(problema para gente un tanto masoquista, que le guste llevar la cuenta
de los subíndices y los asteriscos).

Sean z1, z2 y z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo.

Dar expresiones complejas, simétricas en z1, z2 y z3, para las
siguientes cantidades:

-perímetro
-area
-circuncentro
-circunradio
-incentro
-inradio
-ortocentro
-baricentro

Cuando digo simétrico me refiero a que por ejemplo el área puede
escribirse como

S = (1/2i)((z3-z1)(z2*-z1*)-(z3*-z1*)(z2-z1))

pero esta expresión no trata igual a z1 que a las otras dos variables.

Empiezo yo resolviendo una:

El baricentro es zg = (z1+z2+z3)/3

--

Antonio

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6f5pejF9tccnU1***mid.individual.net...
> (problema para gente un tanto masoquista, que le guste llevar la
> cuenta de los subíndices y los asteriscos).
>
> Sean z1, z2 y z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo.
>
> Dar expresiones complejas, simétricas en z1, z2 y z3, para las
> siguientes cantidades:
>
> -perímetro
> -area
> -circuncentro
> -circunradio
> -incentro
> -inradio
> -ortocentro
> -baricentro
>
> Cuando digo simétrico me refiero a que por ejemplo el área puede
> escribirse como
>
> S = (1/2i)((z3-z1)(z2*-z1*)-(z3*-z1*)(z2-z1))
>
> pero esta expresión no trata igual a z1 que a las otras dos
> variables.
>
> Empiezo yo resolviendo una:
>
> El baricentro es zg = (z1+z2+z3)/3
>
> --
>
> Antonio

Empiezo con los más simples

perímetro:
Sqrt[(z1 - z2)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z2])] +
Sqrt[(z1 - z3)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z3])] +
Sqrt[(z2 - z3)*(Conjugate[z2] - Conjugate[z3])]

area:
(1/4)*I*(
(z3 - z2)*Conjugate[z1] +
(z1 - z3)*Conjugate[z2] +
(z2 - z1)*Conjugate[z3])

Saludos,
Wolfgang

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
news:6f5pejF9tccnU1***mid.individual.net...
> (problema para gente un tanto masoquista, que le guste llevar la
> cuenta de los subíndices y los asteriscos).
>
> Sean z1, z2 y z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo.
>
> Dar expresiones complejas, simétricas en z1, z2 y z3, para las
> siguientes cantidades:
>
> -perímetro
> -area
> -circuncentro
> -circunradio
> -incentro
> -inradio
> -ortocentro
> -baricentro
>
> Cuando digo simétrico me refiero a que por ejemplo el área puede
> escribirse como
>
> S = (1/2i)((z3-z1)(z2*-z1*)-(z3*-z1*)(z2-z1))
>
> pero esta expresión no trata igual a z1 que a las otras dos
> variables.
>
> Empiezo yo resolviendo una:
>
> El baricentro es zg = (z1+z2+z3)/3
>
> --
>
> Antonio

Empiezo con los más simples

perímetro:
Sqrt[(z1 - z2)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z2])] +
Sqrt[(z1 - z3)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z3])] +
Sqrt[(z2 - z3)*(Conjugate[z2] - Conjugate[z3])]

area:
(1/4)*I*(
(z3 - z2)*Conjugate[z1] +
(z1 - z3)*Conjugate[z2] +
(z2 - z1)*Conjugate[z3])

Saludos,
Wolfgang

"Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
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> (problema para gente un tanto masoquista, que le guste llevar la
> cuenta de los subíndices y los asteriscos).
>
> Sean z1, z2 y z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo.
>
> Dar expresiones complejas, simétricas en z1, z2 y z3, para las
> siguientes cantidades:
>
> -perímetro
> -area
> -circuncentro
> -circunradio
> -incentro
> -inradio
> -ortocentro
> -baricentro
>
> Cuando digo simétrico me refiero a que por ejemplo el área puede
> escribirse como
>
> S = (1/2i)((z3-z1)(z2*-z1*)-(z3*-z1*)(z2-z1))
>
> pero esta expresión no trata igual a z1 que a las otras dos
> variables.
>
> Empiezo yo resolviendo una:
>
> El baricentro es zg = (z1+z2+z3)/3
>
> --
>
> Antonio

