Para cada s > 1 , se define z(s) = Sum(1/n^s, n = 1..oo )

( Función zeta de Riemann )

Fijado s > 1, sea N un número natural elegido con distribución

P ( N = n ) = 1 / ( z(s)*n^s ) , n = 1,2,3, ....

a) Calcular la probabilidad de que N sea múltipo de m para cada
m natural.

b) Si se descompone N en factores primos :

N = (2^x1) (3^x2)(5^x3)....(pr^xr)

determinar la distribución de xr.

c) Probar que x1,x2,.... xr son variables aleatorias independientes.

d) Deducir que z(s) = Product ( (1-pr^(-s) )^(-1) , r = 1..oo )

( Fórmula de Euler )

Saludos,

"Luis" <lamck***hotmail.com> writes:

Primero, quisiera observar que en mi opinión esto no es la manera más
intuitiva de abordar la formula de Euler.

> Para cada s > 1 , se define z(s) = Sum(1/n^s, n = 1..oo )
>
> ( Función zeta de Riemann )
>
> Fijado s > 1, sea N un número natural elegido con distribución
>
> P ( N = n ) = 1 / ( z(s)*n^s ) , n = 1,2,3, ....
>
> a) Calcular la probabilidad de que N sea múltipo de m para cada
> m natural.

sum_{d>=1} P[N = md] = sum_{d>=1} 1/Zeta(s)/(md)^s =

1/m^s 1/Zeta(s) sum_{d>=1} 1/d^s = 1/m^s


>
> b) Si se descompone N en factores primos :
>
> N = (2^x1) (3^x2)(5^x3)....(pr^xr)
>
> determinar la distribución de xr.
>

P[x_r = k] = P[x_r >= k] - P[x_r >= k+1]

Por a), esto vale

1/p_r^(ks) - 1/p_r^((k+1)s)


> c) Probar que x1,x2,.... xr son variables aleatorias independientes.

P[x_r = k; x_q = m] =

P[x_r >= k; x_q = m] - P[x_e >= k+1; x_q = m] =

P[x_r >= k; x_q >= m] - P[x_e >= k+1; x_q >= m]
- P[x_r >= k; x_q >= m+1] + P[x_e >= k+1; x_q >= m+1] =

Por a), esto es

1/(p_r^k p_q^m)^s - 1/(p_r^(k+1) p_q^m)^s
- 1/(p_r^k p_q^(m+1))^s + 1/(p_r^(k+1) p_q^(m+1))^s =

(1/p_r^k - 1/p_r^(k+1)) (1/p_q^m - 1/p_q^(m+1)) =

P[x_r = k] P[x_q = m].

>
> d) Deducir que z(s) = Product ( (1-pr^(-s) )^(-1) , r = 1..oo )
>
> ( Fórmula de Euler )
>

Por a) 1-1/p_r^s es la probabilidad de no ser N multiplo de p_r. Entonces

(1-1/p_1^s) (1-1/p_2^s) ...

es la probabilidad de no ser N múltiplo de ningún primo, es decir, N=1, y

(1-1/p_1^s) (1-1/p_2^s) ... = P[N=1] = 1/Zeta(s),

con lo cual, Zeta(s) = (1-1/p_1^s)^(-1) (1-1/p_2^s)^(-1) ...

Un saludo.

--
+-------------------------------------------------------------+
| Marko Riedel, EDV Neue Arbeit gGmbH, markoriedelde***yahoo.de |
| http://www.geocities.com/markoriedelde/index.html |
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"Luis" <lamck***hotmail.com> writes:

Primero, quisiera observar que en mi opinión esto no es la manera más
intuitiva de abordar la formula de Euler.

> Para cada s > 1 , se define z(s) = Sum(1/n^s, n = 1..oo )
>
> ( Función zeta de Riemann )
>
> Fijado s > 1, sea N un número natural elegido con distribución
>
> P ( N = n ) = 1 / ( z(s)*n^s ) , n = 1,2,3, ....
>
> a) Calcular la probabilidad de que N sea múltipo de m para cada
> m natural.

sum_{d>=1} P[N = md] = sum_{d>=1} 1/Zeta(s)/(md)^s =

1/m^s 1/Zeta(s) sum_{d>=1} 1/d^s = 1/m^s


>
> b) Si se descompone N en factores primos :
>
> N = (2^x1) (3^x2)(5^x3)....(pr^xr)
>
> determinar la distribución de xr.
>

P[x_r = k] = P[x_r >= k] - P[x_r >= k+1]

Por a), esto vale

1/p_r^(ks) - 1/p_r^((k+1)s)


> c) Probar que x1,x2,.... xr son variables aleatorias independientes.

