Y otro más de la X OMCC:

Halle un polinomio P(x) con coeficientes reales tal que

(x+10)P(2x) = (8x-32)P(x+6)

para todo x real y P(1) = 210.

jhn

jhnieto***gmail.com escribió:
> Y otro más de la X OMCC:
>
> Halle un polinomio P(x) con coeficientes reales tal que
>
> (x+10)P(2x) = (8x-32)P(x+6)
>
> para todo x real y P(1) = 210.
>

Veamos primero el grado del polinomio. Si es de grado n, debe ser

x(2x)^n = 8x(x)^n

de donde n =3.

Por otro lado, si hacemos x= -10, tenemos que

0 P(-20) = -112 P(-4)

por lo que P(-4) = 0.

Haciendo x = 4 resulta

14 P(8) = 0

y P(8) = 0. Por tanto es de la forma

P(x) = (ax+b)(x+4)(x-8)

Sustituyendo la relación definitoria

(x+10)(2ax+b)(2x+4)(2x-8) =

(8x-32)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)

Simplificando

4(x+10)(2ax+b)(x+2)(x-4) = 8(x-4)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)

(2ax+b)(x+2) = 2(ax+b+6a)(x-2)

Igualando coeficientes

2a = 2a

b + 4a = -4a +2b + 12a

2b = -4(b+6a)

con solución

b = -4a

Por tanto

P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8)

el valor de A sale de que en x=1 vale 210

210 = P(1) = -3*5*(-7)a = 105a ---> a = 2

P(x) = 2(x-4)(x+4)(x-8) = 2x^3 - 16x^2 - 32x + 256

--

Antonio

jhnieto***gmail.com escribió:
> Y otro más de la X OMCC:
>
> Halle un polinomio P(x) con coeficientes reales tal que
>
> (x+10)P(2x) = (8x-32)P(x+6)
>
> para todo x real y P(1) = 210.
>

Veamos primero el grado del polinomio. Si es de grado n, debe ser

x(2x)^n = 8x(x)^n

de donde n =3.

Por otro lado, si hacemos x= -10, tenemos que

0 P(-20) = -112 P(-4)

por lo que P(-4) = 0.

Haciendo x = 4 resulta

14 P(8) = 0

y P(8) = 0. Por tanto es de la forma

P(x) = (ax+b)(x+4)(x-8)

Sustituyendo la relación definitoria

(x+10)(2ax+b)(2x+4)(2x-8) =

(8x-32)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)

Simplificando

4(x+10)(2ax+b)(x+2)(x-4) = 8(x-4)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)

(2ax+b)(x+2) = 2(ax+b+6a)(x-2)

Igualando coeficientes

2a = 2a

b + 4a = -4a +2b + 12a

2b = -4(b+6a)

con solución

b = -4a

Por tanto

P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8)

el valor de A sale de que en x=1 vale 210

210 = P(1) = -3*5*(-7)a = 105a ---> a = 2

P(x) = 2(x-4)(x+4)(x-8) = 2x^3 - 16x^2 - 32x + 256

--

Antonio

jhnieto***gmail.com escribió:
> Y otro más de la X OMCC:
>
> Halle un polinomio P(x) con coeficientes reales tal que
>
> (x+10)P(2x) = (8x-32)P(x+6)
>
> para todo x real y P(1) = 210.
>

Veamos primero el grado del polinomio. Si es de grado n, debe ser

x(2x)^n = 8x(x)^n

de donde n =3.

Por otro lado, si hacemos x= -10, tenemos que

0 P(-20) = -112 P(-4)

por lo que P(-4) = 0.

