Javier Esquinas wrote:
> On 24 jul, 23:35, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Si se escogen tres puntos en los lados de un triángulo, es fácil ver
>> que las circunferencias que pasan por ´cada vértice y los puntos
>> escogidos en los
>> lados concurrentes en él, se cortan en un mismo punto
>>
>> (ver,
>> p.e.,http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...currentes.html
>> ":^))
>>
>> Pero, ¿que ocurre si se trata de los tres puntos medios de los lados?
>>
>> ¿En que punto se cortan las tres circunferencias?
>>
>> ¿Cuáles son sus radios?
>>
>> ¿Cómo son respecto de la circunferencia circunscrita?
>>
>> La verdad es que es muy facilito ...
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> Vamos a ser precisos,en la literatura este resultado se conoce como
> teorema de Miquel,y al punto de intersección como punto de Miquel (no
> podía ser de otra forma).Ya decía yo que me sonaba muchísimo este
> resultado.

El teorema de Miquel (uno de ellos) es el caso general, sin la restricción
de que se trate de los puntos medios de los lados, y es válido aún si los
puntos se encuentran en las prolongaciones de los lados. Y tiene un
contrario interesante:

Si se tienen tres circunferencias que se cortan en un punto y se toma un
punto cualquiera en una de ellas, las dos rectas que lo unen con los puntos
de intersección con cada una de las otras dos circunferencias, vuelven a
cortar a estas en dos puntos alineados con el punto de intersección de ambas
(Teorema del Pivote), cerrandose así un triángulo con un vértice en cada
circunferencia y cuyos lados pasan por las tres intersecciones dos a dos de
ellas.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> On 24 jul, 23:35, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Si se escogen tres puntos en los lados de un triángulo, es fácil ver
>> que las circunferencias que pasan por ´cada vértice y los puntos
>> escogidos en los
>> lados concurrentes en él, se cortan en un mismo punto
>>
>> (ver,
>> p.e.,http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...currentes.html
>> ":^))
>>
>> Pero, ¿que ocurre si se trata de los tres puntos medios de los lados?
>>
>> ¿En que punto se cortan las tres circunferencias?
>>
>> ¿Cuáles son sus radios?
>>
>> ¿Cómo son respecto de la circunferencia circunscrita?
>>
>> La verdad es que es muy facilito ...
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> Vamos a ser precisos,en la literatura este resultado se conoce como
> teorema de Miquel,y al punto de intersección como punto de Miquel (no
> podía ser de otra forma).Ya decía yo que me sonaba muchísimo este
> resultado.

El teorema de Miquel (uno de ellos) es el caso general, sin la restricción
de que se trate de los puntos medios de los lados, y es válido aún si los
puntos se encuentran en las prolongaciones de los lados. Y tiene un
contrario interesante:

Si se tienen tres circunferencias que se cortan en un punto y se toma un
punto cualquiera en una de ellas, las dos rectas que lo unen con los puntos
de intersección con cada una de las otras dos circunferencias, vuelven a
cortar a estas en dos puntos alineados con el punto de intersección de ambas
(Teorema del Pivote), cerrandose así un triángulo con un vértice en cada
circunferencia y cuyos lados pasan por las tres intersecciones dos a dos de
ellas.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Javier Esquinas wrote:
> On 24 jul, 23:35, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Si se escogen tres puntos en los lados de un triángulo, es fácil ver
>> que las circunferencias que pasan por ´cada vértice y los puntos
>> escogidos en los
>> lados concurrentes en él, se cortan en un mismo punto
>>
>> (ver,
>> p.e.,http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...currentes.html
>> ":^))
>>
>> Pero, ¿que ocurre si se trata de los tres puntos medios de los lados?
>>
>> ¿En que punto se cortan las tres circunferencias?
>>
>> ¿Cuáles son sus radios?
>>
>> ¿Cómo son respecto de la circunferencia circunscrita?
>>
>> La verdad es que es muy facilito ...
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> Vamos a ser precisos,en la literatura este resultado se conoce como
> teorema de Miquel,y al punto de intersección como punto de Miquel (no
> podía ser de otra forma).Ya decía yo que me sonaba muchísimo este
> resultado.

