On 6 août, 13:10, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
> rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = ?
>
> Saludos,
>
> jhn

Hola
El fórmula de Ramanujan dado:

x+1 = rq(1+x*rq(1+(x+1)rq(1+...))

es suficiente fijar x=2

Ref:

http://plus.maths.org/issue11/features/cfractions/


--jf.alcover

On 6 août, 13:10, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
> rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = ?
>
> Saludos,
>
> jhn

Hola
El fórmula de Ramanujan dado:

x+1 = rq(1+x*rq(1+(x+1)rq(1+...))

es suficiente fijar x=2

Ref:

http://plus.maths.org/issue11/features/cfractions/


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On 6 août, 13:10, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
> rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = ?
>
> Saludos,
>
> jhn

Hola
El fórmula de Ramanujan dado:

x+1 = rq(1+x*rq(1+(x+1)rq(1+...))

es suficiente fijar x=2

Ref:

http://plus.maths.org/issue11/features/cfractions/


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On 6 ago, 11:27, jf.alco...***gmail.com wrote:
> On 6 août, 13:10, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
>
> > rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = ?
>
> > Saludos,
>
> > jhn
>
> Hola
> El fórmula de Ramanujan dado:
>
> x+1 = rq(1+x*rq(1+(x+1)rq(1+...))
>
> es suficiente fijar x=2
>
> Ref:
>
> http://plus.maths.org/issue11/features/cfractions/
>
> --jf.alcover

La fórmula general es muy fácil de probar sabiendo que para x=2 el
resultado es 3. ¿Pero cómo se prueba que

rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = 3?

jhn

On 6 ago, 11:27, jf.alco...***gmail.com wrote:
> On 6 août, 13:10, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
>
> > rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = ?
>
> > Saludos,
>
> > jhn
>
> Hola
> El fórmula de Ramanujan dado:
>
> x+1 = rq(1+x*rq(1+(x+1)rq(1+...))
>
> es suficiente fijar x=2
>
> Ref:
>
> http://plus.maths.org/issue11/features/cfractions/
>
> --jf.alcover

La fórmula general es muy fácil de probar sabiendo que para x=2 el
resultado es 3. ¿Pero cómo se prueba que

rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = 3?

jhn

On 6 ago, 11:27, jf.alco...***gmail.com wrote:
> On 6 août, 13:10, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
>
> > rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = ?
>
> > Saludos,
>
> > jhn
>
> Hola
> El fórmula de Ramanujan dado:
>
> x+1 = rq(1+x*rq(1+(x+1)rq(1+...))
>
> es suficiente fijar x=2
>
> Ref:
>
> http://plus.maths.org/issue11/features/cfractions/
>
> --jf.alcover

La fórmula general es muy fácil de probar sabiendo que para x=2 el
resultado es 3. ¿Pero cómo se prueba que

rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = 3?

jhn

>
> <jhnieto***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:ec2593fd-379d-4b3e-a113-a7b3f510697a***27g2000hsf.googlegroups.com...
> On 6 ago, 11:27, jf.alco...***gmail.com wrote:
>> On 6 août, 13:10, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
>>
>> > rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = ?
>>
>> > Saludos,
>>
>> > jhn
>>
>> Hola
>> El fórmula de Ramanujan dado:
>>
>> x+1 = rq(1+x*rq(1+(x+1)rq(1+...))
>>
>> es suficiente fijar x=2
>>
>> Ref:
>>
>> http://plus.maths.org/issue11/features/cfractions/
>>
>> --jf.alcover
>
> La fórmula general es muy fácil de probar sabiendo que para x=2 el
> resultado es 3. ¿Pero cómo se prueba que
>
> rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = 3?
>
> jhn
>
>
Ponemos

r(x) = rq(1 + x*rq(1 + (1+x)*rq(1 + (2+x)*rq(1 +...))))

