El otro día estuve visitando unas famosas bodegas de Jerez, allí nos
explicaron como fabrican el vino y el licor de jerez, el sistema es
que montan las botas (los barriles) en filas desde el suelo hacia
arriba. Por ejemplo en tres filas, a la fila de abajo la llaman solera
(por estar cerca del suelo).

El procedimiento es que sacan 1/3 del contenido de cada bota y se lo
pasan al de la fila inferior, la primera fila se llena con vino joven
y de la solera se saca 1/3 para la venta.

La pregunta que me hago es, despues de 100 años (por ejemplo), y
considerando unas conciciones de partida 0, en las que la solera tenía
vino de un año determinado solamente (para simplificar). ¿Cuanto vino
del año 0 quedará en el año 99 en la solera? (en proporción, que los
litros de las botas las desconozco)

Llevo un mes pensando a ratos en esto, pero me siento incapaz de
calcularlo, e intuyo que debe ser sencillisimo, lo que demuestra lo
hecho polvo que estoy :-)

Saludos a todos.

Dragoncet wrote:
> El otro día estuve visitando unas famosas bodegas de Jerez, allí nos
> explicaron como fabrican el vino y el licor de jerez, el sistema es
> que montan las botas (los barriles) en filas desde el suelo hacia
> arriba. Por ejemplo en tres filas, a la fila de abajo la llaman solera
> (por estar cerca del suelo).
>
> El procedimiento es que sacan 1/3 del contenido de cada bota y se lo
> pasan al de la fila inferior, la primera fila se llena con vino joven
> y de la solera se saca 1/3 para la venta.
>
> La pregunta que me hago es, despues de 100 años (por ejemplo), y
> considerando unas conciciones de partida 0, en las que la solera tenía
> vino de un año determinado solamente (para simplificar). ¿Cuanto vino
> del año 0 quedará en el año 99 en la solera? (en proporción, que los
> litros de las botas las desconozco)
>
> Llevo un mes pensando a ratos en esto, pero me siento incapaz de
> calcularlo, e intuyo que debe ser sencillisimo, lo que demuestra lo
> hecho polvo que estoy :-)
Cada año quedan 2/3 de lo que había previamente, del vieno viejo y del más
nuevo en igual proporción, pues se supone que están mezclados
homogeneamente.

Por tanto, alcabo de n extracciones, quedan (2/3)^n del original. Después de
99 años, nada de nada ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Dragoncet wrote:
> El otro día estuve visitando unas famosas bodegas de Jerez, allí nos
> explicaron como fabrican el vino y el licor de jerez, el sistema es
> que montan las botas (los barriles) en filas desde el suelo hacia
> arriba. Por ejemplo en tres filas, a la fila de abajo la llaman solera
> (por estar cerca del suelo).
>
> El procedimiento es que sacan 1/3 del contenido de cada bota y se lo
> pasan al de la fila inferior, la primera fila se llena con vino joven
> y de la solera se saca 1/3 para la venta.
>
> La pregunta que me hago es, despues de 100 años (por ejemplo), y
> considerando unas conciciones de partida 0, en las que la solera tenía
> vino de un año determinado solamente (para simplificar). ¿Cuanto vino
> del año 0 quedará en el año 99 en la solera? (en proporción, que los
> litros de las botas las desconozco)
>
> Llevo un mes pensando a ratos en esto, pero me siento incapaz de
> calcularlo, e intuyo que debe ser sencillisimo, lo que demuestra lo
> hecho polvo que estoy :-)
Cada año quedan 2/3 de lo que había previamente, del vieno viejo y del más
nuevo en igual proporción, pues se supone que están mezclados
homogeneamente.

Por tanto, alcabo de n extracciones, quedan (2/3)^n del original. Después de
99 años, nada de nada ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Dragoncet wrote:
> El otro día estuve visitando unas famosas bodegas de Jerez, allí nos
> explicaron como fabrican el vino y el licor de jerez, el sistema es
> que montan las botas (los barriles) en filas desde el suelo hacia
> arriba. Por ejemplo en tres filas, a la fila de abajo la llaman solera
> (por estar cerca del suelo).
>
> El procedimiento es que sacan 1/3 del contenido de cada bota y se lo
> pasan al de la fila inferior, la primera fila se llena con vino joven
> y de la solera se saca 1/3 para la venta.
>
> La pregunta que me hago es, despues de 100 años (por ejemplo), y
> considerando unas conciciones de partida 0, en las que la solera tenía
> vino de un año determinado solamente (para simplificar). ¿Cuanto vino
> del año 0 quedará en el año 99 en la solera? (en proporción, que los
> litros de las botas las desconozco)
>
> Llevo un mes pensando a ratos en esto, pero me siento incapaz de
> calcularlo, e intuyo que debe ser sencillisimo, lo que demuestra lo
> hecho polvo que estoy :-)
Cada año quedan 2/3 de lo que había previamente, del vieno viejo y del más
nuevo en igual proporción, pues se supone que están mezclados
homogeneamente.

