Se tienen cuatro circunferencias c1, c2, c3 y c4, con centros e
intersecciones alternados sobre otra circunferencia c0. Demostrar que las
otras cuatro intersecciones
están en los vértices de un rectángulo.


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Se tienen cuatro circunferencias c1, c2, c3 y c4, con centros e
> intersecciones alternados sobre otra circunferencia c0. Demostrar que las
> otras cuatro intersecciones
> est�n en los v�rtices de un rect�ngulo.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Sean A,A',B,B',C,C',D,D' ocho puntos en este orden, en el circulo (c)
de centro O,
tales que AA'=AD', BA'=BB',CB'=CC', DC'=DD'.
Sean A" el otro punto (que A' ) de interseccion de los circulos
C(A,AA') y C(B,BB')
y B", C" , D" igualmente.

Con el angulo inscrito se prueba :

1) que (AC) es perpendicular a (BD).

2) que A, A",B' (igualmente B,A",D' y B,B",C') estan alineados.

3) que el triangulo A"BB" es isoceles con (BD) perpendicular a
(A"B"), igualmente (AC) perpendicular a
(B"C") etc.

4) asi que, por 1), (A"B") es perpendicular a (B"C") y A"B"C"D" es un
rectangulo.


Con diez puntos de mismo tipo que dan los puntos A",B",C",D",E".
Que particularidad tiene la figura A"B"C"D"E"?

Saludos,
Georges

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Se tienen cuatro circunferencias c1, c2, c3 y c4, con centros e
> intersecciones alternados sobre otra circunferencia c0. Demostrar que las
> otras cuatro intersecciones
> est�n en los v�rtices de un rect�ngulo.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Sean A,A',B,B',C,C',D,D' ocho puntos en este orden, en el circulo (c)
de centro O,
tales que AA'=AD', BA'=BB',CB'=CC', DC'=DD'.
Sean A" el otro punto (que A' ) de interseccion de los circulos
C(A,AA') y C(B,BB')
y B", C" , D" igualmente.

Con el angulo inscrito se prueba :

1) que (AC) es perpendicular a (BD).

2) que A, A",B' (igualmente B,A",D' y B,B",C') estan alineados.

3) que el triangulo A"BB" es isoceles con (BD) perpendicular a
(A"B"), igualmente (AC) perpendicular a
(B"C") etc.

4) asi que, por 1), (A"B") es perpendicular a (B"C") y A"B"C"D" es un
rectangulo.


Con diez puntos de mismo tipo que dan los puntos A",B",C",D",E".
Que particularidad tiene la figura A"B"C"D"E"?

Saludos,
Georges

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> Se tienen cuatro circunferencias c1, c2, c3 y c4, con centros e
> intersecciones alternados sobre otra circunferencia c0. Demostrar que las
> otras cuatro intersecciones
> est�n en los v�rtices de un rect�ngulo.
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Sean A,A',B,B',C,C',D,D' ocho puntos en este orden, en el circulo (c)
de centro O,
tales que AA'=AD', BA'=BB',CB'=CC', DC'=DD'.
Sean A" el otro punto (que A' ) de interseccion de los circulos
C(A,AA') y C(B,BB')
y B", C" , D" igualmente.

Con el angulo inscrito se prueba :

1) que (AC) es perpendicular a (BD).

2) que A, A",B' (igualmente B,A",D' y B,B",C') estan alineados.

3) que el triangulo A"BB" es isoceles con (BD) perpendicular a
(A"B"), igualmente (AC) perpendicular a
(B"C") etc.

4) asi que, por 1), (A"B") es perpendicular a (B"C") y A"B"C"D" es un
rectangulo.


Con diez puntos de mismo tipo que dan los puntos A",B",C",D",E".
Que particularidad tiene la figura A"B"C"D"E"?