El teorema de Miquel (uno de ellos) es el caso general, sin la restricción
de que se trate de los puntos medios de los lados, y es válido aún si los
puntos se encuentran en las prolongaciones de los lados. Y tiene un
contrario interesante:

Si se tienen tres circunferencias que se cortan en un punto y se toma un
punto cualquiera en una de ellas, las dos rectas que lo unen con los puntos
de intersección con cada una de las otras dos circunferencias, vuelven a
cortar a estas en dos puntos alineados con el punto de intersección de ambas
(Teorema del Pivote), cerrandose así un triángulo con un vértice en cada
circunferencia y cuyos lados pasan por las tres intersecciones dos a dos de
ellas.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On 3 ago, 15:15, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > On 24 jul, 23:35, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> > <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> >> Si se escogen tres puntos en los lados de un triángulo, es fácil ver
> >> que las circunferencias que pasan por ´cada vértice y los puntos
> >> escogidos en los
> >> lados concurrentes en él, se cortan en un mismo punto
>
> >> (ver,
> >> p.e.,http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...currentes.html
> >> ":^))
>
> >> Pero, ¿que ocurre si se trata de los tres puntos medios de los lados?
>
> >> ¿En que punto se cortan las tres circunferencias?
>
> >> ¿Cuáles son sus radios?
>
> >> ¿Cómo son respecto de la circunferencia circunscrita?
>
> >> La verdad es que es muy facilito ...
>
> >> --
> >> Saludos,
>
> >> Ignacio Larrosa Cañestro
> >> A Coruña (España)
> >> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> > Vamos a ser precisos,en la literatura este resultado se conoce como
> > teorema de Miquel,y al punto de intersección como punto de Miquel (no
> > podía ser de otra forma).Ya decía yo que me sonaba muchísimo este
> > resultado.
>
> El teorema de Miquel (uno de ellos) es el caso general, sin la restricción
> de que se trate de los puntos medios de los lados, y es válido aún silos
> puntos se encuentran en las prolongaciones de los lados. Y tiene un
> contrario interesante:
>
> Si se tienen tres circunferencias que se cortan en un punto y se toma un
> punto cualquiera en una de ellas, las dos rectas que lo unen con los puntos
> de intersección con cada una de las otras dos circunferencias, vuelven a
> cortar a estas en dos puntos alineados con el punto de intersección de ambas
> (Teorema del Pivote), cerrandose así un triángulo con un vértice encada
> circunferencia y cuyos lados pasan por las tres intersecciones dos a dos de
> ellas.
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Por supuesto,el teorema de Miquel no particulariza a los puntos
medios.Y de hecho es relativo a los puntos seleccionados;es decir: no
se puede hablar con toda propiedad "del" punto de Miquel.

Saludos.

On 3 ago, 15:15, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > On 24 jul, 23:35, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> > <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> >> Si se escogen tres puntos en los lados de un triángulo, es fácil ver
> >> que las circunferencias que pasan por ´cada vértice y los puntos
> >> escogidos en los
> >> lados concurrentes en él, se cortan en un mismo punto
>
> >> (ver,
> >> p.e.,http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...currentes.html
> >> ":^))
>
> >> Pero, ¿que ocurre si se trata de los tres puntos medios de los lados?
>
> >> ¿En que punto se cortan las tres circunferencias?
>
> >> ¿Cuáles son sus radios?
>
> >> ¿Cómo son respecto de la circunferencia circunscrita?
>
> >> La verdad es que es muy facilito ...
>
> >> --
> >> Saludos,
>
> >> Ignacio Larrosa Cañestro
> >> A Coruña (España)
> >> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> > Vamos a ser precisos,en la literatura este resultado se conoce como
> > teorema de Miquel,y al punto de intersección como punto de Miquel (no
> > podía ser de otra forma).Ya decía yo que me sonaba muchísimo este
> > resultado.
>
> El teorema de Miquel (uno de ellos) es el caso general, sin la restricción
> de que se trate de los puntos medios de los lados, y es válido aún silos
> puntos se encuentran en las prolongaciones de los lados. Y tiene un
> contrario interesante:
>
> Si se tienen tres circunferencias que se cortan en un punto y se toma un
> punto cualquiera en una de ellas, las dos rectas que lo unen con los puntos
> de intersección con cada una de las otras dos circunferencias, vuelven a
> cortar a estas en dos puntos alineados con el punto de intersección de ambas
> (Teorema del Pivote), cerrandose así un triángulo con un vértice encada
> circunferencia y cuyos lados pasan por las tres intersecciones dos a dos de
> ellas.
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Por supuesto,el teorema de Miquel no particulariza a los puntos
medios.Y de hecho es relativo a los puntos seleccionados;es decir: no
se puede hablar con toda propiedad "del" punto de Miquel.