Por tanto, alcabo de n extracciones, quedan (2/3)^n del original. Después de
99 años, nada de nada ...


--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilarrosaQUITARMAYUSCULAS***mundo-r.com

Dragoncet escribió:
> El otro día estuve visitando unas famosas bodegas de Jerez, allí nos
> explicaron como fabrican el vino y el licor de jerez, el sistema es
> que montan las botas (los barriles) en filas desde el suelo hacia
> arriba. Por ejemplo en tres filas, a la fila de abajo la llaman solera
> (por estar cerca del suelo).
>
> El procedimiento es que sacan 1/3 del contenido de cada bota y se lo
> pasan al de la fila inferior, la primera fila se llena con vino joven
> y de la solera se saca 1/3 para la venta.
>
> La pregunta que me hago es, despues de 100 años (por ejemplo), y
> considerando unas conciciones de partida 0, en las que la solera tenía
> vino de un año determinado solamente (para simplificar). ¿Cuanto vino
> del año 0 quedará en el año 99 en la solera? (en proporción, que los
> litros de las botas las desconozco)
>
> Llevo un mes pensando a ratos en esto, pero me siento incapaz de
> calcularlo, e intuyo que debe ser sencillisimo, lo que demuestra lo
> hecho polvo que estoy :-)
>

Este problema viene en "Concrete Mathematics" de Graham, Knuth y
Patashnik y alguna vez ha salido por aquí:

http://groups.google.com/group/es.ci...7951f4e49de725
http://groups.google.com/group/es.ci...ad37b56237cbfc

Es fácil de hacer, como ha indicado Ignacio.

Más interesante es, ¿cuál es la edad media del vino que se vende?

Supongamos que el trasvase se hace el 30 de septiembre de cada año. Ese
día se saca de la solera y se van rellenando con los de arriba.

Supongamos que el proceso lleva muchos años realizándose.

Sea E(1) la edad media a 1 de octubre de la botella de arriba (la que se
rellena con vino joven), E(2) la de enmedio y E(3) la de abajo

Se tiene que

E(1) = (2/3)(E(1)+1)

E(2) = (2/3)(E(2)+1) + (1/3)(E(1)+1)

E(3) = (2/3)(E(3)+1) + (1/3)(E(3)+1)

y lo que se vende tiene edad E(3)+1. Resolviendo este sistema tenemos

E(1) = 2

E(2) = 5

E(3) = 8

y el vino vendido E(v) = 9.

--

Antonio

Dragoncet escribió:
> El otro día estuve visitando unas famosas bodegas de Jerez, allí nos
> explicaron como fabrican el vino y el licor de jerez, el sistema es
> que montan las botas (los barriles) en filas desde el suelo hacia
> arriba. Por ejemplo en tres filas, a la fila de abajo la llaman solera
> (por estar cerca del suelo).
>
> El procedimiento es que sacan 1/3 del contenido de cada bota y se lo
> pasan al de la fila inferior, la primera fila se llena con vino joven
> y de la solera se saca 1/3 para la venta.
>
> La pregunta que me hago es, despues de 100 años (por ejemplo), y
> considerando unas conciciones de partida 0, en las que la solera tenía
> vino de un año determinado solamente (para simplificar). ¿Cuanto vino
> del año 0 quedará en el año 99 en la solera? (en proporción, que los
> litros de las botas las desconozco)
>
> Llevo un mes pensando a ratos en esto, pero me siento incapaz de
> calcularlo, e intuyo que debe ser sencillisimo, lo que demuestra lo
> hecho polvo que estoy :-)
>

Este problema viene en "Concrete Mathematics" de Graham, Knuth y
Patashnik y alguna vez ha salido por aquí:

http://groups.google.com/group/es.ci...7951f4e49de725
http://groups.google.com/group/es.ci...ad37b56237cbfc

Es fácil de hacer, como ha indicado Ignacio.

Más interesante es, ¿cuál es la edad media del vino que se vende?

Supongamos que el trasvase se hace el 30 de septiembre de cada año. Ese
día se saca de la solera y se van rellenando con los de arriba.