Saludos,
Georges

georgesZ wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>> Se tienen cuatro circunferencias c1, c2, c3 y c4, con centros e
>> intersecciones alternados sobre otra circunferencia c0. Demostrar
>> que las otras cuatro intersecciones
>> est?n en los v?rtices de un rect?ngulo.
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca?estro
>> A Coru?a (Espa?a)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
> Sean A,A',B,B',C,C',D,D' ocho puntos en este orden, en el circulo (c)
> de centro O,
> tales que AA'=AD', BA'=BB',CB'=CC', DC'=DD'.
> Sean A" el otro punto (que A' ) de interseccion de los circulos
> C(A,AA') y C(B,BB')
> y B", C" , D" igualmente.
>
> Con el angulo inscrito se prueba :
>
> 1) que (AC) es perpendicular a (BD).
> 2) que A, A",B' (igualmente B,A",D' y B,B",C') estan alineados.
>
> 3) que el triangulo A"BB" es isoceles con (BD) perpendicular a
> (A"B"), igualmente (AC) perpendicular a
> (B"C") etc.
>
> 4) asi que, por 1), (A"B") es perpendicular a (B"C") y A"B"C"D" es un
> rectangulo.

A" es el incentro del triángulo D'A'B' (y el ortocentro del triángulo de
vértices A, B y el punto medio del arco B'D')

Queda una curiosa estrella de ocho puntas si unimos el centro de cada
circunferencia con los puntos de corte de las dos adyacentes con la
circunferencia c0, con los lados que parten de los centros de dos
circunferencias vecinas cortandose bien en la circunferencia c0, bien en los
vérices del rectángulo A"B"C"D", sobre otra circunferencia, por tanto.

Por cierto, si no se exige que A, B, C y D estén en c0, sino tan solo A',
B', C' y D', los otros puntos de corte de estas cuatro circunferencias ya no
forman un rectángulo, pero si que siguen siendo concíclicos. La disposición
es ahora "simétrica" respecto a las circunferencias. Cualquiera de estas
seis circunferencias puede tomarse como la inicial. Hay otras cuatro que se
cortan dos a dos sobre ella, y tales que sus otros puntos de corte están en
la sexta circunferencia.


> Con diez puntos de mismo tipo que dan los puntos A",B",C",D",E".
> Que particularidad tiene la figura A"B"C"D"E"?

Este es el teorma de los cinco círculos de Miquel (naturalmente). El
pentágono A"B"C"D"E" es tal que las prolongaciones de sus lados se cortan en
los puntos A''', B''', C''', D''' y E''', situados sobre las circunferencias
c_A, c_B, c_C, c_D y c_E respectivamente.

Pero no son esas las únicas alineaciones. También están alineados los puntos
A'''AC', B'''BD', C'''CE', D'''DA' y E'''EB'. Asi como, al igual que en el
caso de los cuatro círculos (realmente ya se da cuando solo hay tres
circulos), los puntos {A, A", B'} y {A, E", D'} (y sus 'rotaciones').

Aqui hay una figura de Geogebra:

http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...5circulos.html


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

georgesZ wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>> Se tienen cuatro circunferencias c1, c2, c3 y c4, con centros e
>> intersecciones alternados sobre otra circunferencia c0. Demostrar
>> que las otras cuatro intersecciones
>> est?n en los v?rtices de un rect?ngulo.
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca?estro
>> A Coru?a (Espa?a)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
> Sean A,A',B,B',C,C',D,D' ocho puntos en este orden, en el circulo (c)
> de centro O,
> tales que AA'=AD', BA'=BB',CB'=CC', DC'=DD'.
> Sean A" el otro punto (que A' ) de interseccion de los circulos
> C(A,AA') y C(B,BB')
> y B", C" , D" igualmente.
>
> Con el angulo inscrito se prueba :
>
> 1) que (AC) es perpendicular a (BD).
> 2) que A, A",B' (igualmente B,A",D' y B,B",C') estan alineados.
>
> 3) que el triangulo A"BB" es isoceles con (BD) perpendicular a
> (A"B"), igualmente (AC) perpendicular a
> (B"C") etc.
>
> 4) asi que, por 1), (A"B") es perpendicular a (B"C") y A"B"C"D" es un
> rectangulo.

A" es el incentro del triángulo D'A'B' (y el ortocentro del triángulo de
vértices A, B y el punto medio del arco B'D')

Queda una curiosa estrella de ocho puntas si unimos el centro de cada
circunferencia con los puntos de corte de las dos adyacentes con la
circunferencia c0, con los lados que parten de los centros de dos
circunferencias vecinas cortandose bien en la circunferencia c0, bien en los
vérices del rectángulo A"B"C"D", sobre otra circunferencia, por tanto.