Saludos.

On 3 ago, 15:15, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > On 24 jul, 23:35, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> > <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> >> Si se escogen tres puntos en los lados de un triángulo, es fácil ver
> >> que las circunferencias que pasan por ´cada vértice y los puntos
> >> escogidos en los
> >> lados concurrentes en él, se cortan en un mismo punto
>
> >> (ver,
> >> p.e.,http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...currentes.html
> >> ":^))
>
> >> Pero, ¿que ocurre si se trata de los tres puntos medios de los lados?
>
> >> ¿En que punto se cortan las tres circunferencias?
>
> >> ¿Cuáles son sus radios?
>
> >> ¿Cómo son respecto de la circunferencia circunscrita?
>
> >> La verdad es que es muy facilito ...
>
> >> --
> >> Saludos,
>
> >> Ignacio Larrosa Cañestro
> >> A Coruña (España)
> >> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> > Vamos a ser precisos,en la literatura este resultado se conoce como
> > teorema de Miquel,y al punto de intersección como punto de Miquel (no
> > podía ser de otra forma).Ya decía yo que me sonaba muchísimo este
> > resultado.
>
> El teorema de Miquel (uno de ellos) es el caso general, sin la restricción
> de que se trate de los puntos medios de los lados, y es válido aún silos
> puntos se encuentran en las prolongaciones de los lados. Y tiene un
> contrario interesante:
>
> Si se tienen tres circunferencias que se cortan en un punto y se toma un
> punto cualquiera en una de ellas, las dos rectas que lo unen con los puntos
> de intersección con cada una de las otras dos circunferencias, vuelven a
> cortar a estas en dos puntos alineados con el punto de intersección de ambas
> (Teorema del Pivote), cerrandose así un triángulo con un vértice encada
> circunferencia y cuyos lados pasan por las tres intersecciones dos a dos de
> ellas.
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
>
> - Mostrar texto de la cita -

Por supuesto,el teorema de Miquel no particulariza a los puntos
medios.Y de hecho es relativo a los puntos seleccionados;es decir: no
se puede hablar con toda propiedad "del" punto de Miquel.

Saludos.

Javier Esquinas wrote:
> On 3 ago, 15:15, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Javier Esquinas wrote:
>>> On 24 jul, 23:35, "Ignacio Larrosa Cañestro"
>>> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>>>> Si se escogen tres puntos en los lados de un triángulo, es fácil
>>>> ver que las circunferencias que pasan por ´cada vértice y los
>>>> puntos escogidos en los
>>>> lados concurrentes en él, se cortan en un mismo punto
>>
>>>> (ver,
>>>> p.e.,http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...currentes.html
>>>> ":^))
>>
>>>> Pero, ¿que ocurre si se trata de los tres puntos medios de los
>>>> lados?
>>
>>>> ¿En que punto se cortan las tres circunferencias?
>>
>>>> ¿Cuáles son sus radios?
>>
>>>> ¿Cómo son respecto de la circunferencia circunscrita?
>>
>>>> La verdad es que es muy facilito ...
>>
>>>> --
>>>> Saludos,
>>
>>>> Ignacio Larrosa Cañestro
>>>> A Coruña (España)
>>>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>>
>>> Vamos a ser precisos,en la literatura este resultado se conoce como
>>> teorema de Miquel,y al punto de intersección como punto de Miquel
>>> (no podía ser de otra forma).Ya decía yo que me sonaba muchísimo
>>> este resultado.
>>
>> El teorema de Miquel (uno de ellos) es el caso general, sin la
>> restricción de que se trate de los puntos medios de los lados, y es
>> válido aún si los puntos se encuentran en las prolongaciones de los
>> lados. Y tiene un contrario interesante:
>>
>> Si se tienen tres circunferencias que se cortan en un punto y se
>> toma un punto cualquiera en una de ellas, las dos rectas que lo unen
>> con los puntos de intersección con cada una de las otras dos
>> circunferencias, vuelven a cortar a estas en dos puntos alineados
>> con el punto de intersección de ambas (Teorema del Pivote),
>> cerrandose así un triángulo con un vértice en cada circunferencia y
>> cuyos lados pasan por las tres intersecciones dos a dos de ellas.
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
>>
>> - Mostrar texto de la cita -
>
> Por supuesto,el teorema de Miquel no particulariza a los puntos
> medios.Y de hecho es relativo a los puntos seleccionados;es decir: no
> se puede hablar con toda propiedad "del" punto de Miquel.

