Cuatro rectas en posición general determinan ___ puntos de intersección y
___ triángulos (esta es fácil). Pero, ¿en cuantos puntos se cortan las
circunferencias circunscritas a estos triángulos?


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

On Aug 1, 7:05***pm, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Cuatro rectas en posición general determinan ___ puntos de intersección y
> ___ triángulos (esta es fácil). Pero, ¿en cuantos puntos se cortan las
> circunferencias circunscritas a estos triángulos?
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

WOW!! como me ha gustado!

es un problema de geometria proyectiva muy bello :-)

las respuestas son:
las rectas determinan 6 puntos de intersección y 4 triángulos. (parte
fácil, pura combinatoria)

las 4 circunferencias circunscritas se cortan en 7 puntos: los 6
mismos de las rectas (uno para cada par de circunferencias. estos son
fáciles de ver) y otro donde se cortan las 4 circunferencias (y que
corresponde al punto del infinito del plano proyectivo).


Jordi Loki

On Aug 1, 7:05***pm, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Cuatro rectas en posición general determinan ___ puntos de intersección y
> ___ triángulos (esta es fácil). Pero, ¿en cuantos puntos se cortan las
> circunferencias circunscritas a estos triángulos?
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

WOW!! como me ha gustado!

es un problema de geometria proyectiva muy bello :-)

las respuestas son:
las rectas determinan 6 puntos de intersección y 4 triángulos. (parte
fácil, pura combinatoria)

las 4 circunferencias circunscritas se cortan en 7 puntos: los 6
mismos de las rectas (uno para cada par de circunferencias. estos son
fáciles de ver) y otro donde se cortan las 4 circunferencias (y que
corresponde al punto del infinito del plano proyectivo).


Jordi Loki

On Aug 1, 7:05***pm, "Ignacio Larrosa Cañestro"
<ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
> Cuatro rectas en posición general determinan ___ puntos de intersección y
> ___ triángulos (esta es fácil). Pero, ¿en cuantos puntos se cortan las
> circunferencias circunscritas a estos triángulos?
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Cañestro
> A Coruña (España)
> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com

WOW!! como me ha gustado!

es un problema de geometria proyectiva muy bello :-)

las respuestas son:
las rectas determinan 6 puntos de intersección y 4 triángulos. (parte
fácil, pura combinatoria)

las 4 circunferencias circunscritas se cortan en 7 puntos: los 6
mismos de las rectas (uno para cada par de circunferencias. estos son
fáciles de ver) y otro donde se cortan las 4 circunferencias (y que
corresponde al punto del infinito del plano proyectivo).


Jordi Loki

Loki wrote:
> On Aug 1, 7:05 pm, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Cuatro rectas en posición general determinan ___ puntos de
>> intersección y ___ triángulos (esta es fácil). Pero, ¿en cuantos
>> puntos se cortan las circunferencias circunscritas a estos
>> triángulos?
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> WOW!! como me ha gustado!
>
> es un problema de geometria proyectiva muy bello :-)
>
> las respuestas son:
> las rectas determinan 6 puntos de intersección y 4 triángulos. (parte
> fácil, pura combinatoria)
>
> las 4 circunferencias circunscritas se cortan en 7 puntos: los 6
> mismos de las rectas (uno para cada par de circunferencias. estos son
> fáciles de ver) y otro donde se cortan las 4 circunferencias (y que
> corresponde al punto del infinito del plano proyectivo).
>

La respuesta es correcta, es una consecuencia del Teorema de Miquel. El
punto en que se cortan las cuatro circunferencias es el punto de Miquel de
las cuatro rectas.