Supongamos que el proceso lleva muchos años realizándose.

Sea E(1) la edad media a 1 de octubre de la botella de arriba (la que se
rellena con vino joven), E(2) la de enmedio y E(3) la de abajo

Se tiene que

E(1) = (2/3)(E(1)+1)

E(2) = (2/3)(E(2)+1) + (1/3)(E(1)+1)

E(3) = (2/3)(E(3)+1) + (1/3)(E(3)+1)

y lo que se vende tiene edad E(3)+1. Resolviendo este sistema tenemos

E(1) = 2

E(2) = 5

E(3) = 8

y el vino vendido E(v) = 9.

--

Antonio

Dragoncet escribió:
> El otro día estuve visitando unas famosas bodegas de Jerez, allí nos
> explicaron como fabrican el vino y el licor de jerez, el sistema es
> que montan las botas (los barriles) en filas desde el suelo hacia
> arriba. Por ejemplo en tres filas, a la fila de abajo la llaman solera
> (por estar cerca del suelo).
>
> El procedimiento es que sacan 1/3 del contenido de cada bota y se lo
> pasan al de la fila inferior, la primera fila se llena con vino joven
> y de la solera se saca 1/3 para la venta.
>
> La pregunta que me hago es, despues de 100 años (por ejemplo), y
> considerando unas conciciones de partida 0, en las que la solera tenía
> vino de un año determinado solamente (para simplificar). ¿Cuanto vino
> del año 0 quedará en el año 99 en la solera? (en proporción, que los
> litros de las botas las desconozco)
>
> Llevo un mes pensando a ratos en esto, pero me siento incapaz de
> calcularlo, e intuyo que debe ser sencillisimo, lo que demuestra lo
> hecho polvo que estoy :-)
>

Este problema viene en "Concrete Mathematics" de Graham, Knuth y
Patashnik y alguna vez ha salido por aquí:

http://groups.google.com/group/es.ci...7951f4e49de725
http://groups.google.com/group/es.ci...ad37b56237cbfc

Es fácil de hacer, como ha indicado Ignacio.

Más interesante es, ¿cuál es la edad media del vino que se vende?

Supongamos que el trasvase se hace el 30 de septiembre de cada año. Ese
día se saca de la solera y se van rellenando con los de arriba.

Supongamos que el proceso lleva muchos años realizándose.

Sea E(1) la edad media a 1 de octubre de la botella de arriba (la que se
rellena con vino joven), E(2) la de enmedio y E(3) la de abajo

Se tiene que

E(1) = (2/3)(E(1)+1)

E(2) = (2/3)(E(2)+1) + (1/3)(E(1)+1)

E(3) = (2/3)(E(3)+1) + (1/3)(E(3)+1)

y lo que se vende tiene edad E(3)+1. Resolviendo este sistema tenemos

E(1) = 2

E(2) = 5

E(3) = 8

y el vino vendido E(v) = 9.

--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Dragoncet wrote:
>> El otro día estuve visitando unas famosas bodegas de Jerez, allí nos
>> explicaron como fabrican el vino y el licor de jerez, el sistema es
>> que montan las botas (los barriles) en filas desde el suelo hacia
>> arriba. Por ejemplo en tres filas, a la fila de abajo la llaman solera
>> (por estar cerca del suelo).
>>
>> El procedimiento es que sacan 1/3 del contenido de cada bota y se lo
>> pasan al de la fila inferior, la primera fila se llena con vino joven
>> y de la solera se saca 1/3 para la venta.
>>
>> La pregunta que me hago es, despues de 100 años (por ejemplo), y
>> considerando unas conciciones de partida 0, en las que la solera tenía
>> vino de un año determinado solamente (para simplificar). ¿Cuanto vino
>> del año 0 quedará en el año 99 en la solera? (en proporción, que los
>> litros de las botas las desconozco)
>>
>> Llevo un mes pensando a ratos en esto, pero me siento incapaz de
>> calcularlo, e intuyo que debe ser sencillisimo, lo que demuestra lo
>> hecho polvo que estoy :-)
> Cada año quedan 2/3 de lo que había previamente, del vieno viejo y del más
> nuevo en igual proporción, pues se supone que están mezclados
> homogeneamente.
>
> Por tanto, alcabo de n extracciones, quedan (2/3)^n del original. Después de
> 99 años, nada de nada ...
>

Bueno, es más complicado que eso.