Por cierto, si no se exige que A, B, C y D estén en c0, sino tan solo A',
B', C' y D', los otros puntos de corte de estas cuatro circunferencias ya no
forman un rectángulo, pero si que siguen siendo concíclicos. La disposición
es ahora "simétrica" respecto a las circunferencias. Cualquiera de estas
seis circunferencias puede tomarse como la inicial. Hay otras cuatro que se
cortan dos a dos sobre ella, y tales que sus otros puntos de corte están en
la sexta circunferencia.


> Con diez puntos de mismo tipo que dan los puntos A",B",C",D",E".
> Que particularidad tiene la figura A"B"C"D"E"?

Este es el teorma de los cinco círculos de Miquel (naturalmente). El
pentágono A"B"C"D"E" es tal que las prolongaciones de sus lados se cortan en
los puntos A''', B''', C''', D''' y E''', situados sobre las circunferencias
c_A, c_B, c_C, c_D y c_E respectivamente.

Pero no son esas las únicas alineaciones. También están alineados los puntos
A'''AC', B'''BD', C'''CE', D'''DA' y E'''EB'. Asi como, al igual que en el
caso de los cuatro círculos (realmente ya se da cuando solo hay tres
circulos), los puntos {A, A", B'} y {A, E", D'} (y sus 'rotaciones').

Aqui hay una figura de Geogebra:

http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...5circulos.html


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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georgesZ wrote:
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
>> Se tienen cuatro circunferencias c1, c2, c3 y c4, con centros e
>> intersecciones alternados sobre otra circunferencia c0. Demostrar
>> que las otras cuatro intersecciones
>> est?n en los v?rtices de un rect?ngulo.
>>
>>
>> --
>> Saludos,
>>
>> Ignacio Larrosa Ca?estro
>> A Coru?a (Espa?a)
>> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
>
> Sean A,A',B,B',C,C',D,D' ocho puntos en este orden, en el circulo (c)
> de centro O,
> tales que AA'=AD', BA'=BB',CB'=CC', DC'=DD'.
> Sean A" el otro punto (que A' ) de interseccion de los circulos
> C(A,AA') y C(B,BB')
> y B", C" , D" igualmente.
>
> Con el angulo inscrito se prueba :
>
> 1) que (AC) es perpendicular a (BD).
> 2) que A, A",B' (igualmente B,A",D' y B,B",C') estan alineados.
>
> 3) que el triangulo A"BB" es isoceles con (BD) perpendicular a
> (A"B"), igualmente (AC) perpendicular a
> (B"C") etc.
>
> 4) asi que, por 1), (A"B") es perpendicular a (B"C") y A"B"C"D" es un
> rectangulo.

A" es el incentro del triángulo D'A'B' (y el ortocentro del triángulo de
vértices A, B y el punto medio del arco B'D')

Queda una curiosa estrella de ocho puntas si unimos el centro de cada
circunferencia con los puntos de corte de las dos adyacentes con la
circunferencia c0, con los lados que parten de los centros de dos
circunferencias vecinas cortandose bien en la circunferencia c0, bien en los
vérices del rectángulo A"B"C"D", sobre otra circunferencia, por tanto.

Por cierto, si no se exige que A, B, C y D estén en c0, sino tan solo A',
B', C' y D', los otros puntos de corte de estas cuatro circunferencias ya no
forman un rectángulo, pero si que siguen siendo concíclicos. La disposición
es ahora "simétrica" respecto a las circunferencias. Cualquiera de estas
seis circunferencias puede tomarse como la inicial. Hay otras cuatro que se
cortan dos a dos sobre ella, y tales que sus otros puntos de corte están en
la sexta circunferencia.


> Con diez puntos de mismo tipo que dan los puntos A",B",C",D",E".
> Que particularidad tiene la figura A"B"C"D"E"?

Este es el teorma de los cinco círculos de Miquel (naturalmente). El
pentágono A"B"C"D"E" es tal que las prolongaciones de sus lados se cortan en
los puntos A''', B''', C''', D''' y E''', situados sobre las circunferencias
c_A, c_B, c_C, c_D y c_E respectivamente.