Pero te refieres más bien al plano estereográfico (~ complejo), ¿no? Una
inversión con centro en el punto de Miquel transforma la figura en otra
equivalente, pues las rectas se transforman en circunferencias que pasan por
el punto de Miquel, y las circunferencias en rectas que no pasan, que se
cortan entre si en un punto "finito" y en el único punto del infinito.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Loki wrote:
> On Aug 1, 7:05 pm, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Cuatro rectas en posición general determinan ___ puntos de
>> intersección y ___ triángulos (esta es fácil). Pero, ¿en cuantos
>> puntos se cortan las circunferencias circunscritas a estos
>> triángulos?
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> WOW!! como me ha gustado!
>
> es un problema de geometria proyectiva muy bello :-)
>
> las respuestas son:
> las rectas determinan 6 puntos de intersección y 4 triángulos. (parte
> fácil, pura combinatoria)
>
> las 4 circunferencias circunscritas se cortan en 7 puntos: los 6
> mismos de las rectas (uno para cada par de circunferencias. estos son
> fáciles de ver) y otro donde se cortan las 4 circunferencias (y que
> corresponde al punto del infinito del plano proyectivo).
>

La respuesta es correcta, es una consecuencia del Teorema de Miquel. El
punto en que se cortan las cuatro circunferencias es el punto de Miquel de
las cuatro rectas.

Pero te refieres más bien al plano estereográfico (~ complejo), ¿no? Una
inversión con centro en el punto de Miquel transforma la figura en otra
equivalente, pues las rectas se transforman en circunferencias que pasan por
el punto de Miquel, y las circunferencias en rectas que no pasan, que se
cortan entre si en un punto "finito" y en el único punto del infinito.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
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Loki wrote:
> On Aug 1, 7:05 pm, "Ignacio Larrosa Cañestro"
> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>> Cuatro rectas en posición general determinan ___ puntos de
>> intersección y ___ triángulos (esta es fácil). Pero, ¿en cuantos
>> puntos se cortan las circunferencias circunscritas a estos
>> triángulos?
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Cañestro
>> A Coruña (España)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>
> WOW!! como me ha gustado!
>
> es un problema de geometria proyectiva muy bello :-)
>
> las respuestas son:
> las rectas determinan 6 puntos de intersección y 4 triángulos. (parte
> fácil, pura combinatoria)
>
> las 4 circunferencias circunscritas se cortan en 7 puntos: los 6
> mismos de las rectas (uno para cada par de circunferencias. estos son
> fáciles de ver) y otro donde se cortan las 4 circunferencias (y que
> corresponde al punto del infinito del plano proyectivo).
>

La respuesta es correcta, es una consecuencia del Teorema de Miquel. El
punto en que se cortan las cuatro circunferencias es el punto de Miquel de
las cuatro rectas.

Pero te refieres más bien al plano estereográfico (~ complejo), ¿no? Una
inversión con centro en el punto de Miquel transforma la figura en otra
equivalente, pues las rectas se transforman en circunferencias que pasan por
el punto de Miquel, y las circunferencias en rectas que no pasan, que se
cortan entre si en un punto "finito" y en el único punto del infinito.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
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Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Loki wrote:
>> On Aug 1, 7:05 pm, "Ignacio Larrosa Cañestro"
>> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>>> Cuatro rectas en posición general determinan ___ puntos de
>>> intersección y ___ triángulos (esta es fácil). Pero, ¿en cuantos
>>> puntos se cortan las circunferencias circunscritas a estos
>>> triángulos?
>>>
>>> --
>>> Saludos,
>>>
>>> Ignacio Larrosa Cañestro
>>> A Coruña (España)
>>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>>
>> WOW!! como me ha gustado!
>>
>> es un problema de geometria proyectiva muy bello :-)
>>
>> las respuestas son:
>> las rectas determinan 6 puntos de intersección y 4 triángulos. (parte
>> fácil, pura combinatoria)
>>
>> las 4 circunferencias circunscritas se cortan en 7 puntos: los 6
>> mismos de las rectas (uno para cada par de circunferencias. estos son
>> fáciles de ver) y otro donde se cortan las 4 circunferencias (y que
>> corresponde al punto del infinito del plano proyectivo).
>>
>
> La respuesta es correcta, es una consecuencia del Teorema de Miquel.
> El punto en que se cortan las cuatro circunferencias es el punto de
> Miquel de las cuatro rectas.
>

Esta "configuración" de Miquel tiene otras curiosidades:

a) Los circuncentros de los cuatro triángulos son concíclicos. Y es más,
esta nueva circunferencia tambien pasa por el punto de Miquel.

b) El punto de Miquel es el foco de la única parábola tangente a las cuatro
rectas.