Sean f(1,n), f(2,n) y f(3,n) las proporciones de vino original en cada
una de las botellas. Inicialmente

f(1,0) = f(2,0) = f(3,0) = 1

Ahora, cada año se quita 1/3 de la botella 1 y se rellena con vino
nuevo, por lo que

f(1,n) = (2/3)f(1,n-1)

con lo que

f(1,n) = (2/3)^n

pero esto es solo para la botella superior.

Para la botella intermedia, cada año queda 2/3 de lo que había, más 1/3
de lo que había en la botella superior, por lo que

f(2,n) = (2/3)f(2,n-1) + (1/3)f(1,n-1) =

= (2/3)f(2,n-1) + (1/2)(2/3)^n

Por variación de las constantes, suponemos que

f(2,n) = (2/3)^n A(n)

y sustituyendo

A(n) = A(n-1) + 1/2

con lo que

A(n) = n/2 + 1

f(2,n) = (1 + n/2)(2/3)^n

podemos ver que esta botella también tiene un 100% de vino original en
el siguiente año.

Para la botella solera, cada año queda 2/3 de lo que había, más 1/3 de
lo que había en la intermedia

f(3,n) = (2/3)f(3,n-1) + (1/3)f(2,n-1) =

= (2/3)f(3,n-1) + (1/2)(1+(n-1)/2)(2/3)^n

Aplicando de nuevo variación de las constantes

f(3,n) = B(n) (2/3)^n

B(n) = B(n-1) + 1/4 + n/4

de donde

B(n) = n^2/8 + 3n/8 + 1

f(3,n) = (n^2/8 + 3n/8 + 1)(2/3)^n

Esta cantidad vale 1 tanto en el primer año como en el segundo.

La botella de vino vendido contiene la proporción anterior a la mezcla,
así que es

p(n) = f(3,n-1) = (n^2/8 + n/8 + 3/4)(2/3)^(n-1)

que para n = 99 vale

p(99) = 6.8 * 10^-15

que es una cantidad ridícula, pero 1238.25 veces mayor que la cuenta
(2/3)^(n-1).

--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Dragoncet wrote:
>> El otro día estuve visitando unas famosas bodegas de Jerez, allí nos
>> explicaron como fabrican el vino y el licor de jerez, el sistema es
>> que montan las botas (los barriles) en filas desde el suelo hacia
>> arriba. Por ejemplo en tres filas, a la fila de abajo la llaman solera
>> (por estar cerca del suelo).
>>
>> El procedimiento es que sacan 1/3 del contenido de cada bota y se lo
>> pasan al de la fila inferior, la primera fila se llena con vino joven
>> y de la solera se saca 1/3 para la venta.
>>
>> La pregunta que me hago es, despues de 100 años (por ejemplo), y
>> considerando unas conciciones de partida 0, en las que la solera tenía
>> vino de un año determinado solamente (para simplificar). ¿Cuanto vino
>> del año 0 quedará en el año 99 en la solera? (en proporción, que los
>> litros de las botas las desconozco)
>>
>> Llevo un mes pensando a ratos en esto, pero me siento incapaz de
>> calcularlo, e intuyo que debe ser sencillisimo, lo que demuestra lo
>> hecho polvo que estoy :-)
> Cada año quedan 2/3 de lo que había previamente, del vieno viejo y del más
> nuevo en igual proporción, pues se supone que están mezclados
> homogeneamente.
>
> Por tanto, alcabo de n extracciones, quedan (2/3)^n del original. Después de
> 99 años, nada de nada ...
>

Bueno, es más complicado que eso.

Sean f(1,n), f(2,n) y f(3,n) las proporciones de vino original en cada
una de las botellas. Inicialmente

f(1,0) = f(2,0) = f(3,0) = 1

Ahora, cada año se quita 1/3 de la botella 1 y se rellena con vino
nuevo, por lo que

f(1,n) = (2/3)f(1,n-1)

con lo que

f(1,n) = (2/3)^n

pero esto es solo para la botella superior.

Para la botella intermedia, cada año queda 2/3 de lo que había, más 1/3
de lo que había en la botella superior, por lo que

f(2,n) = (2/3)f(2,n-1) + (1/3)f(1,n-1) =

= (2/3)f(2,n-1) + (1/2)(2/3)^n

Por variación de las constantes, suponemos que

f(2,n) = (2/3)^n A(n)

y sustituyendo

A(n) = A(n-1) + 1/2

con lo que

A(n) = n/2 + 1

f(2,n) = (1 + n/2)(2/3)^n

podemos ver que esta botella también tiene un 100% de vino original en
el siguiente año.