P[x_r = k; x_q = m] =

P[x_r >= k; x_q = m] - P[x_e >= k+1; x_q = m] =

P[x_r >= k; x_q >= m] - P[x_e >= k+1; x_q >= m]
- P[x_r >= k; x_q >= m+1] + P[x_e >= k+1; x_q >= m+1] =

Por a), esto es

1/(p_r^k p_q^m)^s - 1/(p_r^(k+1) p_q^m)^s
- 1/(p_r^k p_q^(m+1))^s + 1/(p_r^(k+1) p_q^(m+1))^s =

(1/p_r^k - 1/p_r^(k+1)) (1/p_q^m - 1/p_q^(m+1)) =

P[x_r = k] P[x_q = m].

>
> d) Deducir que z(s) = Product ( (1-pr^(-s) )^(-1) , r = 1..oo )
>
> ( Fórmula de Euler )
>

Por a) 1-1/p_r^s es la probabilidad de no ser N multiplo de p_r. Entonces

(1-1/p_1^s) (1-1/p_2^s) ...

es la probabilidad de no ser N múltiplo de ningún primo, es decir, N=1, y

(1-1/p_1^s) (1-1/p_2^s) ... = P[N=1] = 1/Zeta(s),

con lo cual, Zeta(s) = (1-1/p_1^s)^(-1) (1-1/p_2^s)^(-1) ...

Un saludo.

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"Luis" <lamck***hotmail.com> writes:

Primero, quisiera observar que en mi opinión esto no es la manera más
intuitiva de abordar la formula de Euler.

> Para cada s > 1 , se define z(s) = Sum(1/n^s, n = 1..oo )
>
> ( Función zeta de Riemann )
>
> Fijado s > 1, sea N un número natural elegido con distribución
>
> P ( N = n ) = 1 / ( z(s)*n^s ) , n = 1,2,3, ....
>
> a) Calcular la probabilidad de que N sea múltipo de m para cada
> m natural.

sum_{d>=1} P[N = md] = sum_{d>=1} 1/Zeta(s)/(md)^s =

1/m^s 1/Zeta(s) sum_{d>=1} 1/d^s = 1/m^s


>
> b) Si se descompone N en factores primos :
>
> N = (2^x1) (3^x2)(5^x3)....(pr^xr)
>
> determinar la distribución de xr.
>

P[x_r = k] = P[x_r >= k] - P[x_r >= k+1]

Por a), esto vale

1/p_r^(ks) - 1/p_r^((k+1)s)


> c) Probar que x1,x2,.... xr son variables aleatorias independientes.

P[x_r = k; x_q = m] =

P[x_r >= k; x_q = m] - P[x_e >= k+1; x_q = m] =

P[x_r >= k; x_q >= m] - P[x_e >= k+1; x_q >= m]
- P[x_r >= k; x_q >= m+1] + P[x_e >= k+1; x_q >= m+1] =

Por a), esto es

1/(p_r^k p_q^m)^s - 1/(p_r^(k+1) p_q^m)^s
- 1/(p_r^k p_q^(m+1))^s + 1/(p_r^(k+1) p_q^(m+1))^s =

(1/p_r^k - 1/p_r^(k+1)) (1/p_q^m - 1/p_q^(m+1)) =

P[x_r = k] P[x_q = m].

>
> d) Deducir que z(s) = Product ( (1-pr^(-s) )^(-1) , r = 1..oo )
>
> ( Fórmula de Euler )
>

Por a) 1-1/p_r^s es la probabilidad de no ser N multiplo de p_r. Entonces

(1-1/p_1^s) (1-1/p_2^s) ...

es la probabilidad de no ser N múltiplo de ningún primo, es decir, N=1, y

(1-1/p_1^s) (1-1/p_2^s) ... = P[N=1] = 1/Zeta(s),

con lo cual, Zeta(s) = (1-1/p_1^s)^(-1) (1-1/p_2^s)^(-1) ...

Un saludo.

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