
> cual hay una densidad volumétrica (muy grande) de carga, rho, al pasar a
> una integral de superficie aparece la densidad superficial, sigma,
> definida como
>
> sigma = lim_(epsilon->0) epsilon rho
>
> Si la superficie no es horizontal, sino curva, el tratamiento es
> análogo, sin más que considerar que localmente, en el entorno de cada
> punto, se puede aproximar por un plano. "z" entonces sería la coordenada
> perpendicular al plano tangente.
>
> Otra forma, que es la misma en realidad, de tratar este problema es
> empleando deltas de Dirac.
>
> --
>
> Antonio

Muchisimas gracias!!

On 17 juil, 11:26, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Markobar escribió:
>
>
>
> > Hola a todos,
>
> > Mi pregunta es la siguiente: Como puedo justificar el pasar una
> > integral de volumen a una integral de superficie cuando el limite de
> > una de las dimensiones tiende a 0?
>
> > Imaginemos el caso tipico: segun el electromagnetismo, el
> > potencial eléctrico es la integral de la densidad de carga volùmica
>
> ...dividida por la distancia al punto donde se quiere hallar el potencial....
>
> > con respecto a todo el volumen considerado.
> > En un conductor, estas
> > cargas se localizan en la superficie del conductor, por lo que la
> > integral se puede simplificar a integar la densidad de carga de
> > superficie solo en la superficie del conductor.
>
> > Es decir, si tengo una integral del tipo V = INT(f(x, y, z),
> > volumen)
>
> > Como lim (cuando b tiende a 0) de b*f(x, y, z) = g(x, y, z),
> > entonces V = INT(g(x, y, z), superficie)
>
> > Como se puede demostrar el paso de una integral a otra?
>
> Hay varias formas, más o menos equivalentes.
>
> La idea, siempre, es considerar una función que varía muy rápidamente en
> una cierta región de forma aproximadamente bidimensional (por ejemplo,
> una película, con un espesor muy pequeño).
>
> Por hacerlo sencillo, supongamos que la película es horizontal, de forma
> que el integrando se puede aproximar por
>
> f(x,y,z) = 0 z < 0
>
> f(x,y,z) = F(x,y)/epsilon 0 < z < epsilon
>
> f(x,y,z) = 0 z > epsilon
>
> siendo epsilon una cantidad muy pequeña. Fíjate que es importante quela
> densidad es inversamente proporcional a epsilon, de forma que su
> integral permanezca finita. Si no, la integral se iría a cero.
>
> La integral de volumen de esta cantidad será
>
> I = int f(x,y,z) dx dy dz = int(int f(x,y,z) dz) dx dy
>
> y en esta integral en z, podemos quedarnos con el intervalo (0,epsilon)
> pues el único en que f no es nula
>
> I = int(int_0^epsilon F(x,y)/epsilon dz) dx dy
>
> pero F(x,y) no depende de z, por lo que
>
> I = int F(x,y) dx dy
>
> y ya es una integral de superficie. Importante es que el integrando no
> es el mismo. Para hallar el potencial eléctrico causado por una carga
> distribuida en una superficie, lo que aparece es la densidad superficial
> de carga, que es la integral de la de volumen.
>
> La idea es que si tienes una fina película de espesor epsilon, en la
> cual hay una densidad volumétrica (muy grande) de carga, rho, al pasar a
> una integral de superficie aparece la densidad superficial, sigma,
> definida como
>
> sigma = lim_(epsilon->0) epsilon rho
>
> Si la superficie no es horizontal, sino curva, el tratamiento es
> análogo, sin más que considerar que localmente, en el entorno de cada
> punto, se puede aproximar por un plano. "z" entonces sería la coordenada
> perpendicular al plano tangente.
>
> Otra forma, que es la misma en realidad, de tratar este problema es
> empleando deltas de Dirac.
>
> --
>
> Antonio

Muchisimas gracias!!

On 17 juil, 11:26, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Markobar escribió:
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>
>
> > Hola a todos,
>
> > Mi pregunta es la siguiente: Como puedo justificar el pasar una
> > integral de volumen a una integral de superficie cuando el limite de
> > una de las dimensiones tiende a 0?
>
> > Imaginemos el caso tipico: segun el electromagnetismo, el
> > potencial eléctrico es la integral de la densidad de carga volùmica
>
> ...dividida por la distancia al punto donde se quiere hallar el potencial....
>
> > con respecto a todo el volumen considerado.
> > En un conductor, estas
> > cargas se localizan en la superficie del conductor, por lo que la
> > integral se puede simplificar a integar la densidad de carga de
> > superficie solo en la superficie del conductor.
>
> > Es decir, si tengo una integral del tipo V = INT(f(x, y, z),
> > volumen)
>
> > Como lim (cuando b tiende a 0) de b*f(x, y, z) = g(x, y, z),
> > entonces V = INT(g(x, y, z), superficie)
>
> > Como se puede demostrar el paso de una integral a otra?
>
> Hay varias formas, más o menos equivalentes.
>
> La idea, siempre, es considerar una función que varía muy rápidamente en
> una cierta región de forma aproximadamente bidimensional (por ejemplo,
> una película, con un espesor muy pequeño).
>
> Por hacerlo sencillo, supongamos que la película es horizontal, de forma
> que el integrando se puede aproximar por
>
> f(x,y,z) = 0 z < 0
>
> f(x,y,z) = F(x,y)/epsilon 0 < z < epsilon
>
> f(x,y,z) = 0 z > epsilon
>
> siendo epsilon una cantidad muy pequeña. Fíjate que es importante quela
> densidad es inversamente proporcional a epsilon, de forma que su
> integral permanezca finita. Si no, la integral se iría a cero.
>
> La integral de volumen de esta cantidad será
>
> I = int f(x,y,z) dx dy dz = int(int f(x,y,z) dz) dx dy
>
> y en esta integral en z, podemos quedarnos con el intervalo (0,epsilon)
> pues el único en que f no es nula
>
> I = int(int_0^epsilon F(x,y)/epsilon dz) dx dy
>
> pero F(x,y) no depende de z, por lo que
>
> I = int F(x,y) dx dy
>
> y ya es una integral de superficie. Importante es que el integrando no
> es el mismo. Para hallar el potencial eléctrico causado por una carga
> distribuida en una superficie, lo que aparece es la densidad superficial
> de carga, que es la integral de la de volumen.
>
> La idea es que si tienes una fina película de espesor epsilon, en la
> cual hay una densidad volumétrica (muy grande) de carga, rho, al pasar a
> una integral de superficie aparece la densidad superficial, sigma,
> definida como
>
> sigma = lim_(epsilon->0) epsilon rho
>
> Si la superficie no es horizontal, sino curva, el tratamiento es
> análogo, sin más que considerar que localmente, en el entorno de cada
> punto, se puede aproximar por un plano. "z" entonces sería la coordenada
> perpendicular al plano tangente.
>
> Otra forma, que es la misma en realidad, de tratar este problema es
> empleando deltas de Dirac.
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> --
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> Antonio

Muchisimas gracias!!