Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo curvilíneo
formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de circunferencia
pasa por dos de los vértices, siendo los arcos tangentes en el vértice
común.

Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los centros
de las circunferencias a las que pertenecen.

--

Antonio

Antonio González wrote:
> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
> tangentes en el vértice común.
>
> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los centros
> de las circunferencias a las que pertenecen.

Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia circunscrita al
triángulo ... Asi que el radio y el centro de los tres es el de la
circunferencia circunscrita.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
> tangentes en el vértice común.
>
> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los centros
> de las circunferencias a las que pertenecen.

Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia circunscrita al
triángulo ... Asi que el radio y el centro de los tres es el de la
circunferencia circunscrita.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
> tangentes en el vértice común.
>
> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los centros
> de las circunferencias a las que pertenecen.

Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia circunscrita al
triángulo ... Asi que el radio y el centro de los tres es el de la
circunferencia circunscrita.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>> tangentes en el vértice común.
>>
>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los centros
>> de las circunferencias a las que pertenecen.
>
> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia circunscrita al
> triángulo ... Asi que el radio y el centro de los tres es el de la
> circunferencia circunscrita.
>

Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por dentro*
del triángulo original.

Por cierto, ¡bienvuelto!

--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>> tangentes en el vértice común.
>>
>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los centros
>> de las circunferencias a las que pertenecen.
>
> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia circunscrita al
> triángulo ... Asi que el radio y el centro de los tres es el de la
> circunferencia circunscrita.
>

Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por dentro*
del triángulo original.

Por cierto, ¡bienvuelto!

--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Antonio González wrote:
>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>> tangentes en el vértice común.
>>
>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los centros
>> de las circunferencias a las que pertenecen.
>
> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia circunscrita al
> triángulo ... Asi que el radio y el centro de los tres es el de la
> circunferencia circunscrita.
>

Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por dentro*
del triángulo original.

Por cierto, ¡bienvuelto!

--

Antonio

Antonio González wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>> Antonio González wrote:
>>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>>> tangentes en el vértice común.
>>>
>>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los
>>> centros de las circunferencias a las que pertenecen.
>>
>> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia
>> circunscrita al triángulo ... Asi que el radio y el centro de los
>> tres es el de la circunferencia circunscrita.
>>
>
> Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por
> dentro* del triángulo original.

Cada par de centros de estos arcos debe estar alineado con el vértice común,
y además cada uno de ellos debe encontrarse sobre la mediatriz
correspondiente. En estas condiciones, queda como ejercicio para el atento
lector comprobar que la solución existe y es única.

Entonces, estas tres circunferencias deben ser autoinversas en la inversión
en la circunferencia circunscrita al triángulo, y por tanto son ortogonales
a ella. Es decir, sus centros se encuentran en las perpendiculares por cada
vértice al radio que lo une con el circuncentro M.

El radio de la correspondiente al lado a es R_a = R*tg(A), puesto que el
ángulo que forma la mediatriz del lado a con los segmentos MB y MC es
precisamente el ángulo A. La posición del centro es sobre la mediatriz del
lado correspondiente, evidentemente, y a una distancia d_a = R/cos(A) desde
el circuncentro, medida en el sentido AM^, considerando el signo +/-.

Si el triángulo es rectángulo, el arco correspondiente al ángulo recto se
transforma en la hipotenusa. Y si es obtusángulo, los arcos corresponsientes
a los lados menores son tangentes interiormante al correspondiente al lado
mayor.

¿Cuanto vale el área de este triángulo curvilineo?

> Por cierto, ¡bienvuelto!

¡Bien hallados!

(Las cataratas de Iguazú son espectaculares y la geografia de Rio de Janeiro
realmente alucinante ...)


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Antonio González wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>> Antonio González wrote:
>>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>>> tangentes en el vértice común.
>>>
>>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los
>>> centros de las circunferencias a las que pertenecen.
>>
>> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia
>> circunscrita al triángulo ... Asi que el radio y el centro de los
>> tres es el de la circunferencia circunscrita.
>>
>
> Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por
> dentro* del triángulo original.

Cada par de centros de estos arcos debe estar alineado con el vértice común,
y además cada uno de ellos debe encontrarse sobre la mediatriz
correspondiente. En estas condiciones, queda como ejercicio para el atento
lector comprobar que la solución existe y es única.

Entonces, estas tres circunferencias deben ser autoinversas en la inversión
en la circunferencia circunscrita al triángulo, y por tanto son ortogonales
a ella. Es decir, sus centros se encuentran en las perpendiculares por cada
vértice al radio que lo une con el circuncentro M.

El radio de la correspondiente al lado a es R_a = R*tg(A), puesto que el
ángulo que forma la mediatriz del lado a con los segmentos MB y MC es
precisamente el ángulo A. La posición del centro es sobre la mediatriz del
lado correspondiente, evidentemente, y a una distancia d_a = R/cos(A) desde
el circuncentro, medida en el sentido AM^, considerando el signo +/-.

Si el triángulo es rectángulo, el arco correspondiente al ángulo recto se
transforma en la hipotenusa. Y si es obtusángulo, los arcos corresponsientes
a los lados menores son tangentes interiormante al correspondiente al lado
mayor.

¿Cuanto vale el área de este triángulo curvilineo?

> Por cierto, ¡bienvuelto!

¡Bien hallados!

(Las cataratas de Iguazú son espectaculares y la geografia de Rio de Janeiro
realmente alucinante ...)


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
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Antonio González wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
>> Antonio González wrote:
>>> Dado un triángulo de lados a, b y c se construye un triángulo
>>> curvilíneo formado por tres arcos de circunferencia. Cada arco de
>>> circunferencia pasa por dos de los vértices, siendo los arcos
>>> tangentes en el vértice común.
>>>
>>> Hallar los radios de dichos arcos, así como la posición de los
>>> centros de las circunferencias a las que pertenecen.
>>
>> Los tres arcos conjuntamente constituyen la circunferencia
>> circunscrita al triángulo ... Asi que el radio y el centro de los
>> tres es el de la circunferencia circunscrita.
>>
>
> Esto... quería decir que los arcos de circunferencia están *por
> dentro* del triángulo original.

Cada par de centros de estos arcos debe estar alineado con el vértice común,
y además cada uno de ellos debe encontrarse sobre la mediatriz
correspondiente. En estas condiciones, queda como ejercicio para el atento
lector comprobar que la solución existe y es única.

Entonces, estas tres circunferencias deben ser autoinversas en la inversión
en la circunferencia circunscrita al triángulo, y por tanto son ortogonales
a ella. Es decir, sus centros se encuentran en las perpendiculares por cada
vértice al radio que lo une con el circuncentro M.

El radio de la correspondiente al lado a es R_a = R*tg(A), puesto que el
ángulo que forma la mediatriz del lado a con los segmentos MB y MC es
precisamente el ángulo A. La posición del centro es sobre la mediatriz del
lado correspondiente, evidentemente, y a una distancia d_a = R/cos(A) desde
el circuncentro, medida en el sentido AM^, considerando el signo +/-.

Si el triángulo es rectángulo, el arco correspondiente al ángulo recto se
transforma en la hipotenusa. Y si es obtusángulo, los arcos corresponsientes
a los lados menores son tangentes interiormante al correspondiente al lado
mayor.

¿Cuanto vale el área de este triángulo curvilineo?

> Por cierto, ¡bienvuelto!

¡Bien hallados!

(Las cataratas de Iguazú son espectaculares y la geografia de Rio de Janeiro
realmente alucinante ...)


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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