Hola. Tengo una duda de un problema resuelto de un libro de Teoría de
Probabilidad Clásica.

Se realiza un juego entre dos jugadores A y B. La probabilidad de que gane
una partida el jugador A es p, la probabilidad de que gane una partida el
jugador B es q y la probabilidad de hacer tablas (T) es r. Gana el juego
aquel que gane dos partidas. Hallar la probabilidad de que gane el juego A.

Solución
---------

El libro empieza definiendo los siguientes sucesos:

A1 = " gana el juego A habiendo ganado B una partida ".
A0 = " gana el juego A habiendo sin haber ganado B ninguna partida ".
A1 = " gana el juego A ".
Ai1 = " gana el juego A, en la i-ésima partida, habiendo ganado B una
partida "
Ai0 = " gana el juego A, en la i-ésima partida, sin haber ganado B ninguna
partida "

Empieza calculando la probabilidad de Ai0. Una de las posibles formas en las
que puede aparecer Ai0 es: T A T T T T ·········A sin aparecer B ninguna vez
y apareciendo A dos veces, una en último lugar. La probabilidad de una
sucesión como esta es r^(i-2)p^2. La otra A puede darse en cualquiera de los
otros i-1 lugares, es decir, el número de posibles sucesiones como la
anterior es i-1. POR EL TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL:

P(Ai0) = (i-1)r^(i-2)p^2, es decir, el número de posibles sucesiones como la
anterior multiplicado por la probabilidad de una de ellas.

Mi duda es, ¿cómo se está aplicando el Teorema de la Probabilidad Total en
este caso?. Es que no lo veo. El enunciado del Teorema es el siguiente:

Sea B un suceso para el que se conocen las probabilidades condicionadas
P(B/Ai) (Ai sucesos disjuntos del espacio probabilístico). Conocidas las
probabilidades Ai, P(Ai) > 0, P(B) = Sumatorio( P(B/Ai)P(Ai) ) desde i=1
hasta infinito.

¿Podría alguien esplicarme cómo está aplicando este teorema ( número de
sucesiones multiplicado por la probabilidad de que aparezca una sucesión).

Muchas gracias.

On 10 ago, 15:38, "Juan" <J...***terra.es> wrote:
> Hola. Tengo una duda de un problema resuelto de un libro de Teoría de
> Probabilidad Clásica.
>
> Se realiza un juego entre dos jugadores A y B. La probabilidad de que gane
> una partida el jugador A es p, la probabilidad de que gane una partida el
> jugador B es q y la probabilidad de hacer tablas (T) es r. Gana el juego
> aquel que gane dos partidas. Hallar la probabilidad de que gane el juego A.
>
> Solución
> ---------
>
> El libro empieza definiendo los siguientes sucesos:
>
> A1 = " gana el juego A habiendo ganado B una partida ".
> A0 = " gana el juego A habiendo sin haber ganado B ninguna partida ".
> A1 = " gana el juego A ".
> Ai1 = " gana el juego A, en la i-ésima partida, habiendo ganado B una
> partida "
> Ai0 = " gana el juego A, en la i-ésima partida, sin haber ganado B ninguna
> partida "
>
> Empieza calculando la probabilidad de Ai0. Una de las posibles formas en las
> que puede aparecer Ai0 es: T A T T T T ·········A sin aparecer B ninguna vez
> y apareciendo A dos veces, una en último lugar. La probabilidad de una
> sucesión como esta es r^(i-2)p^2. La otra A puede darse en cualquiera de los
> otros i-1 lugares, es decir, el número de posibles sucesiones como la
> anterior es i-1. POR EL TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL:
>
> P(Ai0) = (i-1)r^(i-2)p^2, es decir, el número de posibles sucesiones como la
> anterior multiplicado por la probabilidad de una de ellas.
>
> Mi duda es, ¿cómo se está aplicando el Teorema de la Probabilidad Total en
> este caso?. Es que no lo veo. El enunciado del Teorema es el siguiente:
>
> Sea B un suceso para el que se conocen las probabilidades condicionadas
> P(B/Ai) (Ai sucesos disjuntos del espacio probabilístico). Conocidas las
> probabilidades Ai, P(Ai) > 0, ***P(B) = Sumatorio( P(B/Ai)P(Ai) ) desdei=1
> hasta infinito.
>
> ¿Podría alguien esplicarme cómo está aplicando este teorema ( número de
> sucesiones multiplicado por la probabilidad de que aparezca una sucesión).
>
> Muchas gracias.

En realidad lo que está aplicando es simplemente la aditividad de la
probabilidad: la probabilidad de una unión disjunta de sucesos es
igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

Ahora bien, si uno es un poco rebuscado podría decir que la aditividad
es un caso particular del teorema de la probabilidad total, ya que si
los Ai son disjuntos y B = UAi, agregando X\B a los Ai se tiene una
partición del espacio muestral X y como P(B|Ai)=1, P(B|X\B)=0 entonces
P(B) = Suma P(B|Ai)P(Ai) queda igual a Suma P(Ai).