Empiezo con los más simples

perímetro:
Sqrt[(z1 - z2)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z2])] +
Sqrt[(z1 - z3)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z3])] +
Sqrt[(z2 - z3)*(Conjugate[z2] - Conjugate[z3])]

area:
(1/4)*I*(
(z3 - z2)*Conjugate[z1] +
(z1 - z3)*Conjugate[z2] +
(z2 - z1)*Conjugate[z3])

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
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>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:6f5pejF9tccnU1***mid.individual.net...
>> (problema para gente un tanto masoquista, que le guste llevar la
>> cuenta de los subíndices y los asteriscos).
>>
>> Sean z1, z2 y z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo.
>>
>> Dar expresiones complejas, simétricas en z1, z2 y z3, para las
>> siguientes cantidades:
>>
>> -perímetro
>> -area
>> -circuncentro
>> -circunradio
>> -incentro
>> -inradio
>> -ortocentro
>> -baricentro
>>
>> Cuando digo simétrico me refiero a que por ejemplo el área puede
>> escribirse como
>>
>> S = (1/2i)((z3-z1)(z2*-z1*)-(z3*-z1*)(z2-z1))
>>
>> pero esta expresión no trata igual a z1 que a las otras dos
>> variables.
>>
>> Empiezo yo resolviendo una:
>>
>> El baricentro es zg = (z1+z2+z3)/3
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Empiezo con los más simples
>
> perímetro:
> Sqrt[(z1 - z2)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z2])] +
> Sqrt[(z1 - z3)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z3])] +
> Sqrt[(z2 - z3)*(Conjugate[z2] - Conjugate[z3])]
>
> area:
> (1/4)*I*(
> (z3 - z2)*Conjugate[z1] +
> (z1 - z3)*Conjugate[z2] +
> (z2 - z1)*Conjugate[z3])
>
> Saludos,
> Wolfgang
Las dos siguientes expresiones

circuncentro:
|z1|^2*(z3 - z2) +
|z2|^2*(z1 - z3) +
|z3|^2*(z2 - z1)
/(
(z3 - z2)*Conjugate[z1] +
(z1 - z3)*Conjugate[z2] +
(z2 - z1)*Conjugate[z3])

circunradio:
R^2 = -(
|z1 - z2|^2*
|z2 - z3|^2*
|z3 - z1|^3)
/(
(z2 - z3)*Conjugate[z1] +
(z3 - z1)*Conjugate[z2] +
(z1 - z2)*Conjugate[z3])^2

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
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>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
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>> (problema para gente un tanto masoquista, que le guste llevar la
>> cuenta de los subíndices y los asteriscos).
>>
>> Sean z1, z2 y z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo.
>>
>> Dar expresiones complejas, simétricas en z1, z2 y z3, para las
>> siguientes cantidades:
>>
>> -perímetro
>> -area
>> -circuncentro
>> -circunradio
>> -incentro
>> -inradio
>> -ortocentro
>> -baricentro
>>
>> Cuando digo simétrico me refiero a que por ejemplo el área puede
>> escribirse como
>>
>> S = (1/2i)((z3-z1)(z2*-z1*)-(z3*-z1*)(z2-z1))
>>
>> pero esta expresión no trata igual a z1 que a las otras dos
>> variables.
>>
>> Empiezo yo resolviendo una:
>>
>> El baricentro es zg = (z1+z2+z3)/3
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Empiezo con los más simples
>
> perímetro:
> Sqrt[(z1 - z2)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z2])] +
> Sqrt[(z1 - z3)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z3])] +
> Sqrt[(z2 - z3)*(Conjugate[z2] - Conjugate[z3])]
>
> area:
> (1/4)*I*(
> (z3 - z2)*Conjugate[z1] +
> (z1 - z3)*Conjugate[z2] +
> (z2 - z1)*Conjugate[z3])
>
> Saludos,
> Wolfgang
Las dos siguientes expresiones

circuncentro:
|z1|^2*(z3 - z2) +
|z2|^2*(z1 - z3) +
|z3|^2*(z2 - z1)
/(
(z3 - z2)*Conjugate[z1] +
(z1 - z3)*Conjugate[z2] +
(z2 - z1)*Conjugate[z3])

circunradio:
R^2 = -(
|z1 - z2|^2*
|z2 - z3|^2*
|z3 - z1|^3)
/(
(z2 - z3)*Conjugate[z1] +
(z3 - z1)*Conjugate[z2] +
(z1 - z2)*Conjugate[z3])^2