"El" punto de Miquel se refiere a cuatro rectas, y es el punto de
intersección de las cuatro circunferencias circunscritas a los cuatro
triángulos que determinan. Y como digo en otro hilo, es concíclico con los
centros de estas cuatro circunferencias y foco de la única parábola tangente
a las cuatro rectas dadas.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
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Javier Esquinas wrote:
> On 3 ago, 15:15, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Javier Esquinas wrote:
>>> On 24 jul, 23:35, "Ignacio Larrosa Cañestro"
>>> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>>>> Si se escogen tres puntos en los lados de un triángulo, es fácil
>>>> ver que las circunferencias que pasan por ´cada vértice y los
>>>> puntos escogidos en los
>>>> lados concurrentes en él, se cortan en un mismo punto
>>
>>>> (ver,
>>>> p.e.,http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...currentes.html
>>>> ":^))
>>
>>>> Pero, ¿que ocurre si se trata de los tres puntos medios de los
>>>> lados?
>>
>>>> ¿En que punto se cortan las tres circunferencias?
>>
>>>> ¿Cuáles son sus radios?
>>
>>>> ¿Cómo son respecto de la circunferencia circunscrita?
>>
>>>> La verdad es que es muy facilito ...
>>
>>>> --
>>>> Saludos,
>>
>>>> Ignacio Larrosa Cañestro
>>>> A Coruña (España)
>>>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>>
>>> Vamos a ser precisos,en la literatura este resultado se conoce como
>>> teorema de Miquel,y al punto de intersección como punto de Miquel
>>> (no podía ser de otra forma).Ya decía yo que me sonaba muchísimo
>>> este resultado.
>>
>> El teorema de Miquel (uno de ellos) es el caso general, sin la
>> restricción de que se trate de los puntos medios de los lados, y es
>> válido aún si los puntos se encuentran en las prolongaciones de los
>> lados. Y tiene un contrario interesante:
>>
>> Si se tienen tres circunferencias que se cortan en un punto y se
>> toma un punto cualquiera en una de ellas, las dos rectas que lo unen
>> con los puntos de intersección con cada una de las otras dos
>> circunferencias, vuelven a cortar a estas en dos puntos alineados
>> con el punto de intersección de ambas (Teorema del Pivote),
>> cerrandose así un triángulo con un vértice en cada circunferencia y
>> cuyos lados pasan por las tres intersecciones dos a dos de ellas.
>>
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>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
>>
>> - Mostrar texto de la cita -
>
> Por supuesto,el teorema de Miquel no particulariza a los puntos
> medios.Y de hecho es relativo a los puntos seleccionados;es decir: no
> se puede hablar con toda propiedad "del" punto de Miquel.

"El" punto de Miquel se refiere a cuatro rectas, y es el punto de
intersección de las cuatro circunferencias circunscritas a los cuatro
triángulos que determinan. Y como digo en otro hilo, es concíclico con los
centros de estas cuatro circunferencias y foco de la única parábola tangente
a las cuatro rectas dadas.


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Javier Esquinas wrote:
> On 3 ago, 15:15, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Javier Esquinas wrote:
>>> On 24 jul, 23:35, "Ignacio Larrosa Cañestro"
>>> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>>>> Si se escogen tres puntos en los lados de un triángulo, es fácil
>>>> ver que las circunferencias que pasan por ´cada vértice y los
>>>> puntos escogidos en los
>>>> lados concurrentes en él, se cortan en un mismo punto
>>
>>>> (ver,
>>>> p.e.,http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...currentes.html
>>>> ":^))
>>
>>>> Pero, ¿que ocurre si se trata de los tres puntos medios de los
>>>> lados?
>>
>>>> ¿En que punto se cortan las tres circunferencias?
>>
>>>> ¿Cuáles son sus radios?
>>
>>>> ¿Cómo son respecto de la circunferencia circunscrita?
>>
>>>> La verdad es que es muy facilito ...
>>
>>>> --
>>>> Saludos,
>>
>>>> Ignacio Larrosa Cañestro
>>>> A Coruña (España)
>>>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>>
>>> Vamos a ser precisos,en la literatura este resultado se conoce como
>>> teorema de Miquel,y al punto de intersección como punto de Miquel
>>> (no podía ser de otra forma).Ya decía yo que me sonaba muchísimo
>>> este resultado.
>>
>> El teorema de Miquel (uno de ellos) es el caso general, sin la
>> restricción de que se trate de los puntos medios de los lados, y es
>> válido aún si los puntos se encuentran en las prolongaciones de los
>> lados. Y tiene un contrario interesante:
>>
>> Si se tienen tres circunferencias que se cortan en un punto y se
>> toma un punto cualquiera en una de ellas, las dos rectas que lo unen
>> con los puntos de intersección con cada una de las otras dos
>> circunferencias, vuelven a cortar a estas en dos puntos alineados
>> con el punto de intersección de ambas (Teorema del Pivote),
>> cerrandose así un triángulo con un vértice en cada circunferencia y
>> cuyos lados pasan por las tres intersecciones dos a dos de ellas.
>>
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>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com- Ocultar texto de la cita -
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>
> Por supuesto,el teorema de Miquel no particulariza a los puntos
> medios.Y de hecho es relativo a los puntos seleccionados;es decir: no
> se puede hablar con toda propiedad "del" punto de Miquel.