Haciendo x = 4 resulta

14 P(8) = 0

y P(8) = 0. Por tanto es de la forma

P(x) = (ax+b)(x+4)(x-8)

Sustituyendo la relación definitoria

(x+10)(2ax+b)(2x+4)(2x-8) =

(8x-32)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)

Simplificando

4(x+10)(2ax+b)(x+2)(x-4) = 8(x-4)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)

(2ax+b)(x+2) = 2(ax+b+6a)(x-2)

Igualando coeficientes

2a = 2a

b + 4a = -4a +2b + 12a

2b = -4(b+6a)

con solución

b = -4a

Por tanto

P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8)

el valor de A sale de que en x=1 vale 210

210 = P(1) = -3*5*(-7)a = 105a ---> a = 2

P(x) = 2(x-4)(x+4)(x-8) = 2x^3 - 16x^2 - 32x + 256

--

Antonio

On 17 jul, 10:44, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> jhni...***gmail.com escribió:
>
> > Y otro más de la X OMCC:
>
> > Halle un polinomio P(x) con coeficientes reales tal que
>
> > (x+10)P(2x) = (8x-32)P(x+6)
>
> > para todo ***x real y P(1) = 210.
>
> Veamos primero el grado del polinomio. Si es de grado n, debe ser
>
> *** ***x(2x)^n ***= 8x(x)^n
>
> de donde n =3.
>
> Por otro lado, si hacemos x= -10, tenemos que
>
> *** ***0 P(-20) = -112 P(-4)
>
> por lo que P(-4) = 0.
>
> Haciendo x = 4 resulta
>
> *** ***14 P(8) = 0
>
> y P(8) = 0. Por tanto es de la forma
>
> *** P(x) = (ax+b)(x+4)(x-8)
>
> Sustituyendo la relación definitoria
>
> *** (x+10)(2ax+b)(2x+4)(2x-8) =
>
> *** (8x-32)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)
>
> Simplificando
>
> *** 4(x+10)(2ax+b)(x+2)(x-4) = 8(x-4)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)
>
> *** (2ax+b)(x+2) = 2(ax+b+6a)(x-2)
>
> Igualando coeficientes
>
> *** ***2a = 2a
>
> *** ***b + 4a = -4a +2b + 12a
>
> *** ***2b = -4(b+6a)
>
> con solución
>
> *** ***b ***= -4a
>
> Por tanto
>
> *** ***P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8)
>
> el valor de A sale de que en x=1 vale 210
>
> *** ***210 = P(1) = -3*5*(-7)a = 105a ---> a = 2
>
> *** ***P(x) = 2(x-4)(x+4)(x-8) = 2x^3 - 16x^2 - 32x + 256
>
> --
>
> *** ***Antonio

Correcto. Se puede acortar un poco la solución hallando
la tercera raíz, ya que como P(8)=0, poniendo x=2
queda 12P(4) = -16P(8) = 0, y llegas de una vez a que
P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8), etc.

Saludos,

jhn

On 17 jul, 10:44, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> jhni...***gmail.com escribió:
>
> > Y otro más de la X OMCC:
>
> > Halle un polinomio P(x) con coeficientes reales tal que
>
> > (x+10)P(2x) = (8x-32)P(x+6)
>
> > para todo ***x real y P(1) = 210.
>
> Veamos primero el grado del polinomio. Si es de grado n, debe ser
>
> *** ***x(2x)^n ***= 8x(x)^n
>
> de donde n =3.
>
> Por otro lado, si hacemos x= -10, tenemos que
>
> *** ***0 P(-20) = -112 P(-4)
>
> por lo que P(-4) = 0.
>
> Haciendo x = 4 resulta
>
> *** ***14 P(8) = 0
>
> y P(8) = 0. Por tanto es de la forma
>
> *** P(x) = (ax+b)(x+4)(x-8)
>
> Sustituyendo la relación definitoria
>
> *** (x+10)(2ax+b)(2x+4)(2x-8) =
>
> *** (8x-32)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)
>
> Simplificando
>
> *** 4(x+10)(2ax+b)(x+2)(x-4) = 8(x-4)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)
>
> *** (2ax+b)(x+2) = 2(ax+b+6a)(x-2)
>
> Igualando coeficientes
>
> *** ***2a = 2a
>
> *** ***b + 4a = -4a +2b + 12a
>
> *** ***2b = -4(b+6a)
>
> con solución
>
> *** ***b ***= -4a
>
> Por tanto
>
> *** ***P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8)
>
> el valor de A sale de que en x=1 vale 210
>
> *** ***210 = P(1) = -3*5*(-7)a = 105a ---> a = 2
>
> *** ***P(x) = 2(x-4)(x+4)(x-8) = 2x^3 - 16x^2 - 32x + 256
>
> --
>
> *** ***Antonio

Correcto. Se puede acortar un poco la solución hallando
la tercera raíz, ya que como P(8)=0, poniendo x=2
queda 12P(4) = -16P(8) = 0, y llegas de una vez a que
P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8), etc.