Saludos,
Wolfgang

"Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
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>
> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:6f5pejF9tccnU1***mid.individual.net...
>> (problema para gente un tanto masoquista, que le guste llevar la
>> cuenta de los subíndices y los asteriscos).
>>
>> Sean z1, z2 y z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo.
>>
>> Dar expresiones complejas, simétricas en z1, z2 y z3, para las
>> siguientes cantidades:
>>
>> -perímetro
>> -area
>> -circuncentro
>> -circunradio
>> -incentro
>> -inradio
>> -ortocentro
>> -baricentro
>>
>> Cuando digo simétrico me refiero a que por ejemplo el área puede
>> escribirse como
>>
>> S = (1/2i)((z3-z1)(z2*-z1*)-(z3*-z1*)(z2-z1))
>>
>> pero esta expresión no trata igual a z1 que a las otras dos
>> variables.
>>
>> Empiezo yo resolviendo una:
>>
>> El baricentro es zg = (z1+z2+z3)/3
>>
>> --
>>
>> Antonio
>
> Empiezo con los más simples
>
> perímetro:
> Sqrt[(z1 - z2)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z2])] +
> Sqrt[(z1 - z3)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z3])] +
> Sqrt[(z2 - z3)*(Conjugate[z2] - Conjugate[z3])]
>
> area:
> (1/4)*I*(
> (z3 - z2)*Conjugate[z1] +
> (z1 - z3)*Conjugate[z2] +
> (z2 - z1)*Conjugate[z3])
>
> Saludos,
> Wolfgang
Las dos siguientes expresiones

circuncentro:
|z1|^2*(z3 - z2) +
|z2|^2*(z1 - z3) +
|z3|^2*(z2 - z1)
/(
(z3 - z2)*Conjugate[z1] +
(z1 - z3)*Conjugate[z2] +
(z2 - z1)*Conjugate[z3])

circunradio:
R^2 = -(
|z1 - z2|^2*
|z2 - z3|^2*
|z3 - z1|^3)
/(
(z2 - z3)*Conjugate[z1] +
(z3 - z1)*Conjugate[z2] +
(z1 - z2)*Conjugate[z3])^2

Saludos,
Wolfgang

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> "Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
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>>
>> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:6f5pejF9tccnU1***mid.individual.net...
>>> (problema para gente un tanto masoquista, que le guste llevar la
>>> cuenta de los subÃ***ndices y los asteriscos).
>>>
>>> Sean z1, z2 y z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo.
>>>
>>> Dar expresiones complejas, simétricas en z1, z2 y z3, para las
>>> siguientes cantidades:
>>>
>>> -perÃ***metro
>>> -area
>>> -circuncentro
>>> -circunradio
>>> -incentro
>>> -inradio
>>> -ortocentro
>>> -baricentro
>>>
>>> Cuando digo simétrico me refiero a que por ejemplo el área puede
>>> escribirse como
>>>
>>> S = (1/2i)((z3-z1)(z2*-z1*)-(z3*-z1*)(z2-z1))
>>>
>>> pero esta expresión no trata igual a z1 que a las otras dos variables.
>>>
>>> Empiezo yo resolviendo una:
>>>
>>> El baricentro es zg = (z1+z2+z3)/3
>>>
>>> --
>>>
>>> Antonio
>>
>> Empiezo con los más simples
>>
>> perÃ***metro:
>> Sqrt[(z1 - z2)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z2])] +
>> Sqrt[(z1 - z3)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z3])] +
>> Sqrt[(z2 - z3)*(Conjugate[z2] - Conjugate[z3])]
>>
>> area:
>> (1/4)*I*(
>> (z3 - z2)*Conjugate[z1] +
>> (z1 - z3)*Conjugate[z2] +
>> (z2 - z1)*Conjugate[z3])
>>
>> Saludos,
>> Wolfgang
> Las dos siguientes expresiones
>
> circuncentro:
> |z1|^2*(z3 - z2) +
> |z2|^2*(z1 - z3) +
> |z3|^2*(z2 - z1)
> /(
> (z3 - z2)*Conjugate[z1] +
> (z1 - z3)*Conjugate[z2] +
> (z2 - z1)*Conjugate[z3])
>

