Antonio González escribió:
> betisista***gmail.com escribió:
>> On 30 jul, 21:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>>> betisi...***gmail.com escribió:
>>>
>> Seguro que es correcto esto que uste dice, pero ¿ seria posible la
>> demostracion utilisando coordenadas baricentricas o algun otro tipo
>> de calculo?
>>
>
> Sí, por supuesto.
>
> Un método puramente cartesiano sería tomar el triángulo original como la
> escuadra de vértices A(0,0), B(1,0), C(0,1). En ese caso si P es el
> punto (x0,y0) los vértices del triángulo ceviánico son
>
> D(x0/(x0+y0),y0/(x0+y0)), E(0,y0/(1-x0)) F(x0/(1-y0),0)
>
> y hallando el área de este triángulo resulta una función de (x0,y0).
>
> S(DEF)/S(ABC) = 2x0 y0(1-x0-y0)/((1-x0)(1-y0)(x0+y0))
>
> Buscando el máximo de esta función se encuentra que se alcanza en x0 =
> 1/3, y0=1/3, para la cual S(DEF)/S(ABC) = 1/4.
>

Aquí lo tienes resuelto empleando coordenadas baricéntricas:

http://www.cut-the-knot.org/triangle...shtml#solution

--

Antonio

Antonio González escribió:
> betisista***gmail.com escribió:
>> On 30 jul, 21:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>>> betisi...***gmail.com escribió:
>>>
>> Seguro que es correcto esto que uste dice, pero ¿ seria posible la
>> demostracion utilisando coordenadas baricentricas o algun otro tipo
>> de calculo?
>>
>
> Sí, por supuesto.
>
> Un método puramente cartesiano sería tomar el triángulo original como la
> escuadra de vértices A(0,0), B(1,0), C(0,1). En ese caso si P es el
> punto (x0,y0) los vértices del triángulo ceviánico son
>
> D(x0/(x0+y0),y0/(x0+y0)), E(0,y0/(1-x0)) F(x0/(1-y0),0)
>
> y hallando el área de este triángulo resulta una función de (x0,y0).
>
> S(DEF)/S(ABC) = 2x0 y0(1-x0-y0)/((1-x0)(1-y0)(x0+y0))
>
> Buscando el máximo de esta función se encuentra que se alcanza en x0 =
> 1/3, y0=1/3, para la cual S(DEF)/S(ABC) = 1/4.
>

Aquí lo tienes resuelto empleando coordenadas baricéntricas:

http://www.cut-the-knot.org/triangle...shtml#solution

--

Antonio

Antonio González escribió:
> betisista***gmail.com escribió:
>> On 30 jul, 21:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>>> betisi...***gmail.com escribió:
>>>
>> Seguro que es correcto esto que uste dice, pero ¿ seria posible la
>> demostracion utilisando coordenadas baricentricas o algun otro tipo
>> de calculo?
>>
>
> Sí, por supuesto.
>
> Un método puramente cartesiano sería tomar el triángulo original como la
> escuadra de vértices A(0,0), B(1,0), C(0,1). En ese caso si P es el
> punto (x0,y0) los vértices del triángulo ceviánico son
>
> D(x0/(x0+y0),y0/(x0+y0)), E(0,y0/(1-x0)) F(x0/(1-y0),0)
>
> y hallando el área de este triángulo resulta una función de (x0,y0).
>
> S(DEF)/S(ABC) = 2x0 y0(1-x0-y0)/((1-x0)(1-y0)(x0+y0))
>
> Buscando el máximo de esta función se encuentra que se alcanza en x0 =
> 1/3, y0=1/3, para la cual S(DEF)/S(ABC) = 1/4.
>

Aquí lo tienes resuelto empleando coordenadas baricéntricas:

http://www.cut-the-knot.org/triangle...shtml#solution

--

Antonio

On 30 jul, 20:12, betisi...***gmail.com wrote:
> Si se ***tiene ***un triangulo ***de vertises ***A , B , C ***y adentro de el un
> punto P ***si trazamos las rectas sevianas ***AP , BP Y CP *** cortan ***a los
> lados opuestos en los puntos D,E,F ***respectivamente
> ¿como puedo demostrar que el area del triangulo D,E,F ***es siempre
> menor que la mitad del primero ***A , B ,C ?
>
> ¿ Se ***puede ***encontrar alguna acotasion mejor *** que esta ?