Saludos,

jhn

On 17 jul, 10:44, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> jhni...***gmail.com escribió:
>
> > Y otro más de la X OMCC:
>
> > Halle un polinomio P(x) con coeficientes reales tal que
>
> > (x+10)P(2x) = (8x-32)P(x+6)
>
> > para todo ***x real y P(1) = 210.
>
> Veamos primero el grado del polinomio. Si es de grado n, debe ser
>
> *** ***x(2x)^n ***= 8x(x)^n
>
> de donde n =3.
>
> Por otro lado, si hacemos x= -10, tenemos que
>
> *** ***0 P(-20) = -112 P(-4)
>
> por lo que P(-4) = 0.
>
> Haciendo x = 4 resulta
>
> *** ***14 P(8) = 0
>
> y P(8) = 0. Por tanto es de la forma
>
> *** P(x) = (ax+b)(x+4)(x-8)
>
> Sustituyendo la relación definitoria
>
> *** (x+10)(2ax+b)(2x+4)(2x-8) =
>
> *** (8x-32)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)
>
> Simplificando
>
> *** 4(x+10)(2ax+b)(x+2)(x-4) = 8(x-4)(ax+b+6a)(x+10)(x-2)
>
> *** (2ax+b)(x+2) = 2(ax+b+6a)(x-2)
>
> Igualando coeficientes
>
> *** ***2a = 2a
>
> *** ***b + 4a = -4a +2b + 12a
>
> *** ***2b = -4(b+6a)
>
> con solución
>
> *** ***b ***= -4a
>
> Por tanto
>
> *** ***P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8)
>
> el valor de A sale de que en x=1 vale 210
>
> *** ***210 = P(1) = -3*5*(-7)a = 105a ---> a = 2
>
> *** ***P(x) = 2(x-4)(x+4)(x-8) = 2x^3 - 16x^2 - 32x + 256
>
> --
>
> *** ***Antonio

Correcto. Se puede acortar un poco la solución hallando
la tercera raíz, ya que como P(8)=0, poniendo x=2
queda 12P(4) = -16P(8) = 0, y llegas de una vez a que
P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8), etc.

Saludos,

jhn

jhnieto***gmail.com escribió:
> On 17 jul, 10:44, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> jhni...***gmail.com escribió:
>>
>>> Y otro más de la X OMCC:
>>> Halle un polinomio P(x) con coeficientes reales tal que
>>> (x+10)P(2x) = (8x-32)P(x+6)
>>> para todo x real y P(1) = 210.
>
> Correcto. Se puede acortar un poco la solución hallando
> la tercera raÃ***z, ya que como P(8)=0, poniendo x=2
> queda 12P(4) = -16P(8) = 0, y llegas de una vez a que
> P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8), etc.
>

Otra forma de hacerlo es observando que si hacemos el cambio de variable

x = y + 6

nos queda

(y+16)P(2y+12) =(8y+16)P(y+12)

Definiendo

Q(y) = P(y+12) = P(x+6)

tenemos

Q(2y) = (8y+16)/(y+16) Q(y)

y si reiteramos esta ecuación

Q(4y) = (16y+16)(8y+16)/(2y+16)(y+16) Q(y)

Q(8y) = (32y+16)(16y+16)(8y+16)/(4y+16)(2y+16)(y+16) Q(y)

y a partir de ahÃ*** comienzan a cancelarse factores en el numerador y el
denominador. De aquÃ*** que

Q(y) = A(y+16)(2y+16)(4y+16) = P(y+12)

P(x+6) = A(x+10)(2x+4)(4x-8)

P(x) = 8A(x+4)(x-4)(x-8)

y se halla igualmente A.