Observemos que el circuncentro puede también escribirse como

C = -z2 z3(z2* - z3*) - z3 z1(z3* - z1*) - z1 z2(z1* - z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

y que el ortocentro, que aun no has calculado, es

H = ((z1^2+z2z3)(z2*-z3*)+(z2^2+z3z1)(z3*-z1*) +(z3^2+z1z2)(z1*-z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

y que, por supuesto, el baricentro puede ponerse como

G = ((z1(z1+z2+z3)/3)(z2*-z3*)+(z2(z1+z2+z3)/3)(z3*-z1*)

+ (z3(z1+z2+z3)/3)(z1*-z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

¿Qué tienen en común estas tres fórmulas? Que son de la forma

Z = (P(z1,z2,z3)(z2*-z3*)+P(z2,z3,z1)(z3*-z1*)+P(z3,z1,z2)(z1*-z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

con P(x1,x2,x3) un cierto polinomio homogéneo de grado 2, tal que en el
caso de que los puntos formen un triángulo equilátero, el resultado sea
siempre el mismo.

¿Puede el incentro escribirse de la misma forma?

--

Antonio

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> "Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:6f5vt2F9vdo3U1***mid.uni-berlin.de...
>>
>> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:6f5pejF9tccnU1***mid.individual.net...
>>> (problema para gente un tanto masoquista, que le guste llevar la
>>> cuenta de los subÃ***ndices y los asteriscos).
>>>
>>> Sean z1, z2 y z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo.
>>>
>>> Dar expresiones complejas, simétricas en z1, z2 y z3, para las
>>> siguientes cantidades:
>>>
>>> -perÃ***metro
>>> -area
>>> -circuncentro
>>> -circunradio
>>> -incentro
>>> -inradio
>>> -ortocentro
>>> -baricentro
>>>
>>> Cuando digo simétrico me refiero a que por ejemplo el área puede
>>> escribirse como
>>>
>>> S = (1/2i)((z3-z1)(z2*-z1*)-(z3*-z1*)(z2-z1))
>>>
>>> pero esta expresión no trata igual a z1 que a las otras dos variables.
>>>
>>> Empiezo yo resolviendo una:
>>>
>>> El baricentro es zg = (z1+z2+z3)/3
>>>
>>> --
>>>
>>> Antonio
>>
>> Empiezo con los más simples
>>
>> perÃ***metro:
>> Sqrt[(z1 - z2)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z2])] +
>> Sqrt[(z1 - z3)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z3])] +
>> Sqrt[(z2 - z3)*(Conjugate[z2] - Conjugate[z3])]
>>
>> area:
>> (1/4)*I*(
>> (z3 - z2)*Conjugate[z1] +
>> (z1 - z3)*Conjugate[z2] +
>> (z2 - z1)*Conjugate[z3])
>>
>> Saludos,
>> Wolfgang
> Las dos siguientes expresiones
>
> circuncentro:
> |z1|^2*(z3 - z2) +
> |z2|^2*(z1 - z3) +
> |z3|^2*(z2 - z1)
> /(
> (z3 - z2)*Conjugate[z1] +
> (z1 - z3)*Conjugate[z2] +
> (z2 - z1)*Conjugate[z3])
>

Observemos que el circuncentro puede también escribirse como

C = -z2 z3(z2* - z3*) - z3 z1(z3* - z1*) - z1 z2(z1* - z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

y que el ortocentro, que aun no has calculado, es

H = ((z1^2+z2z3)(z2*-z3*)+(z2^2+z3z1)(z3*-z1*) +(z3^2+z1z2)(z1*-z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

y que, por supuesto, el baricentro puede ponerse como

G = ((z1(z1+z2+z3)/3)(z2*-z3*)+(z2(z1+z2+z3)/3)(z3*-z1*)

+ (z3(z1+z2+z3)/3)(z1*-z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

¿Qué tienen en común estas tres fórmulas? Que son de la forma

Z = (P(z1,z2,z3)(z2*-z3*)+P(z2,z3,z1)(z3*-z1*)+P(z3,z1,z2)(z1*-z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

con P(x1,x2,x3) un cierto polinomio homogéneo de grado 2, tal que en el
caso de que los puntos formen un triángulo equilátero, el resultado sea
siempre el mismo.

