Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>>> Antonio González wrote:
>>>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>>>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>>>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>>>> tangentes en el vértice común.
>>>>
>>>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los
>>>> centros de las circunferencias a las que pertenecen.
>>> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia
>>> circunscrita al triángulo ... Asi que el radio y el centro de los
>>> tres es el de la circunferencia circunscrita.
>>>
>> Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por
>> dentro* del triángulo original.
>
> Cada par de centros de estos arcos debe estar alineado con el vértice común,
> y además cada uno de ellos debe encontrarse sobre la mediatriz
> correspondiente. En estas condiciones, queda como ejercicio para el atento
> lector comprobar que la solución existe y es única.
>
> Entonces, estas tres circunferencias deben ser autoinversas en la inversión
> en la circunferencia circunscrita al triángulo, y por tanto son ortogonales
> a ella. Es decir, sus centros se encuentran en las perpendiculares por cada
> vértice al radio que lo une con el circuncentro M.
>
> El radio de la correspondiente al lado a es R_a = R*tg(A), puesto que el
> ángulo que forma la mediatriz del lado a con los segmentos MB y MC es
> precisamente el ángulo A. La posición del centro es sobre la mediatriz del
> lado correspondiente, evidentemente, y a una distancia d_a = R/cos(A) desde
> el circuncentro, medida en el sentido AM^, considerando el signo +/-.
>

Una fórmula simple (cuya demostración queda para el atento lector) es que

R1 = abc/(b^2+c^2-a^2)

y sus correspondientes rotaciones.



--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>>> Antonio González wrote:
>>>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>>>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>>>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>>>> tangentes en el vértice común.
>>>>
>>>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los
>>>> centros de las circunferencias a las que pertenecen.
>>> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia
>>> circunscrita al triángulo ... Asi que el radio y el centro de los
>>> tres es el de la circunferencia circunscrita.
>>>
>> Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por
>> dentro* del triángulo original.
>
> Cada par de centros de estos arcos debe estar alineado con el vértice común,
> y además cada uno de ellos debe encontrarse sobre la mediatriz
> correspondiente. En estas condiciones, queda como ejercicio para el atento
> lector comprobar que la solución existe y es única.
>
> Entonces, estas tres circunferencias deben ser autoinversas en la inversión
> en la circunferencia circunscrita al triángulo, y por tanto son ortogonales
> a ella. Es decir, sus centros se encuentran en las perpendiculares por cada
> vértice al radio que lo une con el circuncentro M.
>
> El radio de la correspondiente al lado a es R_a = R*tg(A), puesto que el
> ángulo que forma la mediatriz del lado a con los segmentos MB y MC es
> precisamente el ángulo A. La posición del centro es sobre la mediatriz del
> lado correspondiente, evidentemente, y a una distancia d_a = R/cos(A) desde
> el circuncentro, medida en el sentido AM^, considerando el signo +/-.
>

Una fórmula simple (cuya demostración queda para el atento lector) es que

R1 = abc/(b^2+c^2-a^2)

y sus correspondientes rotaciones.



--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>>> Antonio González wrote:
>>>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>>>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>>>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>>>> tangentes en el vértice común.
>>>>
>>>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los
>>>> centros de las circunferencias a las que pertenecen.
>>> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia
>>> circunscrita al triángulo ... Asi que el radio y el centro de los
>>> tres es el de la circunferencia circunscrita.
>>>
>> Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por
>> dentro* del triángulo original.
>
> Cada par de centros de estos arcos debe estar alineado con el vértice común,
> y además cada uno de ellos debe encontrarse sobre la mediatriz
> correspondiente. En estas condiciones, queda como ejercicio para el atento
> lector comprobar que la solución existe y es única.
>
> Entonces, estas tres circunferencias deben ser autoinversas en la inversión
> en la circunferencia circunscrita al triángulo, y por tanto son ortogonales
> a ella. Es decir, sus centros se encuentran en las perpendiculares por cada
> vértice al radio que lo une con el circuncentro M.
>
> El radio de la correspondiente al lado a es R_a = R*tg(A), puesto que el
> ángulo que forma la mediatriz del lado a con los segmentos MB y MC es
> precisamente el ángulo A. La posición del centro es sobre la mediatriz del
> lado correspondiente, evidentemente, y a una distancia d_a = R/cos(A) desde
> el circuncentro, medida en el sentido AM^, considerando el signo +/-.
>

Una fórmula simple (cuya demostración queda para el atento lector) es que

R1 = abc/(b^2+c^2-a^2)

y sus correspondientes rotaciones.



