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22-07-2008, 08:39:06
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 Triángulo aritmético! Supongamos que un lado de un triángulo es media aritmética de los otros dos.Concretamente supongamos que 2a = b + c.Demostrar : (i) <A <= 60º (ii) h(A) = 3r (la altura correspondiente al vértice A es 3 veces el inradio del triángulo) (iii) OM = R - r siendo O el circuncentro del triángulo,R el circunradio y M el punto medio correspondiente al lado BC. Saludos.  |
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22-07-2008, 14:46:53
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| Re: Triángulo aritmético! Javier Esquinas escribió: > Supongamos que un lado de un triángulo es media aritmética de los > otros dos.Concretamente supongamos que 2a = b + c.Demostrar : > > (i) <A <= 60º > Por el teorema del coseno b^2 + c^2 + 2bc = 4(b^2+c^2 -2bc cos A) de donde cos A = (3/8)(b/c + c/b) -1/4 pero b/c + c/b >=2 así que cosA >= 3/4 - 1/4 = 1/2 A <= pi/3 > (ii) h(A) = 3r (la altura correspondiente al vértice A es 3 veces el > inradio del triángulo) Puesto que S = r s con S el área y s el semiperímetro, S = ha/2 queda ha/2 = r(b+c+a)/2 ha/2 = 3ra/2 h = 3r/2 > > (iii) OM = R - r siendo O el circuncentro del triángulo,R el > circunradio y M el punto medio correspondiente al lado BC. Esta luego -- Antonio |
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22-07-2008, 14:46:53
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| Re: Triángulo aritmético! Javier Esquinas escribió: > Supongamos que un lado de un triángulo es media aritmética de los > otros dos.Concretamente supongamos que 2a = b + c.Demostrar : > > (i) <A <= 60º > Por el teorema del coseno b^2 + c^2 + 2bc = 4(b^2+c^2 -2bc cos A) de donde cos A = (3/8)(b/c + c/b) -1/4 pero b/c + c/b >=2 así que cosA >= 3/4 - 1/4 = 1/2 A <= pi/3 > (ii) h(A) = 3r (la altura correspondiente al vértice A es 3 veces el > inradio del triángulo) Puesto que S = r s con S el área y s el semiperímetro, S = ha/2 queda ha/2 = r(b+c+a)/2 ha/2 = 3ra/2 h = 3r/2 > > (iii) OM = R - r siendo O el circuncentro del triángulo,R el > circunradio y M el punto medio correspondiente al lado BC. Esta luego -- Antonio |
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22-07-2008, 14:46:53
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| Re: Triángulo aritmético! Javier Esquinas escribió: > Supongamos que un lado de un triángulo es media aritmética de los > otros dos.Concretamente supongamos que 2a = b + c.Demostrar : > > (i) <A <= 60º > Por el teorema del coseno b^2 + c^2 + 2bc = 4(b^2+c^2 -2bc cos A) de donde cos A = (3/8)(b/c + c/b) -1/4 pero b/c + c/b >=2 así que cosA >= 3/4 - 1/4 = 1/2 A <= pi/3 > (ii) h(A) = 3r (la altura correspondiente al vértice A es 3 veces el > inradio del triángulo) Puesto que S = r s con S el área y s el semiperímetro, S = ha/2 queda ha/2 = r(b+c+a)/2 ha/2 = 3ra/2 h = 3r/2 > > (iii) OM = R - r siendo O el circuncentro del triángulo,R el > circunradio y M el punto medio correspondiente al lado BC. Esta luego -- Antonio |
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