¿Puede el incentro escribirse de la misma forma?

--

Antonio

Dr. Wolfgang Hintze escribió:
>
> "Dr. Wolfgang Hintze" <weh***snafu.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:6f5vt2F9vdo3U1***mid.uni-berlin.de...
>>
>> "Antonio González" <gonfer00***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
>> news:6f5pejF9tccnU1***mid.individual.net...
>>> (problema para gente un tanto masoquista, que le guste llevar la
>>> cuenta de los subÃ***ndices y los asteriscos).
>>>
>>> Sean z1, z2 y z3 los vértices de un triángulo en el plano complejo.
>>>
>>> Dar expresiones complejas, simétricas en z1, z2 y z3, para las
>>> siguientes cantidades:
>>>
>>> -perÃ***metro
>>> -area
>>> -circuncentro
>>> -circunradio
>>> -incentro
>>> -inradio
>>> -ortocentro
>>> -baricentro
>>>
>>> Cuando digo simétrico me refiero a que por ejemplo el área puede
>>> escribirse como
>>>
>>> S = (1/2i)((z3-z1)(z2*-z1*)-(z3*-z1*)(z2-z1))
>>>
>>> pero esta expresión no trata igual a z1 que a las otras dos variables.
>>>
>>> Empiezo yo resolviendo una:
>>>
>>> El baricentro es zg = (z1+z2+z3)/3
>>>
>>> --
>>>
>>> Antonio
>>
>> Empiezo con los más simples
>>
>> perÃ***metro:
>> Sqrt[(z1 - z2)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z2])] +
>> Sqrt[(z1 - z3)*(Conjugate[z1] - Conjugate[z3])] +
>> Sqrt[(z2 - z3)*(Conjugate[z2] - Conjugate[z3])]
>>
>> area:
>> (1/4)*I*(
>> (z3 - z2)*Conjugate[z1] +
>> (z1 - z3)*Conjugate[z2] +
>> (z2 - z1)*Conjugate[z3])
>>
>> Saludos,
>> Wolfgang
> Las dos siguientes expresiones
>
> circuncentro:
> |z1|^2*(z3 - z2) +
> |z2|^2*(z1 - z3) +
> |z3|^2*(z2 - z1)
> /(
> (z3 - z2)*Conjugate[z1] +
> (z1 - z3)*Conjugate[z2] +
> (z2 - z1)*Conjugate[z3])
>

Observemos que el circuncentro puede también escribirse como

C = -z2 z3(z2* - z3*) - z3 z1(z3* - z1*) - z1 z2(z1* - z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

y que el ortocentro, que aun no has calculado, es

H = ((z1^2+z2z3)(z2*-z3*)+(z2^2+z3z1)(z3*-z1*) +(z3^2+z1z2)(z1*-z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

y que, por supuesto, el baricentro puede ponerse como

G = ((z1(z1+z2+z3)/3)(z2*-z3*)+(z2(z1+z2+z3)/3)(z3*-z1*)

+ (z3(z1+z2+z3)/3)(z1*-z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

¿Qué tienen en común estas tres fórmulas? Que son de la forma

Z = (P(z1,z2,z3)(z2*-z3*)+P(z2,z3,z1)(z3*-z1*)+P(z3,z1,z2)(z1*-z2*)/

/(z1(z2* - z3*) + z2(z3* - z1*) + z3(z1* - z2*))

con P(x1,x2,x3) un cierto polinomio homogéneo de grado 2, tal que en el
caso de que los puntos formen un triángulo equilátero, el resultado sea
siempre el mismo.

¿Puede el incentro escribirse de la misma forma?

--

Antonio