Saludos,

jhn

On 10 ago, 15:38, "Juan" <J...***terra.es> wrote:
> Hola. Tengo una duda de un problema resuelto de un libro de Teoría de
> Probabilidad Clásica.
>
> Se realiza un juego entre dos jugadores A y B. La probabilidad de que gane
> una partida el jugador A es p, la probabilidad de que gane una partida el
> jugador B es q y la probabilidad de hacer tablas (T) es r. Gana el juego
> aquel que gane dos partidas. Hallar la probabilidad de que gane el juego A.
>
> Solución
> ---------
>
> El libro empieza definiendo los siguientes sucesos:
>
> A1 = " gana el juego A habiendo ganado B una partida ".
> A0 = " gana el juego A habiendo sin haber ganado B ninguna partida ".
> A1 = " gana el juego A ".
> Ai1 = " gana el juego A, en la i-ésima partida, habiendo ganado B una
> partida "
> Ai0 = " gana el juego A, en la i-ésima partida, sin haber ganado B ninguna
> partida "
>
> Empieza calculando la probabilidad de Ai0. Una de las posibles formas en las
> que puede aparecer Ai0 es: T A T T T T ·········A sin aparecer B ninguna vez
> y apareciendo A dos veces, una en último lugar. La probabilidad de una
> sucesión como esta es r^(i-2)p^2. La otra A puede darse en cualquiera de los
> otros i-1 lugares, es decir, el número de posibles sucesiones como la
> anterior es i-1. POR EL TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL:
>
> P(Ai0) = (i-1)r^(i-2)p^2, es decir, el número de posibles sucesiones como la
> anterior multiplicado por la probabilidad de una de ellas.
>
> Mi duda es, ¿cómo se está aplicando el Teorema de la Probabilidad Total en
> este caso?. Es que no lo veo. El enunciado del Teorema es el siguiente:
>
> Sea B un suceso para el que se conocen las probabilidades condicionadas
> P(B/Ai) (Ai sucesos disjuntos del espacio probabilístico). Conocidas las
> probabilidades Ai, P(Ai) > 0, ***P(B) = Sumatorio( P(B/Ai)P(Ai) ) desdei=1
> hasta infinito.
>
> ¿Podría alguien esplicarme cómo está aplicando este teorema ( número de
> sucesiones multiplicado por la probabilidad de que aparezca una sucesión).
>
> Muchas gracias.

En realidad lo que está aplicando es simplemente la aditividad de la
probabilidad: la probabilidad de una unión disjunta de sucesos es
igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

Ahora bien, si uno es un poco rebuscado podría decir que la aditividad
es un caso particular del teorema de la probabilidad total, ya que si
los Ai son disjuntos y B = UAi, agregando X\B a los Ai se tiene una
partición del espacio muestral X y como P(B|Ai)=1, P(B|X\B)=0 entonces
P(B) = Suma P(B|Ai)P(Ai) queda igual a Suma P(Ai).

Saludos,

jhn

On 10 ago, 15:38, "Juan" <J...***terra.es> wrote:
> Hola. Tengo una duda de un problema resuelto de un libro de Teoría de
> Probabilidad Clásica.
>
> Se realiza un juego entre dos jugadores A y B. La probabilidad de que gane
> una partida el jugador A es p, la probabilidad de que gane una partida el
> jugador B es q y la probabilidad de hacer tablas (T) es r. Gana el juego
> aquel que gane dos partidas. Hallar la probabilidad de que gane el juego A.
>
> Solución
> ---------
>
> El libro empieza definiendo los siguientes sucesos:
>
> A1 = " gana el juego A habiendo ganado B una partida ".
> A0 = " gana el juego A habiendo sin haber ganado B ninguna partida ".
> A1 = " gana el juego A ".
> Ai1 = " gana el juego A, en la i-ésima partida, habiendo ganado B una
> partida "
> Ai0 = " gana el juego A, en la i-ésima partida, sin haber ganado B ninguna
> partida "
>
> Empieza calculando la probabilidad de Ai0. Una de las posibles formas en las
> que puede aparecer Ai0 es: T A T T T T ·········A sin aparecer B ninguna vez
> y apareciendo A dos veces, una en último lugar. La probabilidad de una
> sucesión como esta es r^(i-2)p^2. La otra A puede darse en cualquiera de los
> otros i-1 lugares, es decir, el número de posibles sucesiones como la
> anterior es i-1. POR EL TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL:
>
> P(Ai0) = (i-1)r^(i-2)p^2, es decir, el número de posibles sucesiones como la
> anterior multiplicado por la probabilidad de una de ellas.
>
> Mi duda es, ¿cómo se está aplicando el Teorema de la Probabilidad Total en
> este caso?. Es que no lo veo. El enunciado del Teorema es el siguiente:
>
> Sea B un suceso para el que se conocen las probabilidades condicionadas
> P(B/Ai) (Ai sucesos disjuntos del espacio probabilístico). Conocidas las
> probabilidades Ai, P(Ai) > 0, ***P(B) = Sumatorio( P(B/Ai)P(Ai) ) desdei=1
> hasta infinito.
>
> ¿Podría alguien esplicarme cómo está aplicando este teorema ( número de
> sucesiones multiplicado por la probabilidad de que aparezca una sucesión).
>
> Muchas gracias.

En realidad lo que está aplicando es simplemente la aditividad de la
probabilidad: la probabilidad de una unión disjunta de sucesos es
igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

Ahora bien, si uno es un poco rebuscado podría decir que la aditividad
es un caso particular del teorema de la probabilidad total, ya que si
los Ai son disjuntos y B = UAi, agregando X\B a los Ai se tiene una
partición del espacio muestral X y como P(B|Ai)=1, P(B|X\B)=0 entonces
P(B) = Suma P(B|Ai)P(Ai) queda igual a Suma P(Ai).

Saludos,

jhn