De hecho, este método me recuerda que en tiempos se puso por aquÃ*** uno
muy parecido... A ver si lo encuentro.

AaaquÃ*** está:

http://groups.google.com/group/es.ci...02a1f6d7e64c92



--

Antonio

jhnieto***gmail.com escribió:
> On 17 jul, 10:44, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> jhni...***gmail.com escribió:
>>
>>> Y otro más de la X OMCC:
>>> Halle un polinomio P(x) con coeficientes reales tal que
>>> (x+10)P(2x) = (8x-32)P(x+6)
>>> para todo x real y P(1) = 210.
>
> Correcto. Se puede acortar un poco la solución hallando
> la tercera raÃ***z, ya que como P(8)=0, poniendo x=2
> queda 12P(4) = -16P(8) = 0, y llegas de una vez a que
> P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8), etc.
>

Otra forma de hacerlo es observando que si hacemos el cambio de variable

x = y + 6

nos queda

(y+16)P(2y+12) =(8y+16)P(y+12)

Definiendo

Q(y) = P(y+12) = P(x+6)

tenemos

Q(2y) = (8y+16)/(y+16) Q(y)

y si reiteramos esta ecuación

Q(4y) = (16y+16)(8y+16)/(2y+16)(y+16) Q(y)

Q(8y) = (32y+16)(16y+16)(8y+16)/(4y+16)(2y+16)(y+16) Q(y)

y a partir de ahÃ*** comienzan a cancelarse factores en el numerador y el
denominador. De aquÃ*** que

Q(y) = A(y+16)(2y+16)(4y+16) = P(y+12)

P(x+6) = A(x+10)(2x+4)(4x-8)

P(x) = 8A(x+4)(x-4)(x-8)

y se halla igualmente A.

De hecho, este método me recuerda que en tiempos se puso por aquÃ*** uno
muy parecido... A ver si lo encuentro.

AaaquÃ*** está:

http://groups.google.com/group/es.ci...02a1f6d7e64c92



--

Antonio

jhnieto***gmail.com escribió:
> On 17 jul, 10:44, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> jhni...***gmail.com escribió:
>>
>>> Y otro más de la X OMCC:
>>> Halle un polinomio P(x) con coeficientes reales tal que
>>> (x+10)P(2x) = (8x-32)P(x+6)
>>> para todo x real y P(1) = 210.
>
> Correcto. Se puede acortar un poco la solución hallando
> la tercera raÃ***z, ya que como P(8)=0, poniendo x=2
> queda 12P(4) = -16P(8) = 0, y llegas de una vez a que
> P(x) = a(x-4)(x+4)(x-8), etc.
>

Otra forma de hacerlo es observando que si hacemos el cambio de variable

x = y + 6

nos queda

(y+16)P(2y+12) =(8y+16)P(y+12)

Definiendo

Q(y) = P(y+12) = P(x+6)

tenemos

Q(2y) = (8y+16)/(y+16) Q(y)

y si reiteramos esta ecuación

Q(4y) = (16y+16)(8y+16)/(2y+16)(y+16) Q(y)

Q(8y) = (32y+16)(16y+16)(8y+16)/(4y+16)(2y+16)(y+16) Q(y)

y a partir de ahÃ*** comienzan a cancelarse factores en el numerador y el
denominador. De aquÃ*** que

Q(y) = A(y+16)(2y+16)(4y+16) = P(y+12)

P(x+6) = A(x+10)(2x+4)(4x-8)

P(x) = 8A(x+4)(x-4)(x-8)

y se halla igualmente A.

De hecho, este método me recuerda que en tiempos se puso por aquÃ*** uno
muy parecido... A ver si lo encuentro.

AaaquÃ*** está:

http://groups.google.com/group/es.ci...02a1f6d7e64c92



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Antonio