Pero no son esas las únicas alineaciones. También están alineados los puntos
A'''AC', B'''BD', C'''CE', D'''DA' y E'''EB'. Asi como, al igual que en el
caso de los cuatro círculos (realmente ya se da cuando solo hay tres
circulos), los puntos {A, A", B'} y {A, E", D'} (y sus 'rotaciones').

Aqui hay una figura de Geogebra:

http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...5circulos.html


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
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Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> georgesZ wrote:
> > Ignacio Larrosa Ca�estro wrote:
> >> Se tienen cuatro circunferencias c1, c2, c3 y c4, con centros e
> >> intersecciones alternados sobre otra circunferencia c0. Demostrar
> >> que las otras cuatro intersecciones
> >> est?n en los v?rtices de un rect?ngulo.
> >>
> >>
> >> --
> >> Saludos,
> >>
> >> Ignacio Larrosa Ca?estro
> >> A Coru?a (Espa?a)
> >> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
> >
> > Sean A,A',B,B',C,C',D,D' ocho puntos en este orden, en el circulo (c)
> > de centro O,
> > tales que AA'=AD', BA'=BB',CB'=CC', DC'=DD'.
> > Sean A" el otro punto (que A' ) de interseccion de los circulos
> > C(A,AA') y C(B,BB')
> > y B", C" , D" igualmente.
> >
> > Con el angulo inscrito se prueba :
> >
> > 1) que (AC) es perpendicular a (BD).
> > 2) que A, A",B' (igualmente B,A",D' y B,B",C') estan alineados.
> >
> > 3) que el triangulo A"BB" es isoceles con (BD) perpendicular a
> > (A"B"), igualmente (AC) perpendicular a
> > (B"C") etc.
> >
> > 4) asi que, por 1), (A"B") es perpendicular a (B"C") y A"B"C"D" es un
> > rectangulo.
>
> A" es el incentro del tri�ngulo D'A'B' (y el ortocentro del tri�ngulo de
> v�rtices A, B y el punto medio del arco B'D')
>
> Queda una curiosa estrella de ocho puntas si unimos el centro de cada
> circunferencia con los puntos de corte de las dos adyacentes con la
> circunferencia c0, con los lados que parten de los centros de dos
> circunferencias vecinas cortandose bien en la circunferencia c0, bien en los
> v�rices del rect�ngulo A"B"C"D", sobre otra circunferencia, por tanto.
>
> Por cierto, si no se exige que A, B, C y D est�n en c0, sino tan solo A',
> B', C' y D', los otros puntos de corte de estas cuatro circunferencias yano
> forman un rect�ngulo, pero si que siguen siendo conc�clicos. La disposici�n
> es ahora "sim�trica" respecto a las circunferencias. Cualquiera de estas
> seis circunferencias puede tomarse como la inicial. Hay otras cuatro que se
> cortan dos a dos sobre ella, y tales que sus otros puntos de corte est�n en
> la sexta circunferencia.
>
>
> > Con diez puntos de mismo tipo que dan los puntos A",B",C",D",E".
> > Que particularidad tiene la figura A"B"C"D"E"?
>
> Este es el teorma de los cinco c�rculos de Miquel (naturalmente).El
> pent�gono A"B"C"D"E" es tal que las prolongaciones de sus lados se cortan en
> los puntos A''', B''', C''', D''' y E''', situados sobre las circunferencias
> c_A, c_B, c_C, c_D y c_E respectivamente.
>
> Pero no son esas las �nicas alineaciones. Tambi�n est�n alineados los puntos
> A'''AC', B'''BD', C'''CE', D'''DA' y E'''EB'. Asi como, al igual que en el
> caso de los cuatro c�rculos (realmente ya se da cuando solo hay tres
> circulos), los puntos {A, A", B'} y {A, E", D'} (y sus 'rotaciones').
>
> Aqui hay una figura de Geogebra:
>
> http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...5circulos.html
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Hola,
u
n problema similar a este (por el momento sin prueba de la reciproca)
esta en "les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5"

en el hilo : "Le rectangle des centres des cercles inscrits" iniziado
por
J.L. Aymé el 31 de agosto.

