Si se tiene un triangulo de vertises A , B , C y adentro de el un
punto P si trazamos las rectas sevianas AP , BP Y CP cortan a los
lados opuestos en los puntos D,E,F respectivamente
¿como puedo demostrar que el area del triangulo D,E,F es siempre
menor que la mitad del primero A , B ,C ?

¿ Se puede encontrar alguna acotasion mejor que esta ?

betisista***gmail.com escribió:
> Si se tiene un triangulo de vertises A , B , C y adentro de el un
> punto P si trazamos las rectas sevianas AP , BP Y CP cortan a los
> lados opuestos en los puntos D,E,F respectivamente
> ¿como puedo demostrar que el area del triangulo D,E,F es siempre
> menor que la mitad del primero A , B ,C ?
>
> ¿ Se puede encontrar alguna acotasion mejor que esta ?

Yo dirÃ***a que la cota es 1/4.

Sin pérdida de generalidad, puede suponerse que el triángulo ABC es
equilatero (ya que cualquier transformación lineal del mismo no afecta a
la posición relativa de las cevianas, ni a la proporción entre áreas).

Para un triángulo equilátero se tiene, por simetrÃ***a, que el área máxima
se obtiene cuando P es el baricentro del triángulo y los puntos D,E y F
son los puntos medios de cada lado, en cuyo caso el área del triángulo
DEF es 1/4 del original.

--

Antonio

betisista***gmail.com escribió:
> Si se tiene un triangulo de vertises A , B , C y adentro de el un
> punto P si trazamos las rectas sevianas AP , BP Y CP cortan a los
> lados opuestos en los puntos D,E,F respectivamente
> ¿como puedo demostrar que el area del triangulo D,E,F es siempre
> menor que la mitad del primero A , B ,C ?
>
> ¿ Se puede encontrar alguna acotasion mejor que esta ?

Yo dirÃ***a que la cota es 1/4.

Sin pérdida de generalidad, puede suponerse que el triángulo ABC es
equilatero (ya que cualquier transformación lineal del mismo no afecta a
la posición relativa de las cevianas, ni a la proporción entre áreas).

Para un triángulo equilátero se tiene, por simetrÃ***a, que el área máxima
se obtiene cuando P es el baricentro del triángulo y los puntos D,E y F
son los puntos medios de cada lado, en cuyo caso el área del triángulo
DEF es 1/4 del original.

--

Antonio

betisista***gmail.com escribió:
> Si se tiene un triangulo de vertises A , B , C y adentro de el un
> punto P si trazamos las rectas sevianas AP , BP Y CP cortan a los
> lados opuestos en los puntos D,E,F respectivamente
> ¿como puedo demostrar que el area del triangulo D,E,F es siempre
> menor que la mitad del primero A , B ,C ?
>
> ¿ Se puede encontrar alguna acotasion mejor que esta ?

Yo dirÃ***a que la cota es 1/4.

Sin pérdida de generalidad, puede suponerse que el triángulo ABC es
equilatero (ya que cualquier transformación lineal del mismo no afecta a
la posición relativa de las cevianas, ni a la proporción entre áreas).

Para un triángulo equilátero se tiene, por simetrÃ***a, que el área máxima
se obtiene cuando P es el baricentro del triángulo y los puntos D,E y F
son los puntos medios de cada lado, en cuyo caso el área del triángulo
DEF es 1/4 del original.

--

Antonio

On 30 jul, 21:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> betisi...***gmail.com escribió:
>
Seguro que es correcto esto que uste dice, pero ¿ seria posible la
demostracion utilisando coordenadas baricentricas o algun otro tipo
de calculo?

Muchas gracia por su respuesta y discurpe la molestia

On 30 jul, 21:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> betisi...***gmail.com escribió:
>
Seguro que es correcto esto que uste dice, pero ¿ seria posible la
demostracion utilisando coordenadas baricentricas o algun otro tipo
de calculo?

Muchas gracia por su respuesta y discurpe la molestia

On 30 jul, 21:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> betisi...***gmail.com escribió:
>
Seguro que es correcto esto que uste dice, pero ¿ seria posible la
demostracion utilisando coordenadas baricentricas o algun otro tipo
de calculo?

Muchas gracia por su respuesta y discurpe la molestia

betisista***gmail.com escribió:
> On 30 jul, 21:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> betisi...***gmail.com escribió:
>>
> Seguro que es correcto esto que uste dice, pero ¿ seria posible la
> demostracion utilisando coordenadas baricentricas o algun otro tipo
> de calculo?
>

Sí, por supuesto.

Un método puramente cartesiano sería tomar el triángulo original como la
escuadra de vértices A(0,0), B(1,0), C(0,1). En ese caso si P es el
punto (x0,y0) los vértices del triángulo ceviánico son

D(x0/(x0+y0),y0/(x0+y0)), E(0,y0/(1-x0)) F(x0/(1-y0),0)

y hallando el área de este triángulo resulta una función de (x0,y0).

S(DEF)/S(ABC) = 2x0 y0(1-x0-y0)/((1-x0)(1-y0)(x0+y0))

Buscando el máximo de esta función se encuentra que se alcanza en x0 =
1/3, y0=1/3, para la cual S(DEF)/S(ABC) = 1/4.

--

Antonio

betisista***gmail.com escribió:
> On 30 jul, 21:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> betisi...***gmail.com escribió:
>>
> Seguro que es correcto esto que uste dice, pero ¿ seria posible la
> demostracion utilisando coordenadas baricentricas o algun otro tipo
> de calculo?
>

Sí, por supuesto.

Un método puramente cartesiano sería tomar el triángulo original como la
escuadra de vértices A(0,0), B(1,0), C(0,1). En ese caso si P es el
punto (x0,y0) los vértices del triángulo ceviánico son

D(x0/(x0+y0),y0/(x0+y0)), E(0,y0/(1-x0)) F(x0/(1-y0),0)

y hallando el área de este triángulo resulta una función de (x0,y0).

S(DEF)/S(ABC) = 2x0 y0(1-x0-y0)/((1-x0)(1-y0)(x0+y0))

Buscando el máximo de esta función se encuentra que se alcanza en x0 =
1/3, y0=1/3, para la cual S(DEF)/S(ABC) = 1/4.

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Antonio

betisista***gmail.com escribió:
> On 30 jul, 21:21, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
>> betisi...***gmail.com escribió:
>>
> Seguro que es correcto esto que uste dice, pero ¿ seria posible la
> demostracion utilisando coordenadas baricentricas o algun otro tipo
> de calculo?
>

Sí, por supuesto.

Un método puramente cartesiano sería tomar el triángulo original como la
escuadra de vértices A(0,0), B(1,0), C(0,1). En ese caso si P es el
punto (x0,y0) los vértices del triángulo ceviánico son

D(x0/(x0+y0),y0/(x0+y0)), E(0,y0/(1-x0)) F(x0/(1-y0),0)

y hallando el área de este triángulo resulta una función de (x0,y0).

S(DEF)/S(ABC) = 2x0 y0(1-x0-y0)/((1-x0)(1-y0)(x0+y0))

Buscando el máximo de esta función se encuentra que se alcanza en x0 =
1/3, y0=1/3, para la cual S(DEF)/S(ABC) = 1/4.

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Antonio