Entonces

Los valores fáciles (no son tan fáciles porque pongo rq(1) = +1 o -1
como me necisito)

r(0) = rq(1 + 0* ...) = rq(1) = 1
r(-1) = rq(1 - rq(1 + (1-1)*rq ...)) = rq(1 - rq(1)) = 0
r(-2) = rq(1 - 2*rq(1 +(1-2)*rq(1 + 0*....))) = rq(1 - 2*rq(1-1*rq(1)))
= rq(1 - 0) = -1 (o +1)
r(-3) = rq(1 - 3*rq(1 +(1-3)*rq(1 + (2-3)*rq(1 + (3-3)*rq ....)))) =
rq(1 - 3*rq(1 +(1-3)*rq(1 + (2-3)*rq(1)))) =
rq(1 - 3*rq(1 - 2*rq(1 - rq(1)))) =
rq(1 - 3*rq(1 - 2*rq(0))) = rq(1 - 3*rq(1)) = rq(1+3) =
rq(4) = -2

Podemos deducir que r(x) = 1+x para x entero <=0 ? Y para x>0 ?

Unos valores con argumentos positivo

r(2) = rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + ...)))
r(1) = rq(1 + 1*rq(1 + 2*rq(1 + ...)))
-> r(1)^2 - 1 = r(2)

Si también r(x) = 1+x entonces r(1) = 2, r(2) = 3 y en efecto r(1)^2 -
1 = r(2)

Pero este es ninguna prueba, por supuesto.

.... ?!?!?

Me recuerda a la suma 1 + 2 + 3 + ... = - 1/12 del mismo señor ;-)

Saludos,
Wolfgang

>
> <jhnieto***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:ec2593fd-379d-4b3e-a113-a7b3f510697a***27g2000hsf.googlegroups.com...
> On 6 ago, 11:27, jf.alco...***gmail.com wrote:
>> On 6 août, 13:10, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
>>
>> > rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = ?
>>
>> > Saludos,
>>
>> > jhn
>>
>> Hola
>> El fórmula de Ramanujan dado:
>>
>> x+1 = rq(1+x*rq(1+(x+1)rq(1+...))
>>
>> es suficiente fijar x=2
>>
>> Ref:
>>
>> http://plus.maths.org/issue11/features/cfractions/
>>
>> --jf.alcover
>
> La fórmula general es muy fácil de probar sabiendo que para x=2 el
> resultado es 3. ¿Pero cómo se prueba que
>
> rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = 3?
>
> jhn
>
>
Ponemos

r(x) = rq(1 + x*rq(1 + (1+x)*rq(1 + (2+x)*rq(1 +...))))

Entonces

Los valores fáciles (no son tan fáciles porque pongo rq(1) = +1 o -1
como me necisito)

r(0) = rq(1 + 0* ...) = rq(1) = 1
r(-1) = rq(1 - rq(1 + (1-1)*rq ...)) = rq(1 - rq(1)) = 0
r(-2) = rq(1 - 2*rq(1 +(1-2)*rq(1 + 0*....))) = rq(1 - 2*rq(1-1*rq(1)))
= rq(1 - 0) = -1 (o +1)
r(-3) = rq(1 - 3*rq(1 +(1-3)*rq(1 + (2-3)*rq(1 + (3-3)*rq ....)))) =
rq(1 - 3*rq(1 +(1-3)*rq(1 + (2-3)*rq(1)))) =
rq(1 - 3*rq(1 - 2*rq(1 - rq(1)))) =
rq(1 - 3*rq(1 - 2*rq(0))) = rq(1 - 3*rq(1)) = rq(1+3) =
rq(4) = -2

Podemos deducir que r(x) = 1+x para x entero <=0 ? Y para x>0 ?

Unos valores con argumentos positivo

r(2) = rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + ...)))
r(1) = rq(1 + 1*rq(1 + 2*rq(1 + ...)))
-> r(1)^2 - 1 = r(2)

Si también r(x) = 1+x entonces r(1) = 2, r(2) = 3 y en efecto r(1)^2 -
1 = r(2)

Pero este es ninguna prueba, por supuesto.

.... ?!?!?