Sobre el teorema de Miquel (en facto de Steiner) sobre el quadrilatero
completo,
como se prueba que el circulo de los centros de los circulos de los 4
triangulos
pasa por el punto commun a estos 4 circulos?


Amistades,
Georges

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> georgesZ wrote:
> > Ignacio Larrosa Ca�estro wrote:
> >> Se tienen cuatro circunferencias c1, c2, c3 y c4, con centros e
> >> intersecciones alternados sobre otra circunferencia c0. Demostrar
> >> que las otras cuatro intersecciones
> >> est?n en los v?rtices de un rect?ngulo.
> >>
> >>
> >> --
> >> Saludos,
> >>
> >> Ignacio Larrosa Ca?estro
> >> A Coru?a (Espa?a)
> >> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
> >
> > Sean A,A',B,B',C,C',D,D' ocho puntos en este orden, en el circulo (c)
> > de centro O,
> > tales que AA'=AD', BA'=BB',CB'=CC', DC'=DD'.
> > Sean A" el otro punto (que A' ) de interseccion de los circulos
> > C(A,AA') y C(B,BB')
> > y B", C" , D" igualmente.
> >
> > Con el angulo inscrito se prueba :
> >
> > 1) que (AC) es perpendicular a (BD).
> > 2) que A, A",B' (igualmente B,A",D' y B,B",C') estan alineados.
> >
> > 3) que el triangulo A"BB" es isoceles con (BD) perpendicular a
> > (A"B"), igualmente (AC) perpendicular a
> > (B"C") etc.
> >
> > 4) asi que, por 1), (A"B") es perpendicular a (B"C") y A"B"C"D" es un
> > rectangulo.
>
> A" es el incentro del tri�ngulo D'A'B' (y el ortocentro del tri�ngulo de
> v�rtices A, B y el punto medio del arco B'D')
>
> Queda una curiosa estrella de ocho puntas si unimos el centro de cada
> circunferencia con los puntos de corte de las dos adyacentes con la
> circunferencia c0, con los lados que parten de los centros de dos
> circunferencias vecinas cortandose bien en la circunferencia c0, bien en los
> v�rices del rect�ngulo A"B"C"D", sobre otra circunferencia, por tanto.
>
> Por cierto, si no se exige que A, B, C y D est�n en c0, sino tan solo A',
> B', C' y D', los otros puntos de corte de estas cuatro circunferencias yano
> forman un rect�ngulo, pero si que siguen siendo conc�clicos. La disposici�n
> es ahora "sim�trica" respecto a las circunferencias. Cualquiera de estas
> seis circunferencias puede tomarse como la inicial. Hay otras cuatro que se
> cortan dos a dos sobre ella, y tales que sus otros puntos de corte est�n en
> la sexta circunferencia.
>
>
> > Con diez puntos de mismo tipo que dan los puntos A",B",C",D",E".
> > Que particularidad tiene la figura A"B"C"D"E"?
>
> Este es el teorma de los cinco c�rculos de Miquel (naturalmente).El
> pent�gono A"B"C"D"E" es tal que las prolongaciones de sus lados se cortan en
> los puntos A''', B''', C''', D''' y E''', situados sobre las circunferencias
> c_A, c_B, c_C, c_D y c_E respectivamente.
>
> Pero no son esas las �nicas alineaciones. Tambi�n est�n alineados los puntos
> A'''AC', B'''BD', C'''CE', D'''DA' y E'''EB'. Asi como, al igual que en el
> caso de los cuatro c�rculos (realmente ya se da cuando solo hay tres
> circulos), los puntos {A, A", B'} y {A, E", D'} (y sus 'rotaciones').
>
> Aqui hay una figura de Geogebra:
>
> http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...5circulos.html
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Hola,
u
n problema similar a este (por el momento sin prueba de la reciproca)
esta en "les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5"

en el hilo : "Le rectangle des centres des cercles inscrits" iniziado
por
J.L. Aymé el 31 de agosto.

Sobre el teorema de Miquel (en facto de Steiner) sobre el quadrilatero
completo,
como se prueba que el circulo de los centros de los circulos de los 4
triangulos
pasa por el punto commun a estos 4 circulos?