Para la botella solera, cada año queda 2/3 de lo que había, más 1/3 de
lo que había en la intermedia

f(3,n) = (2/3)f(3,n-1) + (1/3)f(2,n-1) =

= (2/3)f(3,n-1) + (1/2)(1+(n-1)/2)(2/3)^n

Aplicando de nuevo variación de las constantes

f(3,n) = B(n) (2/3)^n

B(n) = B(n-1) + 1/4 + n/4

de donde

B(n) = n^2/8 + 3n/8 + 1

f(3,n) = (n^2/8 + 3n/8 + 1)(2/3)^n

Esta cantidad vale 1 tanto en el primer año como en el segundo.

La botella de vino vendido contiene la proporción anterior a la mezcla,
así que es

p(n) = f(3,n-1) = (n^2/8 + n/8 + 3/4)(2/3)^(n-1)

que para n = 99 vale

p(99) = 6.8 * 10^-15

que es una cantidad ridícula, pero 1238.25 veces mayor que la cuenta
(2/3)^(n-1).

--

Antonio

Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Dragoncet wrote:
>> El otro día estuve visitando unas famosas bodegas de Jerez, allí nos
>> explicaron como fabrican el vino y el licor de jerez, el sistema es
>> que montan las botas (los barriles) en filas desde el suelo hacia
>> arriba. Por ejemplo en tres filas, a la fila de abajo la llaman solera
>> (por estar cerca del suelo).
>>
>> El procedimiento es que sacan 1/3 del contenido de cada bota y se lo
>> pasan al de la fila inferior, la primera fila se llena con vino joven
>> y de la solera se saca 1/3 para la venta.
>>
>> La pregunta que me hago es, despues de 100 años (por ejemplo), y
>> considerando unas conciciones de partida 0, en las que la solera tenía
>> vino de un año determinado solamente (para simplificar). ¿Cuanto vino
>> del año 0 quedará en el año 99 en la solera? (en proporción, que los
>> litros de las botas las desconozco)
>>
>> Llevo un mes pensando a ratos en esto, pero me siento incapaz de
>> calcularlo, e intuyo que debe ser sencillisimo, lo que demuestra lo
>> hecho polvo que estoy :-)
> Cada año quedan 2/3 de lo que había previamente, del vieno viejo y del más
> nuevo en igual proporción, pues se supone que están mezclados
> homogeneamente.
>
> Por tanto, alcabo de n extracciones, quedan (2/3)^n del original. Después de
> 99 años, nada de nada ...
>

Bueno, es más complicado que eso.

Sean f(1,n), f(2,n) y f(3,n) las proporciones de vino original en cada
una de las botellas. Inicialmente

f(1,0) = f(2,0) = f(3,0) = 1

Ahora, cada año se quita 1/3 de la botella 1 y se rellena con vino
nuevo, por lo que

f(1,n) = (2/3)f(1,n-1)

con lo que

f(1,n) = (2/3)^n

pero esto es solo para la botella superior.

Para la botella intermedia, cada año queda 2/3 de lo que había, más 1/3
de lo que había en la botella superior, por lo que

f(2,n) = (2/3)f(2,n-1) + (1/3)f(1,n-1) =

= (2/3)f(2,n-1) + (1/2)(2/3)^n

Por variación de las constantes, suponemos que

f(2,n) = (2/3)^n A(n)

y sustituyendo

A(n) = A(n-1) + 1/2

con lo que

A(n) = n/2 + 1

f(2,n) = (1 + n/2)(2/3)^n

podemos ver que esta botella también tiene un 100% de vino original en
el siguiente año.

Para la botella solera, cada año queda 2/3 de lo que había, más 1/3 de
lo que había en la intermedia

f(3,n) = (2/3)f(3,n-1) + (1/3)f(2,n-1) =

= (2/3)f(3,n-1) + (1/2)(1+(n-1)/2)(2/3)^n

Aplicando de nuevo variación de las constantes

f(3,n) = B(n) (2/3)^n

B(n) = B(n-1) + 1/4 + n/4

de donde

B(n) = n^2/8 + 3n/8 + 1

f(3,n) = (n^2/8 + 3n/8 + 1)(2/3)^n

Esta cantidad vale 1 tanto en el primer año como en el segundo.

La botella de vino vendido contiene la proporción anterior a la mezcla,
así que es

p(n) = f(3,n-1) = (n^2/8 + n/8 + 3/4)(2/3)^(n-1)

que para n = 99 vale

p(99) = 6.8 * 10^-15

que es una cantidad ridícula, pero 1238.25 veces mayor que la cuenta
(2/3)^(n-1).

--

Antonio