Demostrar la siguiente igualdad (sencillita):

Si a,b y c son los lados de un triángulo y [ABC] su superficie
entonces:

ab + ac + bc >= 4rq(3)·[ABC]

Saludos.

Javier Esquinas escribió:
> Demostrar la siguiente igualdad (sencillita):
>
> Si a,b y c son los lados de un triángulo y [ABC] su superficie
> entonces:
>
> ab + ac + bc >= 4rq(3)·[ABC]
>

Escribiendo

ab = 2S/senC

se trata de hallar el mínimo de 1/senA+ 1/senB + 1/senC con la condición
de que A+B+C = pi. Por simetría se llega a la solución rápidamente.

Pero, por ser tú, voy a resolverlo empleando la desigualdad entre las
medias.

Un resultado previo: Aplicando tres veces la desigualdad

ab + ac + bc <= (a+b)^2/4 + (a+c)^2/4 + (b+c)^2/4 =

= ((a+b+c)^2-(ab+ac+bc))/2

de donde

ab + ac + bc <= (a+b+c)^2/3

Vamos ahora con el problema. Se cumple, obviamente, que

4rq(3)S = (4S/rq(3) + 4S/rq(3) + 4S/rq(3))

Considerando uno de los términos, por la fórmula de Heron

4S/rq(3) = rq((a+b+c)/3 (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))

Aplicando la desigualdad entre las medias

4S/rq(3) <= (1/6)((a+b+c)(a+b-c)+3(a-b+c)(-a+b+c)) =

= (1/6)((a+b)^2 - c^2 + 3c^2 - 3(a-b)^2) =

= (1/3)(c^2-a^2-b^2 + 4ab)

Repitiendo el proceso (rotando las letras) y sumando queda

4rq(3)S <= (1/3)(4ab + 4ac + 4bc - a^2 - b^2 - c^2) =

= 2(ab+ac+bc) - (1/3)(a+b+c)^2

y, por la identidad que demostramos al principio

4rq(3)S <= 2(ab+ac+bc) - (ab+ac+bc) = ab+ac+bc

Alcanzándose la igualdad cuando a=b=c.


--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Demostrar la siguiente igualdad (sencillita):
>
> Si a,b y c son los lados de un triángulo y [ABC] su superficie
> entonces:
>
> ab + ac + bc >= 4rq(3)·[ABC]
>

Escribiendo

ab = 2S/senC

se trata de hallar el mínimo de 1/senA+ 1/senB + 1/senC con la condición
de que A+B+C = pi. Por simetría se llega a la solución rápidamente.

Pero, por ser tú, voy a resolverlo empleando la desigualdad entre las
medias.

Un resultado previo: Aplicando tres veces la desigualdad

ab + ac + bc <= (a+b)^2/4 + (a+c)^2/4 + (b+c)^2/4 =

= ((a+b+c)^2-(ab+ac+bc))/2

de donde

ab + ac + bc <= (a+b+c)^2/3

Vamos ahora con el problema. Se cumple, obviamente, que

4rq(3)S = (4S/rq(3) + 4S/rq(3) + 4S/rq(3))

Considerando uno de los términos, por la fórmula de Heron

4S/rq(3) = rq((a+b+c)/3 (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))

Aplicando la desigualdad entre las medias

4S/rq(3) <= (1/6)((a+b+c)(a+b-c)+3(a-b+c)(-a+b+c)) =

= (1/6)((a+b)^2 - c^2 + 3c^2 - 3(a-b)^2) =

= (1/3)(c^2-a^2-b^2 + 4ab)

Repitiendo el proceso (rotando las letras) y sumando queda

4rq(3)S <= (1/3)(4ab + 4ac + 4bc - a^2 - b^2 - c^2) =

= 2(ab+ac+bc) - (1/3)(a+b+c)^2

y, por la identidad que demostramos al principio

4rq(3)S <= 2(ab+ac+bc) - (ab+ac+bc) = ab+ac+bc

Alcanzándose la igualdad cuando a=b=c.


--

Antonio

Javier Esquinas escribió:
> Demostrar la siguiente igualdad (sencillita):
>
> Si a,b y c son los lados de un triángulo y [ABC] su superficie
> entonces:
>
> ab + ac + bc >= 4rq(3)·[ABC]
>

Escribiendo

ab = 2S/senC

se trata de hallar el mínimo de 1/senA+ 1/senB + 1/senC con la condición
de que A+B+C = pi. Por simetría se llega a la solución rápidamente.