Amistades,
Georges

Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> georgesZ wrote:
> > Ignacio Larrosa Ca�estro wrote:
> >> Se tienen cuatro circunferencias c1, c2, c3 y c4, con centros e
> >> intersecciones alternados sobre otra circunferencia c0. Demostrar
> >> que las otras cuatro intersecciones
> >> est?n en los v?rtices de un rect?ngulo.
> >>
> >>
> >> --
> >> Saludos,
> >>
> >> Ignacio Larrosa Ca?estro
> >> A Coru?a (Espa?a)
> >> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com
> >
> > Sean A,A',B,B',C,C',D,D' ocho puntos en este orden, en el circulo (c)
> > de centro O,
> > tales que AA'=AD', BA'=BB',CB'=CC', DC'=DD'.
> > Sean A" el otro punto (que A' ) de interseccion de los circulos
> > C(A,AA') y C(B,BB')
> > y B", C" , D" igualmente.
> >
> > Con el angulo inscrito se prueba :
> >
> > 1) que (AC) es perpendicular a (BD).
> > 2) que A, A",B' (igualmente B,A",D' y B,B",C') estan alineados.
> >
> > 3) que el triangulo A"BB" es isoceles con (BD) perpendicular a
> > (A"B"), igualmente (AC) perpendicular a
> > (B"C") etc.
> >
> > 4) asi que, por 1), (A"B") es perpendicular a (B"C") y A"B"C"D" es un
> > rectangulo.
>
> A" es el incentro del tri�ngulo D'A'B' (y el ortocentro del tri�ngulo de
> v�rtices A, B y el punto medio del arco B'D')
>
> Queda una curiosa estrella de ocho puntas si unimos el centro de cada
> circunferencia con los puntos de corte de las dos adyacentes con la
> circunferencia c0, con los lados que parten de los centros de dos
> circunferencias vecinas cortandose bien en la circunferencia c0, bien en los
> v�rices del rect�ngulo A"B"C"D", sobre otra circunferencia, por tanto.
>
> Por cierto, si no se exige que A, B, C y D est�n en c0, sino tan solo A',
> B', C' y D', los otros puntos de corte de estas cuatro circunferencias yano
> forman un rect�ngulo, pero si que siguen siendo conc�clicos. La disposici�n
> es ahora "sim�trica" respecto a las circunferencias. Cualquiera de estas
> seis circunferencias puede tomarse como la inicial. Hay otras cuatro que se
> cortan dos a dos sobre ella, y tales que sus otros puntos de corte est�n en
> la sexta circunferencia.
>
>
> > Con diez puntos de mismo tipo que dan los puntos A",B",C",D",E".
> > Que particularidad tiene la figura A"B"C"D"E"?
>
> Este es el teorma de los cinco c�rculos de Miquel (naturalmente).El
> pent�gono A"B"C"D"E" es tal que las prolongaciones de sus lados se cortan en
> los puntos A''', B''', C''', D''' y E''', situados sobre las circunferencias
> c_A, c_B, c_C, c_D y c_E respectivamente.
>
> Pero no son esas las �nicas alineaciones. Tambi�n est�n alineados los puntos
> A'''AC', B'''BD', C'''CE', D'''DA' y E'''EB'. Asi como, al igual que en el
> caso de los cuatro c�rculos (realmente ya se da cuando solo hay tres
> circulos), los puntos {A, A", B'} y {A, E", D'} (y sus 'rotaciones').
>
> Aqui hay una figura de Geogebra:
>
> http://www.xente.mundo-r.com/ilarros...5circulos.html
>
>
> --
> Saludos,
>
> Ignacio Larrosa Ca�estro
> A Coru�a (Espa�a)
> ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Hola,
u
n problema similar a este (por el momento sin prueba de la reciproca)
esta en "les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5"

en el hilo : "Le rectangle des centres des cercles inscrits" iniziado
por
J.L. Aymé el 31 de agosto.

Sobre el teorema de Miquel (en facto de Steiner) sobre el quadrilatero
completo,
como se prueba que el circulo de los centros de los circulos de los 4
triangulos
pasa por el punto commun a estos 4 circulos?


Amistades,
Georges