--

Antonio

Antonio González wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>> Antonio González wrote:
>>> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>>>> Antonio González wrote:
>>>>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>>>>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>>>>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>>>>> tangentes en el vértice común.
>>>>>
>>>>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los
>>>>> centros de las circunferencias a las que pertenecen.
>>>> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia
>>>> circunscrita al triángulo ... Asi que el radio y el centro de los
>>>> tres es el de la circunferencia circunscrita.
>>>>
>>> Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por
>>> dentro* del triángulo original.
>>
>> Cada par de centros de estos arcos debe estar alineado con el
>> vértice común, y además cada uno de ellos debe encontrarse sobre la
>> mediatriz correspondiente. En estas condiciones, queda como
>> ejercicio para el atento lector comprobar que la solución existe y
>> es única. Entonces, estas tres circunferencias deben ser autoinversas en
>> la
>> inversión en la circunferencia circunscrita al triángulo, y por
>> tanto son ortogonales a ella. Es decir, sus centros se encuentran en
>> las perpendiculares por cada vértice al radio que lo une con el
>> circuncentro M. El radio de la correspondiente al lado a es R_a =
>> R*tg(A), puesto
>> que el ángulo que forma la mediatriz del lado a con los segmentos MB
>> y MC es precisamente el ángulo A. La posición del centro es sobre la
>> mediatriz del lado correspondiente, evidentemente, y a una distancia
>> d_a = R/cos(A) desde el circuncentro, medida en el sentido AM^,
>> considerando el signo +/-.
>
> Una fórmula simple (cuya demostración queda para el atento lector) es
> que
> R1 = abc/(b^2+c^2-a^2)
>
> y sus correspondientes rotaciones.

Tenemos, por el T del seno, que a/sen(A) = 2R, por lo que

R_a = R*sen(A)/cos(A) = a/(2cos(A))

Aplicando ahora el del coseno,

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)

R_a = abc/(b^2 + c^2 - a^2)

Para la distancia al circuncentro, tenemos

d_a = R_a/sen(A) = 2bcR/(a^2 + b^2 - c^2)

= ab^2c^2/(2S(a^2 + b^2 - c^2))

= 2ab^2c^2/((a^2 + b^2 - c^2)rq((a + b + c)(a + b - c)(a + c - b)(b +
c - a)))

Y las rotaciones correspondientes, claro.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>> Antonio González wrote:
>>> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>>>> Antonio González wrote:
>>>>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>>>>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>>>>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>>>>> tangentes en el vértice común.
>>>>>
>>>>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los
>>>>> centros de las circunferencias a las que pertenecen.
>>>> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia
>>>> circunscrita al triángulo ... Asi que el radio y el centro de los
>>>> tres es el de la circunferencia circunscrita.
>>>>
>>> Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por
>>> dentro* del triángulo original.
>>
>> Cada par de centros de estos arcos debe estar alineado con el
>> vértice común, y además cada uno de ellos debe encontrarse sobre la
>> mediatriz correspondiente. En estas condiciones, queda como
>> ejercicio para el atento lector comprobar que la solución existe y
>> es única. Entonces, estas tres circunferencias deben ser autoinversas en
>> la
>> inversión en la circunferencia circunscrita al triángulo, y por
>> tanto son ortogonales a ella. Es decir, sus centros se encuentran en
>> las perpendiculares por cada vértice al radio que lo une con el
>> circuncentro M. El radio de la correspondiente al lado a es R_a =
>> R*tg(A), puesto
>> que el ángulo que forma la mediatriz del lado a con los segmentos MB
>> y MC es precisamente el ángulo A. La posición del centro es sobre la
>> mediatriz del lado correspondiente, evidentemente, y a una distancia
>> d_a = R/cos(A) desde el circuncentro, medida en el sentido AM^,
>> considerando el signo +/-.
>
> Una fórmula simple (cuya demostración queda para el atento lector) es
> que
> R1 = abc/(b^2+c^2-a^2)
>
> y sus correspondientes rotaciones.

Tenemos, por el T del seno, que a/sen(A) = 2R, por lo que

R_a = R*sen(A)/cos(A) = a/(2cos(A))

Aplicando ahora el del coseno,

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)

R_a = abc/(b^2 + c^2 - a^2)

Para la distancia al circuncentro, tenemos

d_a = R_a/sen(A) = 2bcR/(a^2 + b^2 - c^2)

= ab^2c^2/(2S(a^2 + b^2 - c^2))

= 2ab^2c^2/((a^2 + b^2 - c^2)rq((a + b + c)(a + b - c)(a + c - b)(b +
c - a)))