"El" punto de Miquel se refiere a cuatro rectas, y es el punto de
intersección de las cuatro circunferencias circunscritas a los cuatro
triángulos que determinan. Y como digo en otro hilo, es concíclico con los
centros de estas cuatro circunferencias y foco de la única parábola tangente
a las cuatro rectas dadas.


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Ignacio Larrosa Cañestro
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On 4 ago, 14:52, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Javier Esquinas wrote:
> > On 3 ago, 15:15, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> > <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> >> Javier Esquinas wrote:
> >>> On 24 jul, 23:35, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> >>> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> >>>> Si se escogen tres puntos en los lados de un triángulo, es fácil
> >>>> ver que las circunferencias que pasan por ´cada vértice y los
> >>>> puntos escogidos en los
> >>>> lados concurrentes en él, se cortan en un mismo punto
>
> >>>> (ver,
> >>>> p.e.,http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...currentes.html
> >>>> ":^))
>
> >>>> Pero, ¿que ocurre si se trata de los tres puntos medios de los
> >>>> lados?
>
> >>>> ¿En que punto se cortan las tres circunferencias?
>
> >>>> ¿Cuáles son sus radios?
>
> >>>> ¿Cómo son respecto de la circunferencia circunscrita?
>
> >>>> La verdad es que es muy facilito ...
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>
> >>> Vamos a ser precisos,en la literatura este resultado se conoce como
> >>> teorema de Miquel,y al punto de intersección como punto de Miquel
> >>> (no podía ser de otra forma).Ya decía yo que me sonaba muchísimo
> >>> este resultado.
>
> >> El teorema de Miquel (uno de ellos) es el caso general, sin la
> >> restricción de que se trate de los puntos medios de los lados, y es
> >> válido aún si los puntos se encuentran en las prolongaciones de los
> >> lados. Y tiene un contrario interesante:
>
> >> Si se tienen tres circunferencias que se cortan en un punto y se
> >> toma un punto cualquiera en una de ellas, las dos rectas que lo unen
> >> con los puntos de intersección con cada una de las otras dos
> >> circunferencias, vuelven a cortar a estas en dos puntos alineados
> >> con el punto de intersección de ambas (Teorema del Pivote),
> >> cerrandose así un triángulo con un vértice en cada circunferencia y
> >> cuyos lados pasan por las tres intersecciones dos a dos de ellas.
>
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> >> Saludos,
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>
> > Por supuesto,el teorema de Miquel no particulariza a los puntos
> > medios.Y de hecho es relativo a los puntos seleccionados;es decir: no
> > se puede hablar con toda propiedad "del" punto de Miquel.
>
> "El" punto de Miquel se refiere a cuatro rectas, y es el punto de
> intersección de las cuatro circunferencias circunscritas a los cuatro
> triángulos que determinan. Y como digo en otro hilo, es concíclico con los
> centros de estas cuatro circunferencias y foco de la única parábola tangente
> a las cuatro rectas dadas.
>
> --
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>
> Ignacio Larrosa Cañestro
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No sé muy bien si hablamos de lo mismo.
En Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry,
de Ross Honsberger que es archimencionado dice literalmente:

"The point P is called the Miquel point of P1,P2,P3 relative to the
triangle ABC"

Saludos.