Pero, por ser tú, voy a resolverlo empleando la desigualdad entre las
medias.

Un resultado previo: Aplicando tres veces la desigualdad

ab + ac + bc <= (a+b)^2/4 + (a+c)^2/4 + (b+c)^2/4 =

= ((a+b+c)^2-(ab+ac+bc))/2

de donde

ab + ac + bc <= (a+b+c)^2/3

Vamos ahora con el problema. Se cumple, obviamente, que

4rq(3)S = (4S/rq(3) + 4S/rq(3) + 4S/rq(3))

Considerando uno de los términos, por la fórmula de Heron

4S/rq(3) = rq((a+b+c)/3 (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))

Aplicando la desigualdad entre las medias

4S/rq(3) <= (1/6)((a+b+c)(a+b-c)+3(a-b+c)(-a+b+c)) =

= (1/6)((a+b)^2 - c^2 + 3c^2 - 3(a-b)^2) =

= (1/3)(c^2-a^2-b^2 + 4ab)

Repitiendo el proceso (rotando las letras) y sumando queda

4rq(3)S <= (1/3)(4ab + 4ac + 4bc - a^2 - b^2 - c^2) =

= 2(ab+ac+bc) - (1/3)(a+b+c)^2

y, por la identidad que demostramos al principio

4rq(3)S <= 2(ab+ac+bc) - (ab+ac+bc) = ab+ac+bc

Alcanzándose la igualdad cuando a=b=c.


--

Antonio

On 29 ago, 09:58, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>
> > Demostrar la siguiente igualdad (sencillita):
>
> > Si a,b y c son los lados de un triángulo y [ABC] su superficie
> > entonces:
>
> > ab + ac + bc >= 4rq(3)·[ABC]
>
> Escribiendo
>
> *** ab = 2S/senC
>
> se trata de hallar el mínimo de 1/senA+ 1/senB + 1/senC con la condición
> de que A+B+C = pi. Por simetría se llega a la solución rápidamente.
>
> Pero, por ser tú, voy a resolverlo empleando la desigualdad entre las
> medias.
>
> Un resultado previo: Aplicando tres veces la desigualdad
>
> *** ab + ac + bc <= (a+b)^2/4 + (a+c)^2/4 + (b+c)^2/4 =
>
> *** ***= ((a+b+c)^2-(ab+ac+bc))/2
>
> de donde
>
> *** ab + ac + bc <= (a+b+c)^2/3
>
> Vamos ahora con el problema. Se cumple, obviamente, que
>
> *** 4rq(3)S = (4S/rq(3) + 4S/rq(3) + 4S/rq(3))
>
> Considerando uno de los términos, por la fórmula de Heron
>
> *** 4S/rq(3) = rq((a+b+c)/3 (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))
>
> Aplicando la desigualdad entre las medias
>
> *** 4S/rq(3) <= (1/6)((a+b+c)(a+b-c)+3(a-b+c)(-a+b+c)) =
>
> *** ***= (1/6)((a+b)^2 - c^2 + 3c^2 - 3(a-b)^2) =
>
> *** ***= (1/3)(c^2-a^2-b^2 + 4ab)
>
> Repitiendo el proceso (rotando las letras) y sumando queda
>
> *** 4rq(3)S <= (1/3)(4ab + 4ac + 4bc - a^2 - b^2 - c^2) =
>
> *** *** *** *** *** = 2(ab+ac+bc) - (1/3)(a+b+c)^2
>
> y, por la identidad que demostramos al principio
>
> *** 4rq(3)S <= 2(ab+ac+bc) - (ab+ac+bc) = ab+ac+bc
>
> Alcanzándose la igualdad cuando a=b=c.
>
> --
>
> *** ***Antonio

Yo lo hice aplicando la desigualdad de la media armónica-aritmética a
1/senA + 1/senB + 1/senC y luego la desigualdad de Jensen a senA +
senB + senC por ser f(x) = senx cóncava.

Saludos.