Pues eso, solo hay que demostrarlo.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Loki wrote:
>> On Aug 1, 7:05 pm, "Ignacio Larrosa Cañestro"
>> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>>> Cuatro rectas en posición general determinan ___ puntos de
>>> intersección y ___ triángulos (esta es fácil). Pero, ¿en cuantos
>>> puntos se cortan las circunferencias circunscritas a estos
>>> triángulos?
>>>
>>> --
>>> Saludos,
>>>
>>> Ignacio Larrosa Cañestro
>>> A Coruña (España)
>>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>>
>> WOW!! como me ha gustado!
>>
>> es un problema de geometria proyectiva muy bello :-)
>>
>> las respuestas son:
>> las rectas determinan 6 puntos de intersección y 4 triángulos. (parte
>> fácil, pura combinatoria)
>>
>> las 4 circunferencias circunscritas se cortan en 7 puntos: los 6
>> mismos de las rectas (uno para cada par de circunferencias. estos son
>> fáciles de ver) y otro donde se cortan las 4 circunferencias (y que
>> corresponde al punto del infinito del plano proyectivo).
>>
>
> La respuesta es correcta, es una consecuencia del Teorema de Miquel.
> El punto en que se cortan las cuatro circunferencias es el punto de
> Miquel de las cuatro rectas.
>

Esta "configuración" de Miquel tiene otras curiosidades:

a) Los circuncentros de los cuatro triángulos son concíclicos. Y es más,
esta nueva circunferencia tambien pasa por el punto de Miquel.

b) El punto de Miquel es el foco de la única parábola tangente a las cuatro
rectas.

Pues eso, solo hay que demostrarlo.


--
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Ignacio Larrosa Cañestro
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Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Loki wrote:
>> On Aug 1, 7:05 pm, "Ignacio Larrosa Cañestro"
>> <ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com> wrote:
>>> Cuatro rectas en posición general determinan ___ puntos de
>>> intersección y ___ triángulos (esta es fácil). Pero, ¿en cuantos
>>> puntos se cortan las circunferencias circunscritas a estos
>>> triángulos?
>>>
>>> --
>>> Saludos,
>>>
>>> Ignacio Larrosa Cañestro
>>> A Coruña (España)
>>> ilarrosaQUITARMAYUSCU...***mundo-r.com
>>
>> WOW!! como me ha gustado!
>>
>> es un problema de geometria proyectiva muy bello :-)
>>
>> las respuestas son:
>> las rectas determinan 6 puntos de intersección y 4 triángulos. (parte
>> fácil, pura combinatoria)
>>
>> las 4 circunferencias circunscritas se cortan en 7 puntos: los 6
>> mismos de las rectas (uno para cada par de circunferencias. estos son
>> fáciles de ver) y otro donde se cortan las 4 circunferencias (y que
>> corresponde al punto del infinito del plano proyectivo).
>>
>
> La respuesta es correcta, es una consecuencia del Teorema de Miquel.
> El punto en que se cortan las cuatro circunferencias es el punto de
> Miquel de las cuatro rectas.
>

Esta "configuración" de Miquel tiene otras curiosidades:

a) Los circuncentros de los cuatro triángulos son concíclicos. Y es más,
esta nueva circunferencia tambien pasa por el punto de Miquel.

b) El punto de Miquel es el foco de la única parábola tangente a las cuatro
rectas.

Pues eso, solo hay que demostrarlo.


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Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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