Algo de este problema ya se vió en un problema que propuso Antonio y
que yo ya comenté su resolución usando el teorema de Routh.

http://groups.google.com/group/es.ci...teorema+routh#

Si a,b y c son las razones en las que queda dividido cada lado por la
ceviana tendremos que según dicho teorema

S' = (abc + 1)/(a + 1)(b + 1)(c + 1)S

siendo S' el área del triángulo DEF y S la de ABC.
Pero puesto que las cevianas intersecan en un punto P se tiene que abc
= 1

y por tanto

S' = 2/(a + 1)(b + 1)(c + 1)S

Ahora bien,seríamos capaces de probar la desigualdad (a + 1)(b + 1)(c
+ 1) >= 8 si abc = 1.

Pues una vez más también "casi" salió por aquí en un problema que
propuse yo:

http://groups.google.com/group/es.ci...721fac855f141f


Queda demostrarla usando AM-GM y sale en un pis-pas mirándola con
cariño.

Saludos.

On 30 jul, 20:12, betisi...***gmail.com wrote:
> Si se ***tiene ***un triangulo ***de vertises ***A , B , C ***y adentro de el un
> punto P ***si trazamos las rectas sevianas ***AP , BP Y CP *** cortan ***a los
> lados opuestos en los puntos D,E,F ***respectivamente
> ¿como puedo demostrar que el area del triangulo D,E,F ***es siempre
> menor que la mitad del primero ***A , B ,C ?
>
> ¿ Se ***puede ***encontrar alguna acotasion mejor *** que esta ?

Algo de este problema ya se vió en un problema que propuso Antonio y
que yo ya comenté su resolución usando el teorema de Routh.

http://groups.google.com/group/es.ci...teorema+routh#

Si a,b y c son las razones en las que queda dividido cada lado por la
ceviana tendremos que según dicho teorema

S' = (abc + 1)/(a + 1)(b + 1)(c + 1)S

siendo S' el área del triángulo DEF y S la de ABC.
Pero puesto que las cevianas intersecan en un punto P se tiene que abc
= 1

y por tanto

S' = 2/(a + 1)(b + 1)(c + 1)S

Ahora bien,seríamos capaces de probar la desigualdad (a + 1)(b + 1)(c
+ 1) >= 8 si abc = 1.

Pues una vez más también "casi" salió por aquí en un problema que
propuse yo:

http://groups.google.com/group/es.ci...721fac855f141f


Queda demostrarla usando AM-GM y sale en un pis-pas mirándola con
cariño.

Saludos.

On 30 jul, 20:12, betisi...***gmail.com wrote:
> Si se ***tiene ***un triangulo ***de vertises ***A , B , C ***y adentro de el un
> punto P ***si trazamos las rectas sevianas ***AP , BP Y CP *** cortan ***a los
> lados opuestos en los puntos D,E,F ***respectivamente
> ¿como puedo demostrar que el area del triangulo D,E,F ***es siempre
> menor que la mitad del primero ***A , B ,C ?
>
> ¿ Se ***puede ***encontrar alguna acotasion mejor *** que esta ?

Algo de este problema ya se vió en un problema que propuso Antonio y
que yo ya comenté su resolución usando el teorema de Routh.

http://groups.google.com/group/es.ci...teorema+routh#

Si a,b y c son las razones en las que queda dividido cada lado por la
ceviana tendremos que según dicho teorema

S' = (abc + 1)/(a + 1)(b + 1)(c + 1)S

siendo S' el área del triángulo DEF y S la de ABC.
Pero puesto que las cevianas intersecan en un punto P se tiene que abc
= 1

y por tanto

S' = 2/(a + 1)(b + 1)(c + 1)S

Ahora bien,seríamos capaces de probar la desigualdad (a + 1)(b + 1)(c
+ 1) >= 8 si abc = 1.

Pues una vez más también "casi" salió por aquí en un problema que
propuse yo:

http://groups.google.com/group/es.ci...721fac855f141f


Queda demostrarla usando AM-GM y sale en un pis-pas mirándola con
cariño.

Saludos.