On 29 ago, 09:58, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>
> > Demostrar la siguiente igualdad (sencillita):
>
> > Si a,b y c son los lados de un triángulo y [ABC] su superficie
> > entonces:
>
> > ab + ac + bc >= 4rq(3)·[ABC]
>
> Escribiendo
>
> *** ab = 2S/senC
>
> se trata de hallar el mínimo de 1/senA+ 1/senB + 1/senC con la condición
> de que A+B+C = pi. Por simetría se llega a la solución rápidamente.
>
> Pero, por ser tú, voy a resolverlo empleando la desigualdad entre las
> medias.
>
> Un resultado previo: Aplicando tres veces la desigualdad
>
> *** ab + ac + bc <= (a+b)^2/4 + (a+c)^2/4 + (b+c)^2/4 =
>
> *** ***= ((a+b+c)^2-(ab+ac+bc))/2
>
> de donde
>
> *** ab + ac + bc <= (a+b+c)^2/3
>
> Vamos ahora con el problema. Se cumple, obviamente, que
>
> *** 4rq(3)S = (4S/rq(3) + 4S/rq(3) + 4S/rq(3))
>
> Considerando uno de los términos, por la fórmula de Heron
>
> *** 4S/rq(3) = rq((a+b+c)/3 (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))
>
> Aplicando la desigualdad entre las medias
>
> *** 4S/rq(3) <= (1/6)((a+b+c)(a+b-c)+3(a-b+c)(-a+b+c)) =
>
> *** ***= (1/6)((a+b)^2 - c^2 + 3c^2 - 3(a-b)^2) =
>
> *** ***= (1/3)(c^2-a^2-b^2 + 4ab)
>
> Repitiendo el proceso (rotando las letras) y sumando queda
>
> *** 4rq(3)S <= (1/3)(4ab + 4ac + 4bc - a^2 - b^2 - c^2) =
>
> *** *** *** *** *** = 2(ab+ac+bc) - (1/3)(a+b+c)^2
>
> y, por la identidad que demostramos al principio
>
> *** 4rq(3)S <= 2(ab+ac+bc) - (ab+ac+bc) = ab+ac+bc
>
> Alcanzándose la igualdad cuando a=b=c.
>
> --
>
> *** ***Antonio

Yo lo hice aplicando la desigualdad de la media armónica-aritmética a
1/senA + 1/senB + 1/senC y luego la desigualdad de Jensen a senA +
senB + senC por ser f(x) = senx cóncava.

Saludos.

On 29 ago, 09:58, Antonio González <gonfe...***gmail.com> wrote:
> Javier Esquinas escribió:
>
> > Demostrar la siguiente igualdad (sencillita):
>
> > Si a,b y c son los lados de un triángulo y [ABC] su superficie
> > entonces:
>
> > ab + ac + bc >= 4rq(3)·[ABC]
>
> Escribiendo
>
> *** ab = 2S/senC
>
> se trata de hallar el mínimo de 1/senA+ 1/senB + 1/senC con la condición
> de que A+B+C = pi. Por simetría se llega a la solución rápidamente.
>
> Pero, por ser tú, voy a resolverlo empleando la desigualdad entre las
> medias.
>
> Un resultado previo: Aplicando tres veces la desigualdad
>
> *** ab + ac + bc <= (a+b)^2/4 + (a+c)^2/4 + (b+c)^2/4 =
>
> *** ***= ((a+b+c)^2-(ab+ac+bc))/2
>
> de donde
>
> *** ab + ac + bc <= (a+b+c)^2/3
>
> Vamos ahora con el problema. Se cumple, obviamente, que
>
> *** 4rq(3)S = (4S/rq(3) + 4S/rq(3) + 4S/rq(3))
>
> Considerando uno de los términos, por la fórmula de Heron
>
> *** 4S/rq(3) = rq((a+b+c)/3 (a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c))
>
> Aplicando la desigualdad entre las medias
>
> *** 4S/rq(3) <= (1/6)((a+b+c)(a+b-c)+3(a-b+c)(-a+b+c)) =
>
> *** ***= (1/6)((a+b)^2 - c^2 + 3c^2 - 3(a-b)^2) =
>
> *** ***= (1/3)(c^2-a^2-b^2 + 4ab)
>
> Repitiendo el proceso (rotando las letras) y sumando queda
>
> *** 4rq(3)S <= (1/3)(4ab + 4ac + 4bc - a^2 - b^2 - c^2) =
>
> *** *** *** *** *** = 2(ab+ac+bc) - (1/3)(a+b+c)^2
>
> y, por la identidad que demostramos al principio
>
> *** 4rq(3)S <= 2(ab+ac+bc) - (ab+ac+bc) = ab+ac+bc
>
> Alcanzándose la igualdad cuando a=b=c.
>
> --
>
> *** ***Antonio

Yo lo hice aplicando la desigualdad de la media armónica-aritmética a
1/senA + 1/senB + 1/senC y luego la desigualdad de Jensen a senA +
senB + senC por ser f(x) = senx cóncava.

Saludos.