Me recuerda a la suma 1 + 2 + 3 + ... = - 1/12 del mismo señor ;-)

Saludos,
Wolfgang

>
> <jhnieto***gmail.com> schrieb im Newsbeitrag
> news:ec2593fd-379d-4b3e-a113-a7b3f510697a***27g2000hsf.googlegroups.com...
> On 6 ago, 11:27, jf.alco...***gmail.com wrote:
>> On 6 août, 13:10, "jhni...***gmail.com" <jhni...***gmail.com> wrote:
>>
>> > rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = ?
>>
>> > Saludos,
>>
>> > jhn
>>
>> Hola
>> El fórmula de Ramanujan dado:
>>
>> x+1 = rq(1+x*rq(1+(x+1)rq(1+...))
>>
>> es suficiente fijar x=2
>>
>> Ref:
>>
>> http://plus.maths.org/issue11/features/cfractions/
>>
>> --jf.alcover
>
> La fórmula general es muy fácil de probar sabiendo que para x=2 el
> resultado es 3. ¿Pero cómo se prueba que
>
> rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = 3?
>
> jhn
>
>
Ponemos

r(x) = rq(1 + x*rq(1 + (1+x)*rq(1 + (2+x)*rq(1 +...))))

Entonces

Los valores fáciles (no son tan fáciles porque pongo rq(1) = +1 o -1
como me necisito)

r(0) = rq(1 + 0* ...) = rq(1) = 1
r(-1) = rq(1 - rq(1 + (1-1)*rq ...)) = rq(1 - rq(1)) = 0
r(-2) = rq(1 - 2*rq(1 +(1-2)*rq(1 + 0*....))) = rq(1 - 2*rq(1-1*rq(1)))
= rq(1 - 0) = -1 (o +1)
r(-3) = rq(1 - 3*rq(1 +(1-3)*rq(1 + (2-3)*rq(1 + (3-3)*rq ....)))) =
rq(1 - 3*rq(1 +(1-3)*rq(1 + (2-3)*rq(1)))) =
rq(1 - 3*rq(1 - 2*rq(1 - rq(1)))) =
rq(1 - 3*rq(1 - 2*rq(0))) = rq(1 - 3*rq(1)) = rq(1+3) =
rq(4) = -2

Podemos deducir que r(x) = 1+x para x entero <=0 ? Y para x>0 ?

Unos valores con argumentos positivo

r(2) = rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + ...)))
r(1) = rq(1 + 1*rq(1 + 2*rq(1 + ...)))
-> r(1)^2 - 1 = r(2)

Si también r(x) = 1+x entonces r(1) = 2, r(2) = 3 y en efecto r(1)^2 -
1 = r(2)

Pero este es ninguna prueba, por supuesto.

.... ?!?!?

Me recuerda a la suma 1 + 2 + 3 + ... = - 1/12 del mismo señor ;-)

Saludos,
Wolfgang

jhnieto***gmail.com wrote:
> rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(1 + 4*rq(1 +...)))) = ?
>
> Saludos,
>
> jhn

Esta es "mi" prueba, algo antigua ya, de que tal expresión tiene sentido y
de que 3 es una cota superior. Se puede mejorar ... (la prueba, no la cota).

Sean:

f(n) = rq(1 + 2*rq(1 + 3*rq(... + n*rq(1)...)))

g(k, n) = rq(1 + k*rq(1 + (k + 1)rq(1 + (k + 2)rq(... + n*rq(1)...)))), 2
<= k <= n.

Asi, g(n, n) = rq(1 + n), g(2, n) = f(n).

Evidentemente, f(n) es creciente. Si vemos que está acotada superiormente,
demostraremos que tiene límite, que es el valor pedido.

Veamos que k +1 > g(k, n). Entonces tendríamos que 3 > g(2, n) = f(n).
Usando inducción (descendente) en k,

i) n + 1 > g(n, n) = sqrt(n + 1) (caso base k = n)

ii) Supongamos que k + 1 > g(k, n), para algún k, 3 <= k <= n. Entonces,

k^2 - 1 = (k - 1)(k + 1) > (k - 1)*rq(1 + k*rq(1 + (k + 1)rq(... +
n*rq(1)...))) ==>

k > rq(1 + (k - 1)*rq(1 + k*rq(... + n*rq(1)...))) = g(k - 1, n)

Entonces 3 es una cota superior para f(n).

Solo queda ver que

Lim(3 - f(n), n, inf) = 0


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com