Y las rotaciones correspondientes, claro.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>> Antonio González wrote:
>>> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>>>> Antonio González wrote:
>>>>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>>>>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>>>>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>>>>> tangentes en el vértice común.
>>>>>
>>>>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los
>>>>> centros de las circunferencias a las que pertenecen.
>>>> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia
>>>> circunscrita al triángulo ... Asi que el radio y el centro de los
>>>> tres es el de la circunferencia circunscrita.
>>>>
>>> Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por
>>> dentro* del triángulo original.
>>
>> Cada par de centros de estos arcos debe estar alineado con el
>> vértice común, y además cada uno de ellos debe encontrarse sobre la
>> mediatriz correspondiente. En estas condiciones, queda como
>> ejercicio para el atento lector comprobar que la solución existe y
>> es única. Entonces, estas tres circunferencias deben ser autoinversas en
>> la
>> inversión en la circunferencia circunscrita al triángulo, y por
>> tanto son ortogonales a ella. Es decir, sus centros se encuentran en
>> las perpendiculares por cada vértice al radio que lo une con el
>> circuncentro M. El radio de la correspondiente al lado a es R_a =
>> R*tg(A), puesto
>> que el ángulo que forma la mediatriz del lado a con los segmentos MB
>> y MC es precisamente el ángulo A. La posición del centro es sobre la
>> mediatriz del lado correspondiente, evidentemente, y a una distancia
>> d_a = R/cos(A) desde el circuncentro, medida en el sentido AM^,
>> considerando el signo +/-.
>
> Una fórmula simple (cuya demostración queda para el atento lector) es
> que
> R1 = abc/(b^2+c^2-a^2)
>
> y sus correspondientes rotaciones.

Tenemos, por el T del seno, que a/sen(A) = 2R, por lo que

R_a = R*sen(A)/cos(A) = a/(2cos(A))

Aplicando ahora el del coseno,

cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)

R_a = abc/(b^2 + c^2 - a^2)

Para la distancia al circuncentro, tenemos

d_a = R_a/sen(A) = 2bcR/(a^2 + b^2 - c^2)

= ab^2c^2/(2S(a^2 + b^2 - c^2))

= 2ab^2c^2/((a^2 + b^2 - c^2)rq((a + b + c)(a + b - c)(a + c - b)(b +
c - a)))

Y las rotaciones correspondientes, claro.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:

>
> ¿Cuanto vale el área de este triángulo curvilineo?
>

Pues el área del triángulo de lados R_a+R_b, R_a+R_c, R_b+R_c menos el
área de los tres correspondientes sectores circulares, esto es

S = rq(Ra Rb Rc(Ra+Rb+Rc)) - Ra^2 alfa/2 - Rb^2 beta/2 - Rc^2 gamma/2

donde alfa verifica, por el teorema del coseno

cos(alfa) = ((Ra+Rb)^2 + (Ra+Rc)^2 - (Rb+Rc)^2)/(2(Ra+Rb)(Ra+Rc)) =

= 1 - 2RbRc/((Ra+Rb)(Ra+Rc))

esto es

sen(alfa/2) = rq(RbRc/((Ra+Rb)(Ra+Rc))) = (b^2+c^2-a^2)/(bc)

y, como dijimos antes

Ra = abc/(b^2+c^2-a^2)

y sus rotaciones.


--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:

>
> ¿Cuanto vale el área de este triángulo curvilineo?
>

Pues el área del triángulo de lados R_a+R_b, R_a+R_c, R_b+R_c menos el
área de los tres correspondientes sectores circulares, esto es

S = rq(Ra Rb Rc(Ra+Rb+Rc)) - Ra^2 alfa/2 - Rb^2 beta/2 - Rc^2 gamma/2

donde alfa verifica, por el teorema del coseno

cos(alfa) = ((Ra+Rb)^2 + (Ra+Rc)^2 - (Rb+Rc)^2)/(2(Ra+Rb)(Ra+Rc)) =

= 1 - 2RbRc/((Ra+Rb)(Ra+Rc))

esto es

sen(alfa/2) = rq(RbRc/((Ra+Rb)(Ra+Rc))) = (b^2+c^2-a^2)/(bc)

y, como dijimos antes

Ra = abc/(b^2+c^2-a^2)

y sus rotaciones.


--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:

>
> ¿Cuanto vale el área de este triángulo curvilineo?
>

Pues el área del triángulo de lados R_a+R_b, R_a+R_c, R_b+R_c menos el
área de los tres correspondientes sectores circulares, esto es

S = rq(Ra Rb Rc(Ra+Rb+Rc)) - Ra^2 alfa/2 - Rb^2 beta/2 - Rc^2 gamma/2

donde alfa verifica, por el teorema del coseno

cos(alfa) = ((Ra+Rb)^2 + (Ra+Rc)^2 - (Rb+Rc)^2)/(2(Ra+Rb)(Ra+Rc)) =

= 1 - 2RbRc/((Ra+Rb)(Ra+Rc))

esto es

sen(alfa/2) = rq(RbRc/((Ra+Rb)(Ra+Rc))) = (b^2+c^2-a^2)/(bc)

y, como dijimos antes

Ra = abc/(b^2+c^2-a^2)

y sus rotaciones.


--

Antonio